用韦达定理解决轮换对称问题

用韦达定理解决轮换对称问题

数学中的轮换对称问题属于群论的一个数学分支。群论是有两位天才而早夭的数学家伽罗华（死时不满21岁）和阿贝尔（死时27岁）创立的。群论的成果是解决了代数中的基本问题，得到了代数基本定理：一元n次方程，算上重根、复根，有且仅有n个。

所谓的轮换对称，是群论的基本概念，设有n个变量x1,x2,x3,…,xn。如果一个有它们中的几个组成的关系式，当实施用x2替换x1,x3替换x2 …,xn替换xn-1,x1替换xn之后得到的新表达式仍然成立。就说对于变量x1,x2,x3,…,xn，关系式是轮换对称的。

韦达定理是典型的轮换对称关系。

韦达定理的一般形式是：

设x1,x2,x3,…,xn是一个一元n次方程xn+A1xn-1+A2xn-2+A3xn-3+…+An=0的根，则(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-xn)= xn+A1xn-1+A2xn-2+A3xn-3+…+An=0 xk的系数规律如下：

xn的系数=1；

xn-k的系数，是左边n个乘积项中k个常数项与n-k个项中的x乘积的所有可能的组合的和即Ak=(-1)kΣ（∏k个根的积）

韦达定理说，所有k个根的积之和=（-1）kAk。

所有k个根的积可以有x1x2…xk经轮换得到的所有不同项组成。

对于一元二次方程x2+bx+c=0

x1+x2=-b

x1x2=c

对于一元三次方程x3+bx2+cx+d=0

x1+x2+x3=-b

x1x2+x2x3+x3x1=c

x1x2x3=-d

数学上所有轮换对称的问题都可以用韦达定理简单明了地解决。下面举例说明。

一道高考数学题：

已知a2(b+c)=b2(c+a)=2012,a≠b，求c2(a+b)的值。

解：已知两式具有轮换对称关系，后一式可有前一式经a换成b，b换成cc 换成a得到，且原有关系不变，因此是轮换对称问题。

把a，b，c看成是一元三次方程x3+Bx2+Cx+D=0的根，则根据韦达定理有a+b+c=-B (1)

ab+bc+ca=C (2)

abc=-D (3)

由（2）得ab=C-c（a+b），代入（3）的

[C-c(a+b)]c=-D

Cc-c2(a+b)=D

c2(a+b)=D+Cc

同理

a2(b+c)=D+Ca

b2(c+a)=D+Cb

由a2(b+c)=b2(c+a)得：

D+Ca=D+Cb

Ca=Cb

a≠b,所以C=0

a2(b+c)=b2(c+a)= c2(a+b)=D 取D=2012，即得结果。