克里格空间插值法权威

1.8 方差变异函数

2）曲线从较低的方差值升高，到一定的间隔值时 到达基台值，这一间隔称为变程（range）。在理 论函数模型中，变程用a表示。 变程是半方差函数中最重要的参数，它描述 了该间隔内样点的空间相关特征。在变程内，样 点越接近，两点之间相似性、即空间上的相关性 越强。很明显，如果某点与已知点距离大于变程， 那么该点数据不能用于数据内插（或外推），因 为空间上的自相关性不复存在。 变程的高低取决于观测的尺度，说明了相互 作用所影响的范围。不同的属性，其变程值可以 变化很大。
1.2.2局部插值方法
只使用邻近的数据点来估计未知点的值， 包括几个步骤： a.定义一个邻域或搜索范围； b.搜索落在此邻域范围的数据点； c.选择表达这有限个点的空间变化的数学 函数； d.为落在规则格网单元上的数据点赋值。 重复这个步骤直到格网上的所有点赋值完 毕。
1.2.2局部插值方法 分类


式中符号的意义与前面相同。球面模型最为常用，此 外，由于球状模型是根据三维空间的随机移动平均过程推 导获得，因此特别适用于三维空间。
1.9 理论变异函数模型

3．指数模型(Exponential model)

其中，d是控制方程空间范围的距离参数。这 里，仅在无穷远处相关性完全消失。变程为3d。 指数模型在统计理论中地位重要，它表示了空间 随机性的要素，是一阶自回归和马尔可夫过程的 半方差函数。作为自相关函数，它们是采样设计 有效性的理论基础。
1.2空间内插值分类方法
1 整体插值方法 用研究区所有采样点的数据 进行全区特征拟合； 2 局部插值方法 是仅仅用邻近的数据点来估 计未知点的值。
1.2.1整体插值方法


1 边界内插方法 边界内插方法假设任何重要的变化发生 在边界上，边界内的变化是均匀的，同质 的，即在各方向都是相同的。 2 趋势面分析 根据采样点的属性数据与地理坐标的关 系，进行多元回归分析得到平滑数学平面 方程的方法，称为趋势面分析。
1.8 方差变异函数

3）理论方差函数曲线不穿过原点，而是存在一个最小的方差值。理论上讲，当间隔 h=0时，估值的方差应该为0，因为任何一点与自身之差的值为0。h趋近于0时，r（h） 轴上的正截距是残差的一个估计，该值称为块金（或基底，nugget）。在理论函数模型 中，用C0表示。 块金是在间隔距离小于采样间距时的测量误差或空间变异，或者是二者的和。测 量误差是由仪器的内在误差引起的，空间变异是自然现象在一定空间范围内的变化。 小于采样间距的微观尺度上空间变异是块金的一部分。 当r（h）值在所有的h值上都等于基台值时，实验半方差函数就表现为纯块金效应， 这通常由于短间距内点与点的变异很大而引起，表明所使用的采样间隔内完全没有空 间相关性，此时，可以认为各个样点是随机的，区域平均值就是各点的最佳估计值。 此时，只有增大采样间隔才能揭示出空间相关性。 块金与基台的比值（C0/(C+C0)，基底效应）可以用来说明空间的变异特征，该值 越大，说明空间变异更多的是随机成分引起的，否则，则是由特定的地理过程或多个 过程综合引起的。 空间相关性的强弱，可用C/(C+C0)表示，该值越高，表明空间相关性越强。 在实际的模型计算中，块金与基台两个参数是可以调整的，其取值取决于整体的 拟合效果。
1.7 区域变量

在有趋势的情况下，假设数据是弱平稳的，并假设对于 所有的h，增量Z（x）-Z（x+h）的方差是有限的，而且只 是相隔h的函数。在该假设成立的情况下，定义半方差为：
其中，n是相隔距离为h的样点对的个数。将r（h）和h 作为纵、横坐标作图即可获得实验半方差函数图（图 7.10）。实验方差函数图不受数据的非平稳性影响，是空 间变异性研究中的一个有力工具，也是区域变量定量描述 的第一步。
图 球状模型、指数模型和高斯模型的比较
1.9 理论变异函数模型
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5．双曲线模型


6．圆形模型
1.9 理论变异函数模型

在空间分析中，根据数据的空间自相 关性和研究对象的先验知识，选择要使用 的模型。选定了理论模型后，通常是用最 小二乘法计算方程的各个参数，并用最大 似然法（ML）来选择拟合效果最好的模型。 此外，在拟合中可以叠加使用上面的 模型，模型的参数也可以进行调节，以达 到最大程度的拟合实验数据。
二 克里格插值

如果变量满足平稳性假设，可直接用点或 块段克里格方法，这两种方法也称普通克 里格。如果是非平稳的，需要采用泛克里 格方法。如果分析多个变量的协同区域化 问题，要采用协同克里格方法。其他的各 种克里格方法也各有其应用领域。
二 克里格插值

