人教版高中数学选修3-4 对称与群(引言)
高中数学《对称与群》课程简介课件 新人教B版选修34
变换的合成： 2 1 D3 0，1，2，1，2，3
1.封闭性
2
1
A C
B A
C B
A A
B C
C B
A C
B B
C A
2
2.结合律 (1 2 ) 1 1 (2 1)
3.存在单位元 1 1 1 单位元 0
4.存在逆元
1 1
1
1
1 1
0 (单位元）
1 1
二、课后领悟
1．数学概念的建立，依赖于对生活的观察和热爱
规则、匀称、和谐、周期性
愉悦 好奇 探求
2．数学的语言是一种万能的语言
马克思说过：一门科学只有当它达到了 能够运用数学时，才算真正发展了。
对称
守恒
3．深入体会数学概念的抽象和提炼过程 对称 对称群 群
4．哲学思想在数学中的具体体现
“如果一个事物具有一种对称性，那么它必 然在某种变换下保持不变；如果一个事物在 一种变换下保持不变，那么它也必然具有某 种对称性。”
<<对称与群>>课程交流
教材：《对称与群》 人教社B版 数学(选修3－4)
一、对教材的认识
二次方程求根公式
一元三次方程置换群 三次方程求根公式
四 次 方 程 求 根 公 式
19世纪，法国数学家加洛瓦证明了五次以及五 次以上代数方程的求根公式不存在
代数方程根之间的置换
群的概念产生的基础
形式上的美感 保持平衡 受力均衡
结束语：
无论在什么地方，只要能应用群论， 就能从纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐。
谢谢大家！
A
C
B
•
0
B
C
旋转变换： 00
人教版高中数学选修3-4 对称与群 第二章 代数学中的对称与抽象群的概念 2.3 抽象群的概念
旧知回顾在前文中，我们已经定义了正n边形的对称群（Dn ，•）和n元对称群（Sn，•）.虽然它们有着背景完全不同的集合，并且他们的运算的含义也不同，但它们却有如下共同特点：（1）有一个非空集合；（2）在这个集合上定义了一个运算；（3）运算满足性质Ⅰ～Ⅳ.导入新课这样的结构在数学、物理学、化学和生命科学中大量存在.数学家把它们概括成一个抽象的概念——群.前面学习的对称群就是群的一个具体例子.2.1 n元对称群S n教学目标知识与能力•感知群的一般概念. •掌握群的验证方法. •掌握群的直和运算.过程与方法•通过实例来学习群的一般概念. •进一步掌握抽象群的意义.•通过实例，掌握群的判定方法.情感态度与价值观•让学生从前后对比中掌握所学知识. •从实例中掌握解题思路.•培养合作交流意识.教学重难点•群的一般概念.•群的直和运算.•群的验证方法.为了介绍群的一般概念，我们先来定义集合上的运算.设G是一个非空集合，G上的一个二元运算是指一个映射“•”，它把G中的任意一个有序对（a，b）都对应到G中的一个元素，我们把这个元素记作a•b.例如：D n中对称变换的合成时D n上的二元运算；S n中置换的合成时S n上的二元运算；整数的加法（+）、减法（-）和乘法（×）都是整数集Z上的二元运算，这是因为两个整数的和、差与积都仍然是整数.定义设非空集合G满足下述4个条件：Ⅰ.G上有一个二元运算“•”，即对任意的a，b∈G，有a•b∈G;Ⅱ.G中有单位元I，对任意的a∈G,I•a=a=a•I;Ⅲ.G中的每个元素都有逆元，即对任意的a∈G，存在a´∈G，使得a•a´=I=a´•a；Ⅳ.G的乘法满足结合律，即对任意的a，b，c∈G，(a•b)•c=a•(b•c)；则（G，•）称为一个群.换句话说，群就是一个非空集合.这个集合有一个满足结合律的二元运算，集合中有一个单位元，集合中每一个元素都有一个逆元.群的例子是大量存在的.例如，正有理数集Q+连同正有理数的乘法构成一个群，记作（Ｑ+，•）.下面的表格说明了Q+满足群的4个条件.二元运算对任意的a，b∈Q+，a•b∈Q+ 单位元I∈Q+逆元对任意的a∈Q+，存在a的逆元Q+结合律对任意的a，b，c∈Q+，(a•b)•c=a•(b•c)又如整数集Z连同整数的加法构成一个群,记作（Z，+）.下面的表格说明Z满足群的4个条件.二元运算对任意的a，b∈Z，a+b∈Z单位元0∈Z逆元对任意的a∈Z，存在a的逆元-a∈Z结合律对任意的a，b，c∈Z，(a+b)+c=a+(b+c)这些例子告诉我们，群的定义中的乘法的含义很广，它可以是平面图形的对称变换的合成、置换的合成.也可以是数的乘法或加法.下面，我们来看一个有限群（元素个数是有限的）的例子.我们知道，所有整数除以3得到的余数只有3个，即0，1和2.记Z 3={0，1，2}.在集合Z 3上定义一个运算，用⊕表示，即对任意的a ，b ∈Z 3，使a ⊕b=(a+b ) 除以3得到的余数.按照这个运算，我们可以得到Z 3的乘法表：⊕0 1 20 0 1 21 12 02 2 0 1例验证Z3和运算⊕构成一个群.