灰色预测模型最新版
灰色预测GM(1, 1)模型实现过程
灰色系统预测模型GM(1,1)实现过程灰色系统预测模型GM(1,1) 1. GM(1,1)的一般形式设有变量X (0)＝{X (0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X (0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列：X (1)＝{X (1)(k )，k ＝1，2，…，n}其中X (1)(k )＝∑=ki 1X (0)(i)＝X (1)(k －1)+ X (0)(k ) (1) 对X (1)可建立下述白化形式的微分方程：dtdX )1(十)1(aX ＝u (2)即GM(1,1)模型。
上述白化微分方程的解为(离散响应)： ∧X (1)(k +1)＝(X (0)(1)－a u )ak e -＋au(3)或∧X (1)(k )＝(X (0)(1)－a u ))1(--k a e ＋au (4) 式中：k 为时间序列，可取年、季或月。
2. 辩识算法记参数序列为∧a , ∧a＝[a,u]T ,∧a 可用下式求解:∧a ＝(B T B)-1B T Y n (5)式中:B —数据阵；Y n —数据列B ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++- 1 (n))X 1)-(n (X 21 ... 1 (3))X (2)X (211 (2))X (1)X (21(1)1(1)(1)(1)(1)）（－－ (6) Y n ＝(X (0)(2), X (0)(3),…, X (0)(ｎ))T (7)3. 预测值的还原由于GM 模型得到的是一次累加量，k ∈{n+1,n+2,…}时刻的预测值，必须将GM 模型所得数据∧X(1)(k +1)(或∧X(1)(k ))经过逆生成即累减生成(I —AGO)还原为∧X (0)(k +1)(或∧X (0)(k ))，即：∧X (1)(k )＝∑=ki 1∧X (0)(i)＝∑-=11k i ∧X(0)(i)＋∧X (0)(k )∧X(0)(k )＝∧X(1)(k )－∑-=11k i ∧X (0)(i)因为∧X(1)(k -1)＝∑-=11k i ∧X(0)(i)，所以∧X (0)(k )＝∧X (1)(k )－∧X (1)(k -1)。
第7章灰色预测方法课件-新版.doc
第7 章灰色预测方法预测就是借助于对过去的探讨去推测、了解未来。
灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
对于一个具体的问题，究竟选择什么样的预测模型应以充分的定性分析结论为依据。
模型的选择不是一成不变的。
一个模型要经过多种检验才能判定其是否合适，是否合格。
只有通过检验的模型才能用来进行预测。
本章将简要介绍灰数、灰色预测的概念，灰色预测模型的构造、检验、应用，最后对灾变预测的原理作了介绍。
7.1 灰数简介7.1.1 灰数灰色系统理论中的一个重要概念是灰数。
灰数是指未明确指定的数，即处在某一范围内的数，灰数是区间数的一种推广。
灰色系统用灰数、灰色方程、灰色矩阵等来描述，其中灰数是灰色系统的基本“单元”或“细胞”。
我们把只知道大概范围而不知其确切值的数称为灰数。
在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数，通常用记号“”表示灰数。
灰数有以下几类：1．仅有下界的灰数有下界而无上界的灰数记为a, 或 a ，其中a为灰数的下确界，它是一个确定的数，我们称a, 为的取数域，简称的灰域。
一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量，若用表示大树的重量，便有0, 。
2．仅有上界的灰数有上界而无下界的灰数记为( ,a ] 或(a)，其中a为灰数的上确界，是一个确定的数。
一项投资工程，要有个最高投资限额，一件电器设备要有个承受电压或通过电流的最高临界值。
工程投资、电器设备的电压、电流容许值都是有上界的灰数。
3．区间灰数既有下界a又有上界a的灰数称为区间灰数，记为a, a 。
海豹的重量在20~25 公斤之间，某人的身高在 1.8~1.9 米之间，可分别记为21 20,25 ， 1. 8,1.94．连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。
灰色马尔科夫模型在我国肺结核发病率预测中的应用
灰色马尔科夫模型在我国肺结核发病率预测中的应用随着科技的不断进步，预测模型在医疗方面得到了广泛的运用。
其中，灰色马尔科夫模型（Gray Markov Model，简称GM(1,1)模型）是一种较为常用的模型，具有较高的预测精度和实时性。
在我国肺结核高发国家的现状下，研究肺结核发病率的变化规律和预测肺结核发病率的趋势，具有重要的现实意义。
一、灰色马尔科夫模型简介灰色马尔科夫模型是将灰色系统理论与马尔科夫转移概率矩阵相结合所形成的一种新型预测模型。
该模型适用于样本量较小的情况下，可以根据序列中的数据，对序列未来的趋势进行预测。
GM(1,1)模型是灰色马尔科夫模型家族中的一员，它以低强度的可预测性和对非线性、小样本和不稳定时间序列的适应性为其主要优势。
二、肺结核发病率变化趋势分析2005年，我国肺结核发病率为93/10万，在此之后随着我国经济发展和卫生保健制度改革的实施，肺结核发病率呈下降趋势。
