几何作图资料

3.2.5 几何作图求解的常用方法
1 交轨法 利用轨迹之交点 例1 已知底边BC＝a和它所对顶角∠A＝ , 又知 夹此角的两边之比为定值 k >0 , 求作此三角形. [解] 分析： A 因底边BC固定, 且顶角A为定值, C B 故A在以BC为底、视角为 的弓形 弧上；另一方面, AB : AC k , 当k =1时, A的轨迹是 BC的中垂线, 当k≠1时, A的轨迹是阿氏圆, 故它 与前一弓形的交点即为所求的另一顶点. 如图. 作法: (略) 证明：(略)
· D·
E l
E ·
C
D
·
B
O
·
· E
C
例3 已知∠A＝ 和它的对边BC＝a, 又知另一 边上的中线 mb , 求作此⊿ABC.
[解] 分析: (略)
作法: (略) 证明: (略) 讨论: (略)
B


mb
· D ·
A

C · M · ·
2 三角形奠基法
例4 作三角形,已知从一顶点发出的高h和中线m, 以及外接圆半径 r.
第三章 基本轨迹 与几何作图
本章研究的主要内容：
一、基本轨迹
二、几何作图
第三章 基本轨迹 与几何作图
§3.2 几何作图
教学要求: 1.了解几何作图的意义； 2.了解作图公法及作图成法； 3.掌握几何作图问题求解的基本步骤.
3.2.1 几何作图的意义 1°几何作图的工具 2°几何作图的意义
尺规作图是指没有刻度的直尺和圆规两件工具， 并用有限次步骤作出合乎预先约定条件的图形， 有时也叫欧几里得作图.
3.2.3 几何作图的类型
1 定位作图 如果求作的图形必须在指定的位置, 这类作图叫 做定位作图. 例如, “过已知直线外一点作此线的垂线”便是. 2 活位作图：如果对于所求图形的位置没有硬性 限制, 这类作图叫活位作图. 其中又分为两种： (1) 半活位作图, 限定在某范围内作图, 但在此范 围内, 作图位置又不加限制, 这叫半活位作图. 例如 “在定圆中作内接正方形”. (2) 全活位作图, 不拘位置，随处均可作图, 这叫 全活位作图. 例如“已知边长作正三角形”.
讨论： 当k＝1时, A即为弓形的中点. 当k≠1时, 因阿氏圆过BC的内外分点, 故与前一 弓形弧必有一个交点. 显然本题在下方还有一解. A [解法2] 分析(如图，略)
B D M C
例2 已知边AB所在的直线l , 又知二高AD和BE的 C 垂足D和E, 求作⊿ABC. [解] 分析：假设⊿ABC 已经作出, 则D、E应在以 AB为直径的圆上, 如图, 因 而AB的中点必在DE的中垂 线上, 于是图形容易作出. 作法：(略) 证明：(略) l 时, 讨论：(1) 当D≡E 有无穷多解, 如图. 此时顶 点C亦与D、E重合. (2) 当D≡E∈l时, 无解.
设圆的半径为R, 内接正 a 五边形一边长AB = , C为 O 5 · a AB 中点, 则AC=BC= 10 , · · 是内接正十边形的一边, 以 下研究 a5 , a10 , R 三者间的关 D · B 系. A E · C 如图, 易得 DAC CAB 2 AC AB AD. (1) 即有 又由∠OBA＝∠OAB＝∠BOD＝54°, 得 ⊿ABO∽⊿BOD ∴ AB:OB=OB:BD. 即 AB:OB＝OB:(AB－AD).
M
N C
O
3 代数法
例7 求作已知线段AB的黄金分割点C. [解] 分析：设AB长为a, 内分点C把AB分成两段, 大 1 a 2 段 AC 长为x, 小段BC长为 E · a - x, 由题意应有BC:AC＝ AC:AB. A· · x C (a x) : x x : a 即 亦即 x 2 ax a 2 0 解得
[解] 分析： 作法： 证明： 讨论：
B
h
A
·
m
N
O · · · H M
C
例5 作三角形,已知它的三条中线. [解] 分析： 作法： 证明： 讨论：
B K M A
F
ma
E
mb
D
mc
C
例6 作三角形,已知它同一顶点发出的高、中线 和角平分线. A [解] 分析： 作法： 证明： 讨论：
B H T
·
· · · · ·
E
D
A
o
B
l
D≡E≡C
·
B B
A A
l