分析：只要验证Z3连同运算⊕满足群的4个条件Ⅰ～Ⅳ即可.解：Ⅰ.由Z3的加法表可知，Z3中任意两个元素的和仍然在Z3中；Ⅱ.因为0⊕1=1,1⊕0=1, 0⊕2=2,2⊕0=2,所以0是Z3的单位元；Ⅲ.由1⊕2=2⊕1=0, 0⊕0=0，知1的逆元是2，2的逆元是1，0的逆元是0；Ⅳ.容易验证，对任意的a ，b ∈Z 3， ，即运算⊕满足结合律.综上所述，Z 3和运算⊕构成一个群（Z 3，⊕）.探究用Z4表示所有的整数除以4得到的余数，即 Z4={0，1，2，3}.在这个集合上定义一个运算⊕，即对任意的a，b∈Z4，使a⊕b=（a+b）除以4得到的余数.的乘法表完成下列Z4⊕0 1 2 3123，⊕）也是一个群.并说明（Z4从两个或多个已知群出发，可以构造新的群.设{G1，*}和{G2，*}是两个群，有各自的乘法*，•和单位元e，I.分别从集合G1和G2中任取一个元素，组成所有可能的有序对（a1，B1）,（a2，B2），... （an，Bn），...把所有这样的有序对组成的集合记作G 1×G 2，在G 1×G 2上定义一个运算⊙；对于G 1×G 2中任意两个元素（a 1，B 1），（a 2，B 2），规定（a 1，B 1）⊙（a 2，B 2）= (a 1 *a 2，B 1 •B 2)也就是说，对有序对的第一个分量作G 1的运算*，对第二个分量G 2的运算•.可以证明，G 1×G 2和运算⊙构成一个群，称为G 1和G 2的直积，记作{G 1×G 2，⊙}，它的单位元是（e ，I ）.现在，我们就来看看（Z2，⊕）与（Z3，⊕）的直积作成的群（Z2×Z3，⊕）是什么样子.显然Z2×Z3中有6个元素，即{（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）}.用⊙表示Z2×Z3上的运算，那么我们有（0，0）⊙（0，1）=(0⊕0,0⊕1)=(0,1); （1，0）⊙（0，2）=(1⊕0,0⊕2)=(1,2); （1，2）⊙（1，1）=(1⊕1,2⊕1)=(0,0); ...由此可得Z2×Z3的乘法表，请同学们把它计算好.⊙(0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2) (0,0) (0,0)(0,1)(0,2) (1,2)(1,0)(1,1) (0,0) (1,2)课堂小结1、群的一般概念.2、群的直和运算.3、对群的验证方法.。
1.对称变换的定义-人教A版选修3-4对称与群教案
1. 对称变换的定义-人教A版选修3-4 对称与群教案1.1 含义及定义对称变换是指保持物体形状、大小、方向等不变的变换。
在二维平面中，常见的对称变换包括镜像、旋转、平移和滑花等。
其中，镜像、旋转和平移是三种基本的对称变换。
在数学中，对称变换可以描述为一个函数，用于对空间中的点进行映射。
对称变换常被用于几何学、物理学、化学等领域。
1.2 对称变换的基本性质对称变换的基本性质包括：1.对称变换是一种双射，使得原空间和映射空间之间存在一一对应关系。
2.对称变换具有运算结构，即两个对称变换的复合仍然是一种对称变换。
3.对称变换满足结合律、交换律和分配律等规律。
1.3 对称变换的群对称变换的群是指一组对称变换构成的集合，其中包括两个基本的操作：乘法和取逆。
对称变换的群具有以下性质：1.对称变换群是封闭的，即对称变换群中任意两个变换的复合还是一个对称变换。
2.对称变换群中存在单位元，即不对物体进行变换的恒等变换。
3.对称变换群中每个元素都有一个逆元，即每个对称变换都有一个逆变换。
4.对称变换群满足结合律、交换律和分配律等基本规律。
1.4 对称变换在几何学中的应用对称变换在几何学中具有广泛应用，其中包括以下几个方面：1.利用对称变换进行几何构造，如通过反射和旋转来构造正菱形、正六边形等。
2.利用对称变换进行几何证明，如对称性证明、对偶证明等。
3.利用对称变换求解几何问题，如求解两线相交问题、三角形全等问题等。
1.5 对称变换的例题例1已知图中的正方形 ABCD，构造一种对称变换，使得点 P 对称到点 Q。
imageimage解析：点 P 和点 Q 关于该正方形的对角线 AC 对称，因此可以进行对称变换。
具体方法为：以 AC 为对称轴，将点 P 和点 Q 分别沿轴对称，得到点P’ 和点Q’。
因为对称变换具有双射性质，因此经过该变换后，点Q’ 对称到点P’。
例2已知图中三角形 ABC 和三角形 DEF 全等，点 M 和点 N 分别是 AB 和 DE 线段的中点，证明线段 MN 与线段 BC 重合。
人教版高中数学选修3-4 对称与群第一章平面图形的对称群1.3 平面图形的对称群