2010-2018年，我国肺结核发病率分别为65/10万、62/10万、58/10万、55/10万、53/10万、50/10万、47/10万、42/10万、39/10万。
可以看出，我国肺结核发病率在逐年下降，但下降幅度有所减缓。
1、建模：采用GM(1,1)模型对我国肺结核发病率进行预测。
将我国2005-2018年的肺结核发病率数据作为灰色马尔科夫模型的输入变量，以2019-2023年为预测年份。
2、模型训练：用我国2005-2018年的肺结核发病率数据训练GM(1,1)模型，得到预测公式。
在本次研究中，采用GM(1,1)模型的基本步骤如下：①数据一次累加生成新数据序列：$B={b(1),b(2),...,b(n)}$：$b(k)=\sum\limits_{j=1}^{k}x(j)$。
②用新的序列得出数据的矩阵形式:$$ \overset{\sim}{X}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}(x(1)+x(2))&1 \\ -\frac{1}{2}(x(2)+x(3))&1 \\\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot&\cdot \\ -\frac{1}{2}(x(n-1)+x(n))&1 \\ \end{bmatrix} $$③建立一阶常系数非齐次线性微分方程：$$\frac{d\overline{x}}{dt}+a\overline{x}=u(t)$$式中，$a$为灰色作用量或灰色关联系数，$u(t)$为输入序列。
人口预测模型灰色预测
灰色理论概况社会、经济、农业、工业、生态、生物等许多系统，是根据研究对象所属的领域和范围命名的，而灰色系统却是按颜色命名的。
用“黑’’表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰"表示部分信息明确、部分信息不明确。
相应地，信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统成为灰色系统。
灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知"的“小样本"、“贫信息"不确定性系统，它通过对“部分"已知信息的生产、开发实现对现实世界的确切描述和认识。
在人们的生活、经济活动或科研活动中，经常会遇到信息不完全的情况。
例如，在农业生产中，即使是播种面积、、化肥、灌溉等信息完全明确，但由于劳动力技术水平、自然环境、气候条件、市场行情等信息不明确，仍难以准确地预计出产量、产值；在证券市场上，即使最高明的系统分析人员亦难以稳操胜券，因为预测不准金融政策、利率政策、企业改革、政治风云和国际市场变化及其某些板块价格波动对其他板块之影响的确切信息。
灰色系统理论经过20年的发展其主要内容包括以灰色哲学为基础的思想体系，以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色模型(GM)为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。
灰色系统分析除灰色关联分析外，还包括灰色聚类和灰色统计评估等方面 的内容。
灰色模型按照五步建模思想构建，通过灰色生成或序列算子的作用弱化随机行，挖机潜在的规律，经过差分方程与微分方程之间的互换，实现了利用离散的数据序列建立连续的动态微分方程。
灰色预测是基于GM 模型作出的定量预测，有(1,1)GM )模型、残差(1,1)GM 模型、新陈代谢(1,1)GM 模型、灰色Verhulst 模型、离散灰色模型等几种类型。
python实现灰色预测模型（GM11）——以预测股票收盘价为例
python实现灰⾊预测模型（GM11）——以预测股票收盘价为例⽬录程序简介利⽤灰⾊预测GM11模型预测股票收盘价，由于灰⾊预测模型适合短期预测和⼩样本，所以程序输⼊数据为5个，输出为1个，进⾏动态建模程序输⼊：原序列、需要往后预测的个数程序输出：预测值、模型结构(后验差⽐、发展系数、灰⾊作⽤量)灰⾊预测模型（GM11）即对原始数据作累加⽣成（或其它⽅法⽣成）得到近似的指数规律再进⾏建模的⽅法。
灰⾊预测模型对于不同问题采⽤不同模型，模型主要解决⽣成序列是有指数变化规律，只能描述单调的变化过程。
程序/数据集下载代码分析导⼊模块、路径# -*- coding: utf-8 -*-from Module.BuildModel import GM11from sklearn.metrics import mean_absolute_errorimport pandas as pdimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport os#路径⽬录baseDir = ''#当前⽬录staticDir = os.path.join(baseDir,'Static')#静态⽂件⽬录resultDir = os.path.join(baseDir,'Result')#结果⽂件⽬录读取上证指数数据分割训练和测试集，本⽂只使⽤收盘价，查看内容#读取数据data = pd.read_csv(staticDir+'/000001.csv',encoding='gbk')train = data['收盘价'].values[-15:-10]#训练数据test = data['收盘价'].values[-10:]#测试数据data.head()⽇期股票代码名称收盘价最⾼价最低价开盘价前收盘涨跌额涨跌幅成交量成交⾦额02020-02-18'000001上证指数2984.97162990.60032960.77512981.40972983.62241.34920.04523116659133.74998562648e+1112020-02-17'000001上证指数2983.62242983.63712924.99132924.99132917.007766.61472.28373131980073.67014340129e+1122020-02-14'000001上证指数2917.00772926.94272899.57392899.86592906.073510.93420.37632506506273.08080368726e+1132020-02-13'000001上证指数2906.07352935.40602901.24252927.14432926.8991-20.8256-0.71152748048443.34526327364e+1142020-02-12'000001上证指数2926.89912926.89912892.42402895.55612901.674425.22470.86932487334292.97534420493e+11使⽤GM11函数进⾏动态建模，打印结论，GM11函数位于项⽬⽂件夹的Module/BuildModel.py，下⽂会给出代码#GM11动态建模yPre = []for i in range(test.shape[0]):#只预测1个数result = GM11(train,1)yPre.append(result['predict']['value'][0])#更新训练集train = train.tolist()[:-1]train.append(test[i])train = np.array(train).reshape(-1)#计算MAEMAE = mean_absolute_error(test,yPre)#打印模型print(result['C']['desc'])print(result['a']['desc'],np.round(result['a']['value'],2))print(result['b']['desc'],np.round(result['b']['value'],2))后验差⽐<=0.65，模型精度等级为勉强发展系数 0.07灰⾊作⽤量 150.96这是上⽂GM11的函数，该代码可直接运⾏进⾏测试，函数输⼊为原序列和预测个数，输出为模型各参数和序列值# -*- coding: utf-8 -*-import matplotlib.pyplot as pltimport pandas as pdimport numpy as npdef GM11(x,n):'''灰⾊预测x：序列，numpy对象n:需要往后预测的个数'''x1 = x.cumsum()#⼀次累加z1 = (x1[:len(x1) - 1] + x1[1:])/2.0#紧邻均值z1 = z1.reshape((len(z1),1))B = np.append(-z1,np.ones_like(z1),axis=1)Y = x[1:].reshape((len(x) - 1,1))#a为发展系数 b为灰⾊作⽤量[[a],[b]] = np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(B.T, B)), B.T), Y)#计算参数result = (x[0]-b/a)*np.exp(-a*(n-1))-(x[0]-b/a)*np.exp(-a*(n-2))S1_2 = x.var()#原序列⽅差e = list()#残差序列for index in range(1,x.shape[0]+1):predict = (x[0]-b/a)*np.exp(-a*(index-1))-(x[0]-b/a)*np.exp(-a*(index-2))e.append(x[index-1]-predict)S2_2 = np.array(e).var()#残差⽅差C = S2_2/S1_2#后验差⽐if C<=0.35:assess = '后验差⽐<=0.35，模型精度等级为好'elif C<=0.5:assess = '后验差⽐<=0.5，模型精度等级为合格'elif C<=0.65:assess = '后验差⽐<=0.65，模型精度等级为勉强'else:assess = '后验差⽐>0.65，模型精度等级为不合格'#预测数据predict = list()for index in range(x.shape[0]+1,x.shape[0]+n+1):predict.append((x[0]-b/a)*np.exp(-a*(index-1))-(x[0]-b/a)*np.exp(-a*(index-2)))predict = np.array(predict)return {'a':{'value':a,'desc':'发展系数'},'b':{'value':b,'desc':'灰⾊作⽤量'},'predict':{'value':result,'desc':'第%d个预测值'%n},'C':{'value':C,'desc':assess},'predict':{'value':predict,'desc':'往后预测%d个的序列'%(n)},}if __name__ == "__main__":data = np.array([1.2,2.2,3.1,4.5,5.6,6.7,7.1,8.2,9.6,10.6,11,12.4,13.5,14.7,15.2])x = data[0:10]#输⼊数据y = data[10:]#需要预测的数据result = GM11(x,len(y))predict = result['predict']['value']predict = np.round(predict,1)print('真实值:',y)print('预测值:',predict)print(result)进⾏观测值预测值可视化#⽤来正常显⽰中⽂标签plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']#⽤来正常显⽰负号plt.rcParams['axes.unicode_minus']=Falseplt.plot(range(test.shape[0]),yPre,label="预测值")plt.plot(range(test.shape[0]),test,label="观测值")plt.legend()plt.title('GM11预测效果，MAE：%2f'%MAE)plt.savefig(resultDir+'/GM11预测效果.png',dpi=100,bbox_inches='tight')。
数学建模灰色预测法
灰色预测法
1 灰色预测理论
2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
二、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检 验和后验差检验。
（1）残差检验
ˆ 0 i , ˆ 1 i 累减生成 X ˆ 1 i , 并将 X 按预测模型计算 X
ˆ 0 i 的绝对误差序列及相 然后计算原始序列X 0 i 与 X
对误差序列。
原始数据进行生成处理来寻找系统变动
的规律，生成有较强规律性的数据序列，
然后建立相应的微分方程模型，从而预
测事物未来发展趋势的状况。
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• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一
特征量的时间。
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1灰色预测理论
一、灰色预测的概念
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全明确的。
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• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界
来说是一无所知的，只能通过它与外界的
联系来加以观测研究。 • 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不
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一个计算关联度的例子
工业、农业、运输业、商业各部门的行为 数据如下： 工业
X1 45.8, 43.4, 42.3, 41.9
最新灰色预测模型案例资料
1.1.5 两岸间液体化工品贸易前景预测从上述分析可见，两岸间液体化工品贸易总体上呈现上升的增长趋势。
然而，两岸间的这类贸易受两岸关系、特别是台湾岛内随机性政治因素影响很大。
因此，要对这一贸易市场今后发展的态势做出准确的定量判断是相当困难的；但从另一方面来说，按目前两岸和平交往的常态考察，贸易作为两岸经济与贸易交往的一个有机组成部分，其一般演化态势有某些规律可寻的。
故而，我们可以利用其内在的关联性，通过选取一定的数学模型和计算方法，对之作一些必要的预测。
鉴此，本研究报告拟采用一定的预测技术，借助一定的计算软件，对今后10余年间大陆从台湾进口液化品贸易量作一个初步的预测。
(1) 模型的选择经认真考虑，我们选取了灰色系统作为预测的技术手段，因为两岸化工品贸易具有的受到外界的因素影响大和受调查条件限制数据采集很难完全的两大特点，正好符合灰色系统研究对象的主要特征，即“部分信息已知，部分信息未知”的不确定性。
灰色系统理论认为，对既含有已知信息又含有未知信息或不确定信息的系统进行预测，就是在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程进行的预测。
尽管这一过程中所显示的现象是随机的，但毕竟是有序的，因此这一数据集合具有潜在的规律。
灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
本报告以灰色预测模型，对两岸间化工品贸易进行的预测如下： 灰色预测模型预测的一般过程为： ① 一阶累加生成（1-AGO ） 设有变量为)0(X的原始非负数据序列)0(X =[)1()0(x ,)2()0(x ,…)()0(n x ] （1.1）则)0(X的一阶累加生成序列)1(X =[)1()1(x ,)2()1(x …)()1(n x ] （1.2）式中)()(1)0()1(i x k x ki ∑== k=1,2…n② 对)0(X进行准光滑检验和对进行准指数规律检验设)1()()()1()0(-=k x k x k ρ k=2,3…n （1.3） 若满足)(k ρ<1、)(k ρ∈[0,ε]（ε<0.5），)(k ρ呈递减趋势，则称)0(X 为准光滑序列，则)1(X具有准指数规律。
