不定积分求解方法及技巧

摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。

一．不定积分的概念与性质
定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x∈I，有F’(x)=f(x)dx 则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。

定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x∈I）
简单的说就是，连续函数一定有原函数
定理2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则
（1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；
（2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。

定义2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为⎰f(x)d(x),即⎰f(x)d(x)=F(x)+C
其中记号⎰称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。

性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则⎰[f(x)±g(x)]dx=⎰f(x)dx±⎰g(x)dx.
性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则⎰kf(x)dx=k⎰f(x)dx.
二．换元积分法的定理
如果不定积分⎰g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[ϕ(x)] ϕ’(x).做变量代换u=ϕ(x),并注意到ϕ‘（x）dx=dϕ(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有⎰g(x)dx=⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du.
如果⎰f(u)du可以积出，则不定积分⎰g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。

第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。

定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式
⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du=F(u)+C=F[ϕ(x)]+C.
第一类换元法是通过变量代换u=ϕ(x),将积分
⎰
f[ϕ(x) ϕ’(x)dx 化为
⎰
f(u)du.但
有些积分需要用到形如x=ϕ(t)的变量代换，将积分⎰
f(x)dx 化为
⎰
f[ϕ(t)] ϕ’(t).
在求出后一积分之后，再以x=ϕ(t)的反函数t=ϕ1
-(X)带回去，这就是第二类换元法。

即
⎰
f(x)dx={
⎰
f[ϕ(t)] ϕ’(t)dt})(1X t -=ϕ.
为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=ϕ1
-（x ）存在的条
件，给出下面的定理。

定理2 设x=ϕ(t)是单调，可导的函数，并且ϕ‘（t ）≠0.又设f[ϕ(t)] ϕ’(t)具
有原函数F （t ）,则⎰f(x)dx=⎰f[ϕ(t)] ϕ’(t)dt=F(t)+C=F[ϕ
1
-(x)]+C
其中ϕ
1
-（x ）是x=ϕ（t ）的反函数。

三．常用积分公式 1 基本积分公式
（1）
⎰kdx=kx+C(k 是常数)； （2）
⎰
x u
dx=1
u x 1
u +++C(u ≠-1);
（3）
⎰
x dx =ln x +C ； （4）⎰2
x 1dx +=arctanx+C; (5)
⎰2
x
1dx -=arcsinx+C; (6)
⎰cosxdx=sinx+C;
(7) ⎰sinxdx=-cosx+C ; (8)
⎰x
2
cos dx =⎰sec 2
xdx=tanx+C; (9)
⎰x
dx 2
sin =⎰csc 2
xdx=-cotx+C; (10) ⎰secxtanxdx=secx+C; (11) ⎰cscxcotxdx=-cscx+C; (12) ⎰e x dx= e x
+C; (13) ⎰a x
dx= e x
+C; (14) ⎰shxdx=chx+C; (15) ⎰chxdx=shx+C. (16) ⎰tanxdx=-ln cosx +C; (17)
⎰
cotxdx=ln sinx +C; (18)
⎰
secxdx=ln tanx secx ++C;
(19)cscxdx=ln x cot cscx -+C; (20)
⎰
2
2x a dx +=a
x x ln a 1+-a +C; (21)
⎰22x a dx -=arcsin
a
x
+C; (22) ⎰2
2x a dx +=ln(x+22a x ++C;
(23)
⎰
2
2a x dx -=ln 22a x x -+
+C.
2.凑微分基本类型
四．解不定积分的基本方法
四．求不定积分的方法及技巧小汇总~
1.利用基本公式。

（这就不多说了~）
2.第一类换元法。

（凑微分）
设f(μ)具有原函数F(μ)。

则
C x F x d x f dx x x f +==⋅⎰⎰)]([)()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ
其中)(x ϕ可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。

当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。

如例1、例2： 例1：⎰
+-+dx x x x
x )
1(ln )1ln(
【解】)
1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=
-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2
)ln )1(ln(2
1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：⎰
+dx x x x 2
)ln (ln 1
【解】x x x ln 1)'ln (+=
C x x x x x dx dx x x x +-==++⎰⎰ln 1
)ln (ln )1(ln 122
3.第二类换元法：
设)(t x ϕ=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠具有原函数，则有换元公式
⎰⎰=dt t t f dx f )(')]([x)(ϕϕ
第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。