旧知回顾根据上节课的学习，我们已经找到了正三角形所有的6个对称变换，即D3={I，r1，r2，r3,ρ1,ρ2}．以及正方形所有的8个对称变换，即D4={I，r1，r2，r3，r4，ρ1，ρ2，ρ3}．这就是说，D3和D4分别包含了正三角形和正方形所有的对称变换．导入新课正五边形所有的对称变换组成的集合一般用D5表示，其中共有2╳5=10个元素，你能找出D5中所有的元素吗？教学目标【知识与能力】了解数学集合的抽象定义．掌握乘数表法，掌握群的概念． 掌握对称群．【情感态度与价值观】通过以前学习的知识，来对比了解现在所得的结论，掌握自然语言和数学语言的差异，使同学们体会到数学的归纳思想．【过程与方法】通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师分析点评，与前面所学的知识进行对比学习．经过对比掌握对称群的定义和性质．结合课本所给的例子，进行简绍．教学重难点重点对称群的定义、性质难点封闭性一般地，把一个平面图形K的所有对称组成的集合记作S(K)．例如，对于正三角形、正方形和正五边形，S(K)分别为D3，D4和D5．由于平面图形K的每一个对称性都可通过它的一个对称变换来描述，所以S(K)也就刻画了平面图形K的全部对称性．这样，我们就把平面图形K的直观对称用精确的数学语言——集合S(K)表示出来了．S(K)就是数学中用来刻画平面图形K的对称的数学模型．小资料数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构．具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式．既然我们用集合S(K)来刻画图形的对称，很自然地，我们希望尽可能多地了解S(K).那么，S(K)中的元素到底有哪些性质呢？它们之间会有怎样的关系呢？下面我们仍然以正三角形和正方形为例来说明．研究正三角形所有的对称变换组中元素之间的关系，最基成的集合D3本的是看一看它们两两合成的结果．为了方便，我们可以用一个表来表示这种合成的结果．I ρ1 ρ2 r1 r2 r3 I I ρ1 ρ2 r1 r2 r3ρ1 ρ1ρ2I r3 r1 r2ρ2 ρ2I ρ1 r2 r3 r1r1r1 r2 r3 I ρ1 ρ2 r2r2 r3 r1 ρ2 I ρ1 r3 r3 r1 r2 ρ1 ρ2 I表 1这个表称为D3的乘法表，这时一种常用的、有力的表示对称变换合成结果的工具．表格的第1行列出了D3的全部6个元素。
4.对称变换的性质-人教A版选修3-4对称与群教案
4. 对称变换的性质-人教A版选修3-4 对称与群教案1. 对称变换的概念对称变换是指在平面上，通过某种规律将任意一点P映射到一个与P关于某个平面、直线或点对称的点P’的变换。
常见的对称变换有：•关于直线对称•关于点对称•关于中心对称2. 对称变换的性质2.1 保持距离不变对称变换能够保持对称轴上的点到对称轴的距离不变，即对于对称轴上的点A 和B，有AB = A’B’。
2.2 保持角度不变对称变换能够保持角度不变，即对于任意两条直线l1和l2，它们的夹角等于它们对称后的直线l1’和l2’的夹角。
2.3 保持面积不变对称变换能够保持平面图形的面积不变，即对于任意一个平面图形，它的对称图形与它的面积相等。
2.4 保持方向不变对于一般对称变换，它能够将起始图形变为对称图形，但是它保持不了方向不变。
但是对于中心对称变换，它能够保持图形的方向不变。
3. 对称与群群是指在某个集合中，定义了一种二元运算，满足结合律、有单位元和可逆元，即满足群的四个公理。
对称变换可以构成一个群，这个群称为对称群。
对称群有以下几个性质:1.对称群中的任意两个对称变换的复合仍然是一个对称变换。
2.对称群中必定存在一个单位元，它对应于不做任何对称变换的情况。
3.对称群中的任意一个对称变换都能找到一个逆变换，使它们的复合等于单位元。
我们可以用对称群的概念来研究平面图形的对称性质。
4. 对称变换实例4.1 关于直线对称以坐标轴为对称轴进行对称变换。
例如，以x轴为对称轴，对点P(2,3)进行对称变换，可以得到点P’(2,-3)。
4.2 关于点对称以点O为对称中心进行对称变换。
例如，以点O(0,0)为对称中心，对点P(2,3)进行对称变换，可以得到点P’(-2,-3)。
4.3 关于中心对称以点O为对称中心进行对称变换。
例如，以点O(0,0)为对称中心，对点P(2,3)进行对称变换，可以得到点P’(-2,-3)。
5. 思考题1.证明对称变换能够保持距离不变。
人教版高中选修3-4第二讲代数学中的对称与抽象群的概念课程设计
人教版高中选修3-4第二讲代数学中的对称与抽象群的概念课程设计一、课程目标本课程旨在通过对代数学中对称和抽象群的概念进行深入探讨，让学生掌握群及其基本性质，并在实际问题中应用群的知识解决问题。