灰色预测法(GM(1-1)模型)
商业
X 4 6.7,6.8,5.4,4.7
参考序列分别为 X1, X 2 ，被比较序列为 X 3, X 4,
试求关联度。
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. #;
解答：
以 X1 为参考序列求关联度。
第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：
X1 1,0.9475,0.9235,0.9138
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10.2 GM(1,1)模型
一、GM（1，1）模型的建立
设时间序列 X 0 X 01, X 02,..., X 0n 有n个观
察值，通过累加生成新序列 X 1 X 11, X 12,..., X 1n
则GM（1，1）模型相应的微分方程为：
dX 1 aX 1
. #;
10.1 灰色预测理论 10.2 GM(1,1)模型 10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
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10.1 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全
已知的，即系统的信息是完全充分的。
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累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
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（2）关联度
X 0k 和 Xˆ 0k 的关联度为：
(完整版)灰色预测模型
我们说X (1)是X (0)的AGO序列，并记为
当且仅当
X (1) AGO X (0)
X (1) x(1) 1, x(1) 2,L , x(1) n
k
并满足 x(1) (k) x(0) (m) (k 1, 2,L , n) m1
例1 摆动序列为：X (0) 1, 2, 1.5, 3
3、灰数及其运算
只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰 数，通常记为：“”。
例如： 1. 头发的多少才算是秃子。应该是个区间范
围。模糊 2.多少层的楼房算高楼，中高楼，低楼。 3.多么重才算胖子？。
灰数的种类：
a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： ∈[a, ∞] b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： ∈[-∞ ,b] c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, b] d、连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰 数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续 灰数。
这表明
IAGO X (1) IAGO(பைடு நூலகம்AGO X (0) ) X (0)
3. 均值生成算子（MEAN）
定义 它是将AGO序列中前后相邻两数取平均数， 以获得生成序列。令X (1)为X (0)的AGO序列
X (1) x(1) 1, x(1) 2,L , x(1) n
称Z (1)为X (1) 的MEAN序列，并记为
定义 它是对AGO生成序列中相邻数据依次累 减，又称累减生成。令X (0)为原序列
X (0) x(0) 1, x(0) 2,L , x(0) n
称Y是 X (0)的IAGO序列，并记为
当且仅当
Y IAGO X (0)
Y y(1), y(2),L , y(n)
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的级比满足
(k)(en21,
2
en1)
A G O X (0 ) X (1 ) (1 ,3 ,4 .5 ,7 .5 )
10
9
8
X (0)
7
6
5
4
3
2
1
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
10
9
8 7
X (1)
65Biblioteka 4321
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
实用文档
2. 逆累加生成算子（IAGO）
I A G O X ( 1 ) 1 ,2 1 ,3 2 ,4 3 ,5 4
(1,1,1,1,1)
这表明
I A G O X ( 1 ) I A G O (A G O X (0 )) X (0 )
实用文档
3. 均值生成算子（MEAN）
定义 它是将AGO序列中前后相邻两数取平均数，
以获得生成序列。令X (1 ) X为( 0 )
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4. 级比生成算子
定义 设序 X ( 0 ) x ( 0 )1 ,x ( 0 )2 , ,x ( 0 )n
列 ，则称
(k)
x(0) (k 1) x(0) (k) ,
k2,3,
,n.