(3) 当D≠E时, 若DE⊥l, 或 DE被l平分(但DE不垂直于l ), 或D, E皆在l上,都无解. 如图. (4) 当DE垂直平分l时, 有 无数多解. (5) 当D, E在l异侧且不被 l平分时, 有两解. (6) 当D, E有一点在l上时 C 有一解. 注：此例是 莫斯科第7届 A E(D) (1941年)数 学竞赛题. B D, A E A B
3.2.4 几何作图求解的基本步骤
1 分析 在正式作图之前,为了寻求作图方法的线索,常先 假定合乎条件的图形已经作出,并画一草图,然后考 究草图中各元素的大小、位置及相互间的关系, 分 析整个图形是否可以分解为若干部分, 可逐步用作 图或作图公法作出,若仍有些不能确定,可添加辅助 线,继续进行探索,直至将作图的全部过程都能归结 为作图的成法为止. 2 作法 根据分析所得的线索,依次叙述作图过程,作图时 的每一步都必须有根据, 其根据就是作图公法或作 图成法, 否则不得作图.
(4)已知三边,或两边及夹角,或两角及夹边作三角形. (5)已知一直角边和斜边,作直角三角形. (6)作已知线段的中点. (7)作已知线段的垂直平分线. (8)作已知角的平分线. (9)过已知直线上或直线外一已知点,作此直线的垂 线. (10)过已知直线外已知点,作此直线的平行线. (11)已知边长作正方形. (12)以定线段为弦,已知角为圆周角,作弓形弧. (13)作已知三角形的外接圆,内切圆,旁切圆. (14)过圆上一或圆外一点作圆的切线. (15)作两已知圆的内、外公切线.
(16)作已知圆的内接(外切)正三角形、正方形,或 正六边形. (17)作一线段,使之等于两已知线段的和或差. (18)作一线段,便之等于已知线段的n倍或n等分. (19)内分或外分一已知线段,它们的比等于已知比. (20)作已知三线段a,b,c的第四比例项. (21)作已知两线段a,b的比例中项. (22)已知线段a,b作一线段为 x a 2 b2 , 或作一线 段为 x a2 b2 (a b).
D ·
1 a 2
· B
a a x a 2 2
2
2
(舍去负根)
作法： 证明： 讨论：
A
· ·
x
E
1 a 2
·
D
1 a 2
· C
· B
例8 求作已知圆的内接正10边形. [解] 分析：
作法：
证明： 讨论：
C
72° 36° 36° 36°
· · · · B
O
A
例9 求作已知圆的内接正5边形 [解] 分析：
3 证明 作图之后, 应逐条检验所得图形确是合乎所有题 设条件, 用以证实作图无误. 4 讨论 作图时, 一般只立通法, 这叫形式作图. 然而一个 作图的有解无解, 应取决于题设条件是否充分、位 置及其相互间的关系, 所以不能因为作出某个特定 图形而说问题一定有解. 必须对所设条件在其变化 范围内分别各种可能的情形,逐一加以推究,确定本 题的解有多少？这种通盘考虑种种情况, 从而判断 解得数目的过程, 叫做讨论.
亦即 a a a . 由此可得正五边形的简便作法 作法： 证明：
2 5 2 10 2 6
∴ OB2 AB2 AB AD (2) 2 2 2 OB AB AC , (1)代入(2)得： 2 2 2 即 R a5 a10 ,
讨论：
B P
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A
· ·Q M N· O
S
4 利用几何变换(不讲)
例10 已知底边、底边上的高及两底角之差, 求 作三角形. [解] 分析：
作法：
证明： 讨论：
3.2.6 三大尺规作图不能问题(略作介绍)
1.化圆为方：求作一个正方形, 使其面积为已知 圆的面积. 2. 倍立方：求作一个正方体, 使它的体积是已知 正方体体积的二倍. 3. 三等分角.
3.2.2 几何作图公法与作图成法
1. 作图公法. (1)通过两个已知点可作一条直线； (2)已知圆心和半径可作一个圆； (3)若两已知直线相交，或一已知直线和一已知 圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出 其交点. 2. 作图成法 (1)任意延长已知线段. (2)在已知射线上自端点起截一线段等于已知线 段. (3)以已知射线为一边,在指定一侧作角等于已 知角.