二、教学内容1.对称的概念和分类2.群的基本概念和基本性质3.群的几何意义4.抽象群的概念和分类5.用群的知识解决实际问题三、教学重点与难点教学重点：1.群的定义和基本性质2.群的几何意义3.抽象群的概念和分类教学难点：1.群的应用和实际问题解决2.抽象群的概念和分类四、教学方法1.课堂讲授法：通过教师讲解和演示，让学生掌握群的基本概念和基本性质。
2.探究式学习法：通过学生自主探究群的几何意义和抽象群的概念和分类，增强学生的主动学习意识。
3.问题解决法：通过实际问题，引导学生运用群的知识，解决问题。
五、教学过程与课时安排第一课时教学内容：对称的概念和分类1.教师简单介绍对称的概念和分类。
2.学生自主查找不同形状的对称性并向全班汇报。
3.学生总结对称的概念和分类，教师进行总结和补充。
第二课时教学内容：群的基本概念和基本性质1.教师详细讲解群的定义和基本概念。
2.学生通过实例理解群的基本性质。
3.学生总结群的基本概念和基本性质，教师进行总结和讲解。
第三课时教学内容：群的几何意义1.教师介绍群的几何意义。
2.学生通过实例理解群的几何意义。
3.学生探究群的几何意义，教师进行引导和讲解。
第四课时教学内容：抽象群的概念和分类1.教师详细讲解抽象群的概念和分类。
2.学生通过实例理解抽象群的分类。
3.学生总结抽象群的概念和分类，教师进行总结和补充。
第五课时教学内容：用群的知识解决实际问题1.教师介绍如何用群的知识解决实际问题。
2.学生通过实际问题掌握如何用群的知识解决问题。
3.学生独立解决实际问题并向全班汇报解决方法和过程。
六、教学评估1.上课期间教师随时进行点名、提问、讲评等方式进行课堂研究，对学生的掌握情况进行评估。
2.期末考试：设计难易适中、覆盖面广的期末考试，测试学生对群及其应用的掌握情况。
人教版高中数学选修3-4 对称与群第一章平面图形的对称群1.1 平面刚体运动
对称图形有什么特点？
导入新课
思考一
在一张纸（平面）上画一 个等腰△ABC,在它的底边的垂 直平分线AD处放一面“双面 镜”,并使镜面与纸面垂直,在镜 面的反射下,△ABC被映射成了 什么图形？这个图形与△ABC 有什么关系？
A
B(C)
D
C(B)
思考二
A(C) D(B)
一个正方形ABCD 绕它的中心O逆时针旋 转180°后,变成了什么 图形？得到的图形与 原来的图形有什么关 系？
平面刚体运动m：平面→平面有 哪些性质呢？保持距离不变是m的一个 很强的性质．可以证明,只要知道不共 线的3个点A,B,C在m下的象A,B,C,m就 完全确定下来了．
命题
平面刚体运动
m：平面α →平面α
将平面α内的直线映成直线,射线映成
射线,线段映成等长的线段．
证明：令l是平面α内的任意一条直线,设m
探究
设P,Q是平面内的任意两点,在旋转 （或反射）变换的作用下,它们的对应点 分别是P′,Q′.P′到Q′的距离与P到Q的距离 有什么关系？
结论
可以发现,反射变换和旋转变换有 一个共同的特点,即所谓的“保距性”. 也就是说,对于平面内的任意两点P和Q, 在反射（或旋转）变换的作用下的对应 点是P′和Q′,那么P′到Q′的距离等于P到 Q的距离．
D(B)
注意
P O P′
Байду номын сангаас
若没有特别 说明,旋转的方向 都是指逆时针方 向．
B(D)
C(A)
一般地,如果一个平面图形在影射ρ （以点O为中心转180°的旋转）的作用 下仍与原来的图形重合,我们就称这个平 面图形是一个中心对称图形．
按照这个定义,引言中的平行四边形、 正六边形、圆都是中心对称图形吗？这个 定义与引言中的定义2是等价的吗？
n元对称群Sn-人教A版选修3-4对称与群教案
n元对称群Sn-人教A版选修3-4 对称与群教案前言对称与群在现代数学中具有重要的地位，人教A版选修3-4将对称与群作为一个重要的知识点进行学习。
其中，n元对称群Sn是一个非常重要的概念。
本教案将对n元对称群Sn的相关知识进行介绍，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、n元对称群的定义n元对称群Sn是由n个元素的所有置换构成的群。
其中，置换是指将n个元素排列组合的一种方式，这种排列组合可以看作是一种变换。
对于n个元素的置换，可以用一个包含n个元素的排列表示。
对于n元置换，其元素数量为n!，即n的阶乘。
例如，当n=3时，共有3! = 6个置换，它们分别是：(1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1)其中，每一个置换都表示一种将3个元素重新排列的方式。
二、n元对称群的性质与其他群一样，n元对称群也具有许多性质。