常见的变换形式需要熟记会用。

主要有以下几种：
acht
x t a x t a x a x asht x t a x t a x a x t
a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222 也奏效。

，有时倒代换当被积函数含有：：t
x c bx ax x t d
cx b
ax d cx b ax t
b ax b ax m n n
n
n 1
)6()5()4(2=++⋅=++++=++
4.分部积分法.
公式：⎰⎰-=νμμννμd d
分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。

具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑：
（1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：dx x
x x ⎰
-⋅2
31arccos
【解】观察被积函数，选取变换x t arccos =,则
=-=-=-⎰⎰⎰
tdt t dt t t t
t dx x x x 332
3cos )sin (sin cos 1arccos
C x x x x x C t t t t t t d t t t t dt t t t t t t t td t d t t +-+---=+---=
-+-=---=-=-⎰⎰⎰⎰arccos 1)2(3
1
3291cos 91
cos 32sin sin 31cos )1sin 31
(sin sin 31)sin sin 31
(sin sin 31)sin sin 31(sin )1(sin 22333233332
例4：⎰xdx 2arcsin 【解】
⎰⎰--=dx
x x
x x x xdx 2
2
211arcsin 2sin arcsin
C
x x x x x dx x
x x x x x x xd x x +--+=----+=-+⎰⎰2arcsin 12arcsin 121arcsin 12arcsin 1arcsin 2arcsin 22
222
上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。

在⎰⎰-=νμμννμd d 中，νμ、的选取有下面简单的规律：
选取的函数不能改变。

，会出现循环，注意，，，νμββνμνμνμ)3(sin ,cos )3()(arcsin ,arctan ,ln )2(cos ,sin ,)()1(x x e x P x x x ax ax e x P ax
m ax m ======
将以上规律化成一个图就是：
但是，当x x arcsin ln ==νμ，时，是无法求解的。

对于（3）情况，有两个通用公式：
C
bx b bx a b a e dx bx e I C bx b bx a b
a e dx bx e I ax ax
ax
ax
+++=⋅=+-+=⋅=⎰⎰)sin cos (cos )cos sin (sin 2
222
21
5.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分 有理函数
)()(x Q x P 先化为多项式和真分式)()(*x Q x P 之和，再把)
()
(*x Q x P 分解为若干个部分分式之和。

（对各部分分式的处理可能会比较复杂。

出现⎰
+=n
n x a dx
I )(22时，记得用递推公式：121222)
1(23
2))(1(2----++-=
n n n I n a n a x n a x I ）
例5：dx x x x x x ⎰+--+2
23246)
1(2
4 【解】=++-++=+--+223222346223246)1(24)1()1(24x x x x x x x x x x x x 2
2322)1(2
41++-+x x x x x
2
22
2422242223222)1(12)1(24)1(24)1ln(211x dx x x x xdx x x x dx x x x C
x dx x x =++=++=++++=+⎰⎰⎰⎰μ
C x x C d d d ++-=+-+=+-=
+-+=++⎰⎰⎰)
1(1111))1(11()1()1()1(12222
2222
222μμμμμμμμμμμμμμ
故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分
万能公式：⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨
⎧
+-=
+=2tan 12tan 1cos 2tan 12
tan 2sin 22
2x x
x x x x 化为有理函数可用变换2
tan )cos ,(sin )cos ,(sin x t dx x x Q x x P =⎰的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。

对于只含有tanx （或cotx ）的分式，必化成
x
x
x x sin cos cos sin 或。

再用待定系数 x
b x a x b x a B x b x a A sin cos )
sin'cos'()sin cos (++++来做。

（3）简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。

像一些简单的，应灵活运用。

如：同时出现x x +1和时，可令t x 2tan =；同时出现x x -1和时，可令t x 2sin =；同时出现x x arcsin 12和-时，可令x=sint ；同时出现x x arccos 12和-时，可令x=cost 等等。

学习完不定积分，觉得这部分内容对我们思维的灵活性要求很大，应该加大习题量，达到见多识广的效果，做完习题注意总结，以及类似题目的整理。

熟记三角函数公式，不定积分基本公式，掌握各种求积分的方法。