八年级上数学(完全平方公式)

14.2.2 完全平方公式

一、新课导入

1.导入课题：

一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.（如图）用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你发现了什么呢？

2.学习目标：

（1）能用符号和文字表述完全平方公式.

（2）能运用完全平方公式解题.

（3）体验归纳添、去括号法则.

3.学习重、难点：

重点：完全平方公式及应用及添、去括号法则.

难点：完全平方公式的几何意义的理解.

二、分层学习

1.自学指导：

（1）自学内容：探究完全平方公式.

（2）自学时间：8分钟.

（3）自学方法：计算、比较分析、猜想结论.

（4）探究提纲：

①计算下列多项式的积，观察它们的算式形式与运算结果有什么规律.

a.(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1;

b.(m+2)2=m2+4m+4;

c.(2a+1)2=4a2+4a+1;

d.(2x-3)2=4x2-12x+9.

②猜想：根据你发现的规律，你能直接写出（a+b）2的计算的结果是

a2+2ab+b2，（a－b）2的结果是a2-2ab+b2.

③下列等式正确吗？若不对，对比②中发现的规律找出错在什么地方？

(x－3)2=x2－9(2m+1)2=4m2+1

都不对，都漏掉完全平方公式的“中间项”.

④试用下图1，2验证(a±b)2的结果的正确性.

请你根据图1，图2说出（a+b）2和（a-b）2的计算结果的几何意义.

⑤试用文字表述②中发现的规律.

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.

2.自学：学生结合探究提纲进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：了解学生的探究过程及归纳总结的规律是否正确，收集学习中存在的问题.

②差异指导：教师询问个别学生从探究中如何总结规律并表述规律及如何借助图1、2验证猜想.

（2）生助生：学生之间相互交流帮助.

4.强化：

（1）总结交流：公式的特点.等号左边等号右边符号特征

（2）先用公式计算下列各题，再用多项式乘法法则验证.

①（2x－3）2；②（x+y）2；③（m+2n）2；④（2x－4）2

解：①4x2-12x+9 ②x2+2xy+y2

③m2+4mn+4n2④4x2-16x+16

1.自学指导：

（1）自学内容：教材第110页例3、例4.

（2）自学时间：8分钟.

（3）自学方法：认真观察例题中如何运用公式，分清题目中相当于公式中a、b的数或式是什么.

（4）自学参考提纲：

①式子（4m+n）2中，4m看作公式中的a,n看作公式中的b，所以（4m+n）2=（4m+n)(4m+n)=16m2+8mn+n2.

②（y－1

2

）2=y2－2·y·(

1

2

)+

1

4

=y2-y+

1

4

.

③因为102=100+2，所以1022=(100+2)2=(100)2+2×100×2+(2)2=10404.

④怎样计算9982？说说你的想法.

用完全平方公式，将998写成1000-2，则

9982=(1000-2）2=10002-2×1000×2+22=996004.

2.自学：学生可结合自学指导进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：了解学生是否从例题中学会正确运用公式的思考过程.

②差异指导：帮助学困生对照公式怎样确定“a”、“ b”.

（2）生助生：完成自学提纲，同组内互相检查、交流帮助纠错.

4.强化：

（1）应用公式时，先确定公式中的“a”、“b”是什么？

（2）运用完全平方公式计算：①（－x－y）2；②（2y－1

3

）2

解:①x2+2xy+y2;②4y2-4

3

y+

1

9

.

（3）思考：（a+b）2与（-a－b）2相等吗？（a-b）2与（b-a）2相等吗？为什么？

相等.相等.因为互为相反数的数或式子平方相等.

1.自学指导：

（1）自学内容；教材第111页例5上面的内容.

（2）自学时间：5分钟.

（3）自学方法：认真看课本，并结合自学参考提纲进行学习，注意添加括号时，括号前面是正号和负号时，括号内各项符号的变化.

（4）自学参考提纲：

①整式中添加括号的依据是什么？

②添括号法则是怎样的？

③如何验证你添括号的正确性？

④在等号右边的括号内填上适当的项.

a+b-c=a+（b-c）;a+b-c=a-（c-b）;a-b+c=a-(b-c)

a-b-c=a-（b+c）;a+b+c=a-（-b-c）;a+2b-6c=a+2(b-3c).

2.自学：学生可结合自学提纲进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：了解学生对添括号法则是否学会，会不会检验添括号的正确性.

②差异指导：对学生进行个别指导：括号前为负号时，添括号后注意什么.

（2）生助生：学生之间相互指导.

4.强化：

(1)添括号法则.

（2）括到括号内的各项符号的变与不变与什么有关.

(3)注意各项都变或都不变的意思.

(4)判断下列运算是否正确，若不正确，请改正过来.

①2a-b-c

2

=2a-（b-

c

2

）②m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）

③2x-3y+2=-（2x+3y-2）④a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）

解：①不正确，应等于2a-b+c 2

②不正确，应等于m-(3n-2a+b)

③不正确，应等于-（-2x+3y-2）

④不正确，应等于（a-2b）-（4c-5）

1.自学指导：

（1）自学内容；教材第111页例5的内容.

（2）自学方法：认真看教材，注意观察多项式相乘的特点，以便合理地添括号选用相应的公式.

（3）自学参考提纲：

①计算（x+2y-3）（x-2y+3）时，第一步将整式变形为［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］，