其中，比较重要的性质包括：1. 封闭性n元对称群中的任意两个置换进行组合可以得到另外一个置换，因此，n元对称群是封闭的，即乘积仍然在n元对称群中。
2. 逆元对于n元对称群中的任意一个置换，都存在其逆元。
举个例子，对于置换 (1 2 3)，存在一个置换 (1 3 2)，使得它们相乘的结果为恒等置换 (1 2 3) * (1 3 2) = (1 2 3)(1 3 2) = (1)(2)(3)。
3. 结合律在n元对称群中，乘法运算是结合的。
即对于置换(a1 a2 … an), (b1 b2 … bn), (c1 c2 … cn) 都属于n元对称群Sn，有((a1 a2 … an) * (b1 b2 … bn)) * (c1 c2 … cn) = (a1 a2 … an) * ((b1b2 … bn) * (c1 c2 … cn))4. 唯一单位元n元对称群中存在唯一的单位元，即符合恒等变换规则的置换，它的形式类似于(1)(2)(3)…(n)。
人教版高中数学选修3-4 对称与群 第二章 代数学中的对称与抽象群的概念 2.1 n元对称群Sn
例如，正三角形的对称变换所对应的 置换是集合T3={1，2，3}到其自身的一一
对应，它们共有2 3=6个，这是T3的全部
置换.T3的全部置换组成的集合记作S3.
正方形的对称变换所对应的置换是集 合T4={1，2，3，4}到其自身的一一对应， 它们共有2×4=8个，但这只是T4的部分置 换.容易知道，T4共有4!=24个置换.T4的全 部置换组成的集合记作S4.
3
2
2
1
3 ;
(2)
1
2
2 1
3
3
1 1
2 3
3 2
;
解：
(1)
1 1
2 3
3 2
1
2
2 1
3 3
1 3
2 1
32 ;
1 2 3 1 2 3 1 2 3
(2)
2
1
3
1
3
2
2
3
1
.
由本例题可以知道，置换的合成不满 足交换律.
有了上面的准备，我们就能用置换来 表示二面体群（Dn，•）了.
3
2
1
3
2
1
1
2
3
2
3
1
旧知回顾
在上一讲，我们通过画图或操作模 型的方法，研究了正三角形的对称群 （D3， ）以及正方形的对称群 （D4， ）.回想一下群的定义和它的性 质.
导入新课
在上一节，我们用群的方法来表示 正n边形的对称变换，那么除了它自身的 对称群以外，还有没有其他的对称变换？ 这一讲我们将考察代数学中的对称.
4
3
1
2
4
3
2
1
与对称变换的合成相对应，我们可以定 义置换的合成.通常两个置换的合成也是按 照从右到左的顺序，先做一个置换，再做一 个置换.
多项式的对称变换-人教A版选修3-4对称与群教案
多项式的对称变换-人教A版选修3-4 对称与群教案知识概述本节课主要讲解对称变换在多项式中的应用，对称变换是一种基本的数学变换，通过对称变换可以得到一些共性结论。
多项式是一个重要的数学概念，在整个数学领域中都得到了广泛的应用。
本节课中将探讨对称变换在多项式中的应用，以及对称性与群这两个数学概念之间的关系。
对称变换在多项式中的应用对称变换是一种用来研究几何图形共性的方法，它通过改变图形的位置、方向或形状，使得原来的图形和使用对称变换后的图形共性更加突出。
类似地，在多项式中，对称变换同样可以用来研究多项式的共性。
多项式是由若干项组成的代数式，每一项由系数和指数组成，多项式的对称变换主要体现在调换多项式中项的次序，以及改变多项式项中系数的符号等多个方面。
我们可以通过这些对称变换来研究多项式之间的联系和共性。
多项式的对称变换主要有以下几种：1.对多项式的系数进行一定的对称变换，如将多项式中的所有系数都取相反数。
2.对多项式的项次进行一定的对称变换，如将多项式中的所有相同项次的项互相交换位置。
3.将多项式分解为若干个因式，然后将因式的位置互相对换。
4.对多项式的根进行一定的对称变换，如对于二次多项式ax2+bx+c，将其中的根互相交换位置。
通过对多项式进行对称变换，我们可以得到很多共性结论。
例如，对于二次多项式ax2+bx+c，它关于x轴对称当且仅当b=0；它关于y轴对称当且仅当a=0；它关于原点对称当且仅当a=c=0。
这些结论可以用来简化多项式的计算和分析，并且可以给我们提供多项式的特殊性质。
对称性与群对称性是一个非常重要的数学概念，它在数学、物理、化学等领域中都得到了广泛的应用。
对称性是指在某种变换下，物体、图形、多项式、函数等具有不变性质的性质。
例如一个图形在旋转、对称、平移等变换下具有相同的形状，那么它就具有对称性。
对称变换是对称性的一种具体表现方式，通过对称变换可以得到对称性的相关性质。
而群则是对称性的抽象表达方式，它是一种代数结构，用来描述对称变换的运算方式和对运算下的一些性质的描述方式。
人教版高中选修3-4三平面图形的对称群课程设计
