河北省唐山市2019届高三第三次模拟考试数学试题(理)及答案

唐山市2019—2019学年度高三年级第三次模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题：
A 卷：BCCA
B DCBBA DC
B 卷：ACDAB CDABB DC
二、填空题：
（13）6；
（14）3； （15）5； （16）4． 三、解答题：
（17）（Ⅰ）证明：因为2c 2－2a 2＝b 2，
所以2c cos A －2a cos C ＝2c ·b 2＋c 2－a 22bc －2a ·a 2＋b 2－c 2
2ab
＝b 2＋c 2－a 2b －a 2＋b 2－c 2b ＝2c 2－2a 2b
＝b ． …4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理以及sin B ＝sin(A ＋C )得
2sin C cos A －2sin A cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，
即sin C cos A ＝3sin A cos C ，
又cos A cos C ≠0，所以tan C ＝3tan A ＝1，故C ＝45°．
…8分 再由正弦定理及sin A ＝1010得c ＝a sin C sin A
＝5， 于是b 2＝2(c 2－a 2)＝8，b ＝22，
从而S ＝ 1 2ab sin C ＝1． …12分
（18）解：
（Ⅰ）由题中数据可知，
－x 甲＝85＋83＋86＋96＋905＝88，－x 乙＝88＋84＋83＋92＋935
＝88； S 2甲＝ 1 5
[(85－88)2＋(83－88)2＋(86－88)2＋(96－88)2＋(90－88)2]＝21.2， S 2乙＝ 1 5
[(88－88)2＋(84－88)2＋(83－88)2＋(92－88)2＋(93－88)2]＝16.4． …6分
（Ⅱ）设甲队参加个人能力比赛成绩前三名在对抗赛的获胜的事件分别为A 、B 、C ，
由题意可知P (A )＝ 2 3，P (B )＝P (C )＝ 1 3
，且A 、B 、C 相互独立， 设甲队至少2名队员获胜的事件为E ，则E ＝(ABC)∪(AB －C )∪(A －B C)∪(－A BC)． …9分
P (E )＝ 2 3× 1 3× 1 3＋ 2 3× 1 3×(1－ 1 3)＋ 2 3×(1－ 1 3)× 1 3＋(1－ 2 3)× 1 3× 1 3＝ 11 27． …12分
（19）（Ⅰ）证明：取BC 中点O ，连OA ，OA 1．
因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC ⊥BB 1，BC ⊥AA 1，
因为截面A 1BC 是等边三角形，所以BC ⊥OA 1，
于是BC ⊥平面A 1OA ，BC ⊥OA ，因此：AB ＝AC ．
…4分
1
（Ⅱ）解：设BC ＝2，则OA 1＝3，由AB ⊥AC ， AB ＝AC 得OA ＝1．
因为平面A 1BC ⊥底面ABC ，OA 1⊥BC ，所以OA 1⊥底面ABC ．
如图，分别以OA ，OB ，OA 1为正方向建立空间直角坐标系O -xyz ．
…6分
A (1，0，0)，
B (0，1，0)，A 1 (0，0，3)，
C (0，－1，0)， CB →＝(0，2，0)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，0，3)，
CA 1→＝(0，1，3)，A 1B 1→＝AB →＝(－1，1，0)．
设平面BB 1C 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，
则⎩⎨⎧0×x 1＋2×y 1＋0×z 1＝0，－1×x 1＋0×y 1＋3×z 1＝0，
取m ＝(3，0，1)． 设平面A 1B 1C 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)，
则⎩⎨⎧0×x 2＋1×y 2＋3×z 2＝0，－1×x 2＋1×y 2＋0×z 2＝0，
取n ＝(－3，－3，1)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－77，则二面角B －B 1C －A 1的余弦值为－77
． …12分
（20）解：
（Ⅰ）由题意可得：3a 2＋14b
2＝1， …1分 将3x ＋2y －4＝0代入椭圆C ： (3a 2＋4b 2)x 2－83a 2x ＋16a 2－4a 2b 2＝0
由Δ＝0得3a 2＋4b 2＝16， …3分 联立解得：a 2＝4，b 2＝1．
于是椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1． …5分 （II ）设直线l ：y ＝kx ＋m ，M (x 0，y 0)．
将直线l 的方程代入椭圆C 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，
令Δ＝0，得m 2＝4k 2＋1，且