为序列 X (1 ) 的级比。
检验准则
设序列X ( 0 ) x ( 0 )1 ,x ( 0 )2 , ,x ( 0 )n
的AGO序列
X ( 1 ) x ( 1 ) 1 ,x ( 1 )2 , ,x ( 1 )n
称Z ( 1 ) X为(1 ) 为 当且仅当
的MEAN序列，并记
Z(1)M E A NX(1)
Z ( 1 ) z ( 1 ) 1 ,z ( 1 )2 , ,z ( 1 )n
并且每个z(1)(k)Z(1) 系
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灰色预测模型
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1、灰色系统介绍
■ 灰色系统是由华中科技大学的邓聚龙教授80 年代初所创立，在短短的三十年里已得到了长足 的发展。
■ 灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信 息未知”的“小样本，贫信息”不确定性问题， 并依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物 运动的现实规律。其特点是“少数据建模”，着 重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。
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4、灰生成技术
灰色序列生成 是一种通过对原始数据的挖掘、整理来寻求数据变化 的现实规律的途径，简称灰生成。
灰生成特点 在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与 性质。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，
显现其规律性。
灰生成的作用 1.统一序列的目标性质，为灰决策提供基础。 2.将摆动序列转换为单调增长序列，以利于灰建模。 3.揭示潜藏在序列中的递增势态，变不可比为可比序列。
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3、灰数及其运算
只知道大概范围而不知道其确切值的数称为 灰数，通常记为：“”。
例如： 1. 头发的多少才算是秃子。应该是个区
间范围。模糊 2.多少层的楼房算高楼，中高楼，低楼。 3.多么重才算胖子？。
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灰数的种类：
a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： ∈[a, ∞] b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： ∈[∞ ,b] c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, b] d、连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离 散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为 连续灰数。
我们说X (1 )
记为
当且仅当
X是( 0 )
的AGO序列，并
X(1) AG OX(0)
X ( 1 ) x ( 1 ) 1 ,x ( 1 )2 , ,x ( 1 )n
k
并满足 x(1)(k) x(0)(m) (k1,2, ,n) m1
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例1 摆动序列为：X(0)1,2,1.5,3
通过AGO可以加工成单调增序列：
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灰色模型的优点
1、不需要大量的样本。 2、样本不需要有规律性分布。 3、计算工作量小。 4、定量分析结果与定性分析结果不会不一致。 5、可用于近期、短期，和中长期预测。 6、灰色预测精准度高。
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2、灰色系统的基本原理
公理1、差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差 异。 公理2、解的非唯一性原理。信息不完全、不确定的解是 非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的 基本法则。 公理3、最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发 利用已占有的“最少信息”。 公理4、认知根据原理。信息是认知的根据。 公理5、新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信 息。 公理6、灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。
满足
y(k)x(0)(k)x(0)(k1)
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例2 令原始序列X ( 0 ) 为
X ( 0 ) x ( 0 ) 1 , x ( 0 ) 2 , x ( 0 ) 3 , x ( 0 ) 4 , x ( 0 ) 5
(1,1,1,1,1) A G O X (0 ) X (1 ) (1 ,2 ,3 ,4 ,5 )
满足下述关
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z(1)k1 2 x(1)(k)x(1)(k1)
例3 对 X(1) (1,2,3,4,5)
于
M E A N Z ，( 1 有) z ( 1 ) ( 1 ) ,z ( 1 ) ( 2 ) ,z ( 1 ) ( 3 ) ,z ( 1 ) ( 4 )
0 . 5 ( 1 2 ) , 0 . 5 ( 2 3 ) , 0 . 5 ( 3 4 ) , 0 . 5 ( 4 5 ) 1.5,2.5,3.5,4.5
定义 它是对AGO生成序列中相邻数据依次累 减，又称累减生成。令X ( 0 ) 为原序列
X ( 0 ) x ( 0 ) 1 ,x ( 0 )2 , ,x ( 0 )n
称Y 是X ( 0 ) 的IAGO序列，并记为
当且仅当
YIAGOX(0)
Y y (1 ),y (2 ), ,y (n )
并y(k) Y
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常见的几种灰生成类型：
1. 累加生成算子（AGO） 2. 逆累加生成算子（ IAGO） 3. 均值生成算子（MEAN） 4. 级比生成算子
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1. 累加生成算子（AGO）
定义 它是对原序列中的数据依次累加以得
到生成序列。令x ( 0 )
为原序列
X ( 0 ) x ( 0 ) 1 ,x ( 0 )2 , ,x ( 0 )n