人教版高中选修3-4三平面图形的对称群课程设计一、课程目的通过本课程的学习，学生将会掌握以下知识和技能：•掌握三维空间中的平移、旋转和对称操作；•理解对称群的基本概念和性质；•能够通过对称群的概念解决三维空间中的几何问题；•提高学生的抽象思维能力和问题解决能力。
二、教学内容及进度安排1. 第一讲：三维空间中的平移、旋转和对称操作•平移：向量的加法；•旋转：绕轴旋转的矩阵表示；•对称：三种不同的对称操作。
2. 第二讲：对称群的概念和性质•对称群的定义和基本性质；•循环群和置换群；•对称群的作用和分类。
3. 第三讲：对称群的应用•三面体、四面体和正六面体的对称群；•填充空间的对称性质；•最密堆积的对称性质。
4. 第四讲：对称群的性质深入研究•对称群的分类和表示；•镜面反演的对称群；•对称群的基本定理。
三、教学方法及要求1. 教学方法•讲授理论知识，注重概念的把握和基本原理的讲解；•解题实例，注重实践操作和示范教学；•课堂互动，注重学生的参与和思考。
2. 动手实践要求•能够正确地通过平移、旋转和对称操作进行平面图形的变换；•能够根据对称群的概念解决三维空间中的几何问题。
3. 评估方式•平时表现（出勤率、课堂参与度、作业完成度等）占40%；•期末考试（理论和实践）占60%。
四、教材及参考书目1. 教材《高中数学选修3》，人教版，必修系列。
2. 参考书目•《对称群与拓扑群》，纪念良等，北京大学出版社；•《对称群的理论及其应用》，龚卫兵等，高等教育出版社；•《群论与拓扑》，赵先陶，科学出版社。
五、教学建议1. 建议一本课程是一门理论和实践相结合的课程，建议老师课上要注重实践操作，培养学生的动手能力。
2. 建议二在课堂上可以将展示屏的投影与数学软件（例如Geogebra）相结合，可视化地展示图形的变换和对称操作过程，提高学生的兴趣和参与度。
3. 建议三学生也可以通过观看相关的视频教程、参与数学竞赛、阅读数学科普文章等多元化方式来提高自身的数学素养和学习兴趣。
人教版A版高中数学选修3-4n元对称群Sn
相继作用的效果，恰相当于③中的恒等变换，即不动，称
为 的逆元，这称为S(N)中的运算满足逆元律;
N的对称集S(N) 叫作“N的对称变换群”。
对称与群
三、群的定义与性质
1、定义 设G是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足以 下条件：
②S(N)中任意三个元素 1 、2、 的3 运算， 1 2 是3 先做 1 的2 运算还是先做 1 的3 运算，效果是一样
的，称之为S(N)中的运算满足结合律；
对称与群
③S(N)中总有一个特殊的元素即恒等变换，它如同数的 乘法中的1与任何元素作运算都保持该元素不变，称之为 S(N)中的运算满足幺元律;
对称与群
让静的平面图形动起来，在运动中看对称。用运动的观 点去考察事物，研究事物，是常用的方法。
可以把平面图形的对称中用到的运动分为三类：
反射； 旋转； 平移。
1.2 从不变性看“对称”
共同的特点是，都保持平面上任意两点间的距离不变。 所以，把反射、旋转、平移，或者它们的相继实施，统 称为“保距变换”，把S(K)中元素多少作为K的对称性的 量化的描述
1.5 集合上的可逆变换，子集的对称变换
设M是一个集合，则M到自身的一个映射称为“M上的一 个变换”；M到自身的一个可逆映射称为“M上的一个可 逆变换”。 几个例子…
对称与群
变中有不变，“变”是指集合M上有特点的一些可逆变
换，每个可逆变换 都“改变”了集合M中的元素和子集
。这里的“不变”，是指对于M的一个具体的子集 N，
对称与群
“n 元置换”一共有n!个。如果f是n 元多项 式，则S(f)是全体n!个n 元置换所构成集合的
引言-人教A版选修3-4对称与群教案
引言-人教A版选修3-4 对称与群教案一、背景介绍在我们平常的生活中，对称往往是我们常常能感受到和容易理解的事物。
对称是指物体围绕一个中心点或者某种轴线发生的一种空间变换。
比如，我们会发现很多有规律的几何图形、花卉、肢体、生物、自然现象等都具有对称固有的美。
在数学中，对称性是一种非常重要的概念，并有着广泛应用。
而群，在高等数学中更是一个非常核心的概念。
人教A版选修3-4课程中的对称与群的知识，对于学习高等数学、物理，计算机、化学等学科都有很大的意义和价值。
二、教学目标本教材旨在使学生通过学习，掌握以下知识点：1.怎么理解对称（具有对称轴的多边形、正方体、等腰三角形等）。
2.怎么画出一个图形所有的对称轴，并且熟练运用左右移动、旋转、垂直翻转等对称操作。
3.了解群的基本概念，可以用群来描述对称变换中的一些性质。
4.能够应用群的知识来解决应用题，比如定理的证明、图形的判断等。
三、教学内容1.对称对称是数学中的一个重要概念。
人教A版选修3-4围绕对称向学生讲授了如何理解对称，以及如何画出一个物体的对称轴。
