高中数学必修二——空间两点间的距离公式

2．若点 P1(x1，y1,0)，P2(x2，y2,0)， 2 2 则|P1P2|＝ x1－x2 ＋y1－y2 . 3．若点 P1(x1,0,0)，P2(x2,0,0)， 则|P1P2|＝ |x1－x2| .
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4.3.2
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[问题情境] 我们已经学习了平面上任意两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)之间 的距离公式 |AB|＝ x1－x22＋y1－y22.那么空间中任意两 点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间距离的公式是怎样的？ 本节我们就来探讨这个问题．
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4.3.2
跟踪训练 1 在 z 轴上求一点 M，使点 M 到点 A(1,0,2)与点 B(1， －3,1)的距离相等．
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解
设点 M 的坐标是(0,0，z)．依题意，
得 0－12＋0＋z－22＝ 0－12＋0＋32＋z－12.
解得 z＝－3.即 M 点坐标为(0,0，－3)．
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小结 空间中点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2| ＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
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探究点三 例1 空间中两点间的距离公式的应用
4.3.2
如图， 正方体 OABC－D′A′B′C′的棱长
为 a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求 MN 的长．
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解
过 M 作 MF 垂直 BC 于 F，连接 NF，显然 MF
垂直平面 ABCO，所以 MF 垂直 NF， 因为|BM|＝2|MC′|，所以|BF|＝2|FC|，
1 a 又|AN|＝2|CN|，所以 NF 平行 AB，所以|NF|＝|FC|＝3|AB|＝3， 2 2a 同理|MF|＝3|CC′|＝ 3 ， a 2a a 2a 因此，得点 N 的坐标为3， 3 ，0，点 M 的坐标为3，a， 3 ，
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问题 3
答
4.3.2
若直线 P1P2 是 xOy 平面的一条斜线，则点 P1，P2 的距
如图，在 Rt△P1HP2 中，|P1H|＝|MN|
离如何计算？
＝ x1－x22＋y1－y22，根据勾股定理，得|P1P2| ＝ |P1H|2＋|HP2|2 ＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
问题 2 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点 A(x，y,0)，B(0，y， |OA|＝ x2＋y2，|OB|＝ y2＋z2，|OC|＝ x2＋z2. z)，C(x,0，z)，与坐标原点 O 的距离分别是什么？ 答
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问题 3 如图，在空间直角坐标系中，设
4.3.2
点 P(x， y， z)在 xOy 平面上的射影为 M， 则点 M 的坐标是什么？|PM|， |OM|的值 分别是什么？
探究点二 导引 空间两点间的距离公式
4.3.2
在空间中，设点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求点
P1、P2 之间的距离|P1P2|?
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问题 1 设点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在 xOy 平面上的射影分 别为 M，N.那么 M，N 的坐标是什么？点 M、N 之间的距离 如何？
答
问题 2 答
M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；|MN|＝ x1－x22＋y1－y22.
若直线 P1P2 垂直于 xOy 平面，则点 P1，P2 之间的距离如 |P1P2|＝|z1－z2|；|P1P2|＝|MN|＝ x1－x22＋y1－y22.
何？若直线 P1P2 平行于 xOy 平面， 则点 P1、 P2 之间的距离如何？
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答
M(x，y,0)，|PM|＝|z|，|OM|＝ x2＋y2.
基于上述分析，你能求出点 P(x，y，z)与坐标原点 O
问题 4
的距离公式吗？
答
如 图 ， 在 Rt△OMP 中 ， 根 据 勾 股 定 理 ， |OP| ＝
|OM|2＋|PM|2 ＝ x2＋y2＋z2.
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于是|MN|＝
a a 2a 2a2 2 2 － ＋ －a ＋0－ ＝ 3 3 3 3
5 a. 3
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4.3.2
小结
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在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些
性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用．如平面直角坐 标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空ຫໍສະໝຸດ Baidu 中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不 适用．
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例 2 已知正方形 ABCD、 ABEF 的边长都是 1， 且平面 ABCD⊥ 平面 ABEF，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM＝BN＝a(0＜a＜ (1)求 MN 的长；
填一填·知识要点、记下疑难点
4.3.2
1．在空间直角坐标系中，给定两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，
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则|P1P2|＝
x1－x22＋y1－y22＋z1－z22
.
.
特别地：设点 A(x，y，z)，则 A 点到原点的距离为：|OA|＝
x2＋y2＋z2
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4.3.2
[学习要求]
空间两点间的距离公式
1．了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程；
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2．会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离． [学法指导] 通过由平面上两点间的距离公式，猜想空间两点距离公式， 然后由空间特殊的两点距离向一般的两点距离过渡，从而推 导出空间两点间距离公式，经历从易到难，从特殊到一般的 认识过程.
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4.3.2
探究点一 问题 1
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空间中点 P 与坐标原点的距离公式
在空间直角坐标系中，坐标轴上的点 A(x,0,0)，B(0，
y,0)，C(0,0，z)，与坐标原点 O 的距离分别是什么？ 答 |OA|＝|x|，|OB|＝|y|，|OC|＝|z|.