x 20＝4m 2－4 1＋4k 2，所以|OM |2＝1＋16k 2 1＋4k 2． …7分 又|OH |2＝m 2
1＋k 2＝1＋4k 2 1＋k 2，所以(cos ∠HOM )2＝(1＋4k 2)2 (1＋16k 2) (1＋k 2)． …9分
因为(1＋16k 2)(4＋4k 2
)≤(5＋20k 2)2 4＝25(1＋4k 2)2 4， 所以(1＋4k 2)2 (1＋16k 2) (1＋k 2)≥ 16 25
，等号当且仅当k 2＝ 1 4时成立． 故k ＝± 1 2．…12分 （21）解：（Ⅰ）f '(x )＝e x －2x ． 由题设得a ＝f '(1)＝e －2，a ＋1＝f (1)＝e －1＋b ． 故a ＝e －2，b ＝0． …4分
（II ）由（Ⅰ）得，f (x )＝e x －x 2，下面证明：当x ＞0时，f (x )≥(e －2)x ＋1．
设g (x )＝f (x )－(e －2)x －1，x ＞0．
则g '(x )＝e x －2x －(e －2)，
设h (x )＝g '(x )，则h '(x )＝e x －2，
当x ∈(0，ln 2)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减，
当x ∈(ln 2，＋∞)时，h '(x )＞0，h (x )单调递增．
又h (0)＝3－e ＞0，h (1)＝0，0＜ln2＜1，h(ln2)＜0，所以∃x 0∈(0，1)，h (x 0)＝0， 所以当x ∈(0，x 0)或x ∈(1，＋∞)时，g '(x )＞0；当x ∈(x 0，1)时，g '(x )＜0， 故g (x )在(0，x 0)和(1，＋∞)单调递增，在(x 0，1)单调递减，
又g (0)＝g (1)＝0，所以g (x )＝e x －x 2－(e －2)x －1≥0．
因x ＞0，则e x ＋(2－e)x －1 x
≥x （当且仅当x ＝1时等号成立）． ① …8分 以下证明：当x ＞0时，x ＞4sin x 3＋cos x
． 令p (x )＝x －4sin x 3＋cos x ，则p '(x )＝1－4(3cos x ＋1) (3＋cos x )2＝(cos x －1)(cos x －5)(3＋cos x )2
≥0， （当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时等号成立）．
所以p (x )在(0，＋∞)单调递增，当x ＞0时，p (x )＝x －4sin x 3＋cos x
＞p (0)＝0， 即x ＞4sin x 3＋cos x
． ② 由①②得当x ＞0时，e x ＋(2－e)x －1 x ＞4sin x 3＋cos x
， 又x (3＋cos x )＞0，故[e x ＋(2－e)x －1](3＋cos x )－4x sin x ＞0． …12分
（22）解：
（Ⅰ）证明： 延长DC 与圆O 交于点M ，因为CD ⊥AB ，
所以CD 2＝CD ·CM ＝AC ·BC ，
因为Rt △ACE ∽Rt △GBC ，所以AC CE ＝CG BC
， 即AC ·BC ＝CE ·CG ，故CD 2＝CE ·CG ．…5分
（Ⅱ）
因为AC ＝CO ＝1，所以CD 2＝AC ·BC ＝3， 又CD ＝3CE ，由（Ⅰ）得CG ＝3CD ，
GT 2＝GM ·GD ＝(CG ＋CM )·(CG －CD )＝(CG ＋CD )·(CG －CD )
＝CG 2－CD 2＝8CD 2＝24，故GT ＝26． …10分 （23）解：（Ⅰ）将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入已知，分别得C 和l 的极坐标方程为
C ：ρ＝4cos θ（0≤θ≤ π 2
)，l ：ρcos θ－2ρsin θ－2＝0． …4分 （Ⅱ）依题意，l 经过半圆C 的圆心C (2，0)．
设点B 的极角为α，则tan α＝ 1 2，进而求得cos α＝255
…6分 由C 的极坐标方程得|OB |＝4cos α＝855
． …10分 （24）解：
（Ⅰ）若a ＝1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－2，
3，－2≤x ≤1，2x ＋1，x ＞1．
由f (x )的单调性及f (－3)＝f (2)＝5，得f (x )≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}．…5分
（Ⅱ）f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)x －1，x ≤－2，
(1－a )x ＋3，－2＜x ＜ 1 a ，(a ＋1)x ＋1，x ≥ 1 a
． 当x ∈(－∞，－2]时，f (x )单调递减；当x ∈[ 1 a
，＋∞)时，f (x )单调递增， 又f (x )的图象连续不断，所以f (x )≥2当且仅当f (－1)＝2a ＋1≥2，且f ( 1 a )＝ 1 a
＋2≥2，得a ≥ 1 2，故a 的最小值为 1 2
． …10分。