在这一部分中，学生会学到以下内容：•对称的概念及其运用。
•点、线、面的对称性质及其特征、对称轴的条件及特点。
•对称性和自相似性、平移对称、旋转对称、对称图案的设计等。
2.群群是对称性及其应用的基本工具，也是代数学中的一个重要概念。
了解群的基本概念对于学生理解对称性及其性质特别重要。
在这一部分中，学生会学到以下内容：•群及其相关的概念（群元、群的运算法则、单位元、逆元）。
•从群的角度来看待对称变换，包括平移对称群和旋转对称群。
•群的四个基本运算：结合律、分配律、交换律及其零元与单位元的性质。
3.群的应用在具体应用中，群是描述对称变换的一个重要工具。
群的应用可以极其复杂，本教材着重在能够应用群的基本概念解决图像及其某些属性的应用题中，比如判断某个图形是否具有对称性、证明某个定理。
在这一部分，学生会学到以下内容：•如何用群来描述一些对称变换的性质。
人教版B版高中数学选修3-4(B版)多项式的对称变换群
zz
x y
y x
zz
谢谢观赏
解： 可以看到，题目中的多项式三个未知数的次数相 同，前面的系数也相同，那么三个字母之间可以互换。 因此，此多项式的对称变换为S3。
练习测评
练习： 写出下列多项式的对称变换： （1）x2+y2+z3+c3 （2）x+xyz+y+z2
练习测评
解： (1)观察题目中的多项式，可以发现x、y的次数相 同，z、c的次数相同，而恰好x、y的系数也相同，z、c 的系数也相同。 那么可以知道x、y可以互换，z、c可以互换。 所以全部的对称变换如下：练习Leabharlann 评x xy y
z z
c c
x y
y x
z z
c c
x x
y y
z c
c z
x y
y x
z c
c z
练习测评
（2）题目中给了一个混合项xyz，但是x、y、z的次 数时相同的，互换不影响。
所以所有的对称变换为：
x x
y y
典型剖析
解： 我们仔细观察题目中的多项式，发现y、z的系数是 相同的，也就是说只有y、z是可以互换的。 那么对称变换为：
x x
y y
z z
x x
y z
yz
典型剖析
例2： 利用刚才的方法，试着写出多项式3x12+3x22+3x32的 全体对称变换，并说明原因。
典型剖析
要点总结
多项式的对称变换定义如下：
设F（x1,…，xn）是x1，…，xn的一个多项式，如果 经过字母的替换仍与原来的多项式相等，那么就说F具有 对称性，上述字母的替换叫做多项式的对称变换。
人教A版高中数学选修3-4-1.3 平面图形的对称群-教案设计
平面图形的对称群【教学目标】1．掌握平面图形的对称群的含义。
2．熟练运用平面图形的对称群的性质解决具体问题。
3．亲历平面图形乘法表的探索过程，体验分析归纳得出()S K 的性质，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：掌握平面图形的对称群的性质。
难点：平面图形乘法表的实际应用。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习平面图形的对称群的含义和性质，这节课的主要内容有平面图形的对称群的含义以及乘法表的相关性质，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解平面图形的对称群的含义内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习平面图形的对称群的含义及正三角形的乘法表，它的具体内容是：由于平面图形K 的每一个对称性都可通过它的一个对称变换来描述，所以()S K 也就刻画了平面图形K 的全部对称性。
3D 中任意两个元素的乘积仍然在3D 中，也就是正三角形的任意两个对称变换的合成仍然是3D 中的对称变换。
我们称3D 的这个性质为正三角形的对称变换合成的封闭性。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：如何从3D 的乘法表中看出对称变换的合成不满足交换律？解析：表格关于主对角线不对称。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：3D 乘法表中每一行或者每一列的元素两两不同，且都包含了3D 的所有元素，说明了什么？解：说明了任意取3D 中的一个元素m ，它与3D 中任意两个不同元素分别相乘，所得的积不相等。
（3）接着，我们再来看下()S K 的性质内容，它的具体内容是：()S K 中任意两个变换合成的结果仍然在()S K 中。
()S K 中存在恒等变换I 。
()S K 中任意一个变换的逆变换仍然在()S K 中。
()S K 中的变换的合成满足结合律。
我们把()S K 连同它的运算“⋅”称为平面图形K 的对称群，记作()(),S K ⋅它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。
人教版高中选修3-4三平面图形的对称群课程设计 (2)
人教版高中选修3-4三平面图形的对称群课程设计一、前言三平面图形的对称群是高中数学中的重要内容，也是下一步进阶学习线性代数的基础。
因此，本课程设计旨在帮助学生更好地理解三平面图形的对称群，掌握求解三平面图形的对称群的方法和技巧，激发学生学习线性代数的兴趣。
二、教学目标本课程的教学目标分为三个方面：1.掌握求解三平面图形的对称群的方法和技巧；2.熟悉对称群的基本概念及其运算规则；3.能够灵活运用对称群的概念和方法解决实际问题。
三、教学内容1. 引入在引入部分，我们将介绍对称群的定义以及与三平面图形的关系。
通过实例，学生将会有更加直观的认识与理解。
2.对称群的概念对称群的概念是本课程设计的核心内容，我们将依次讲解有限对称群、对称群的运算和对称群表的构建等内容。
3.对称群的应用在讲解完对称群的基础概念后，我们将通过一些真实的例子，让学生了解对称群的应用以及如何运用对称群进行计算和求解。
4.复习与评价在教学的最后阶段，我们将对所学内容进行复习，并进行一些模拟题与练习以检验学生对所学知识的掌握。
同时，我们将对学生的课程表现进行评价和反馈。
四、教学方法1. 教师主导讲授教师将分步骤讲解对称群的定义、运算规则和构建对称群表。
在教学过程中，可以使用引入例子等方式引出对称群的概念。
2. 问题导向教学在对称群的应用部分，我们将引出一些实际问题，并引导学生运用对称群解决问题。
这种教学方法旨在培养学生的问题解决能力以及将所学内容应用于实际生活中的能力。
3. 小组合作学习在教学的最后阶段，我们将采用小组合作学习的方式进行复习和练习。
每个小组需要解决一些问题，并对所得结果进行讨论和总结。
这种教学方法旨在培养学生的团队合作精神和解决问题的能力。
五、教学过程1. 引入（10分钟）在引入阶段，我们将通过引入一个小例子来引出对称群的概念。
例如，可以用一个正方形来说明对称群的含义。
2. 对称群的概念（40分钟）在此阶段，我们将系统讲解对称群的定义、运算规则和构建对称群表。
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回顾旧知
这一建筑有什么特点?
将图片旋转后看看!
新课导入
在我们的周围,有许许多多的对称现象.对“对称性”的研究常常可以使我们加深对物体性质的认识.
蝴蝶的翅膀具有对称性
人体具有对称性
足球具有对称性
扑克牌具有对称性
教学目标
知识与能力
•感知现实中图形的对称性．•认识对称图形的特点．•了解对称图形的分类．
过程与方法
•通过观察、了解对称图形的特点．
•进一步了解对称图形在实际生活中的应．•掌握简单的画图方法,在动手操作中认识对称图形．
情感态度与价值观
•让学生从图行对称的角度识别现实生活中大量存在的现象和规律．
•培养合作交流意识．
教学重难点
重点
对称的定义、分类.对称轴、对称中心的寻找．
难点
理解对称在现实生活中的意义．
探究
上面图形的对称性有什么不同？
知识要点 1
定义1：如果一个平面图形沿着平面上一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线称为它的对称轴．
等腰三角形、等腰梯形、正五边形等都是轴对称图形．
在现实中,有好多著名的中外建筑是轴对称图形．
也有好多古、今中外的艺术珍品是轴对称图形．
知识要点 2
定义2：把一个平面图形绕平面上某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点称为它的对称中心．
平行四边形、正六边形等都是中心对称图形．
圆、正方形等既是轴对称图形,又是中心对称图形．
以上图形有几条对称轴？
它们有几个对称中心？
一个图形的对称轴可以有很多,但对称中心却只有一个.例如正方形,它有好多条对称轴,却只有一个对称中心．
圆有几条对称轴,有几个对称中心？
?
很明显,圆的直径都是它的对称轴,而对称中心就是它的圆心．
正是根据过圆心的
任意直线都是圆的对称
轴,绕圆心旋转任意角度
都与原来的圆重合,古希
腊毕达哥拉斯学派认为,
圆是平面上最完美的图
形．
毕达哥拉斯
课堂小结
1. 轴对称图形：
一个平面图形,沿着一条直线对折,左右可以重合,则这个图形就叫做轴对称图形.那条直线称为它的对称轴.
它们都是轴对称图形
2. 中心对称图形：
把一个平面图形绕一点旋转180°后,可以和原来的图形重合,这个图形就称为中心对称图形,这个点叫做对称中心．
它们都是中心对称图形
小练习
下边是一个正三角形,找出它的对称轴和对称中心．。