克里格插值与距离倒数加权插值的相似之处在于，二者都通过给已 知样本点赋权重来求其他点的预测值。两种内插方法的通用公式如下：
二 克里格插值



利用克里格方法进行预测，必须完成两个 任务 （1）揭示空间相关规律； （2）进行预测。
二 克里格插值克里格插值方法需要 两个步骤


克里格插值方法需要两个步骤 （1）生成变异函数和协方差函数，用于估 算样点值间的统计相关（空间自相关）。 变异函数和协方差函数取决于自相关模型 （拟合模型）。 （2）预测未知点的值。
克里格空间插值法及 其在Surfer8.0中的操作
主要内容（OUTLINE）



1 空间插值法 2 克里格插值法简述及相关概念解释 3 对suefer8.0软件进行空间插值功能的评价 4 suefer8.0软件中的相关术语及概念解释 5 利用suefer8.0软件进行克里格插值步骤
一 空间插值法
1.9 理论变异函数模型

4．高斯模型（Gaussian model）


变程为
。
1.9 理论变异函数模型

图是球状模型、指数模型和高斯模型的 比较，可以看出，球状模型的变程最小， 指数的模型变程最大，高斯模型的变程介 于二者之间。球状模型和指数模型过原点 存在切线，高斯模型则没有。

1.9 理论变异函数模型
1.7 区域变量

设x为样点在1，2或3维空间的位置，x点的随机变量Z值为：
其中m（x）是描述Z结构项的一个确定性数，c’（x）是描述随机 区域变异但空间相关的残余项，即区域变量，ξ "是残余的空间不相 关的高斯噪音项（服从标准正态分布，即平均值为0，方差为 α 2）。 如果没有趋势，那么m（x）等于样区数据的平均值，而且任何两点x 和x+h（h为间隔距离）之间的平均值或期望值的差为0。 使用Z（x），Z（x+h）表示随机变量Z在位置x，x+h的观测值， 区域化变量理论假设任意两点Z的差值的方差仅取决于位置间的距离h。
2.1克里格法主要分类




普通克里格法-OK （Ordinary Kriging) 1点克里格（point Kriging） 2块克里格（Block Kriging） 简单克里格法-SK （Simple Kriging) 泛克里格法-UK（Universal Kriging) 协同克里格法-CK（Co- Kriging) 对数正态克里格法（Logistic Normal Kriging) 指示克里格法（Indicator Kriging) 概率克里格法（Probability Kriging) 析取克里格法（Disjunctive Kriging) 不连续克里格
空间插值分析是将离散点的测量数据转 换为连续的数据曲面的方法。其作用是便于 与其它空间现象的分布模式进行比较。 空间插值的理论假设是空间位置上越靠 近的点，越可能具有相似的特征值；而距离 越远的点，其特征值相似的可能性越小。
1.1空间插值法简述
空间插值法包括了空间内插和外推两种算法 1 内插算法是一种通过已知点的数据推 求同一区域其它未知点数据的计算方法； 2 空间外推算法则是通过已知区域的数 据，推求其它区域数据的方法
二 克里格插值


克里格法是利用原始数据和半方差函数的结构性，对 未采样点的区域化变量进行无偏最佳估计值的一种方法， 这种方法的一个特点是能够计算出每个估计值的误差大小 （估计值方差），从而能知道估计值的可靠性程度。 克里格方法现已发展为多种类型，如简单克里格 （simple Kriging），普通克里格（ordinary Kriging），点克 里格（point Kriging），块段克里格（block Kriging），通 用克里格（universal Kriging），协同克里格（co-kriging）， 不连续克里格及指标克里格等。

其中，Z（si）是已测得的第i个位置的属性值，wi是在第i个位置上测 得值的权重，s0是待插值的位置，n是已知样点的数目。 距离倒数加权插值中，权重wi仅取决于样点到待插值点的距离。 在克里格插值中，权重不仅考虑了已知点与插值点间的距离，而且考 虑了己知点的位置和属性值整体的空间分布和格局。克里格插值中的 权重来自半方差函数模型（生成的表示地理现象连续表面的函数）， 在半方差函数模型和邻近已知点的空间分布的基础上，对研究区内的 各个位置进行预测，权重wi取决于已知点的拟合模型、到插值点的距 离和插值点周围的已知样点的空间关系。
1.4邻域函数的统计函数及其意义
1.5 空间插值的数据源
摄影测量得到的正射航片或卫星影象； 卫星或航天飞机的扫描影象； 野外测量采样数据，采样点随机分布或有规律 的线性分布（沿剖面线或沿等高线； 数字化的多边形图、等值线图；
1.6 采样布置方式
（1）规则采样
（2）随机采样
（3）断面采样
1.8 方差变异函数
图 典型试验方差函数和拟合曲线
1.9理论变异函数模型

1．线性模型(Linear model_)

其中，w是直线的斜率，此模型是最简单模型， 但在一定范围内也是适用的。在某些情况下， w 可以为0，这时就是纯块金效应模型。
1.9 理论变异函数模型

2．球状模型(Spherical model)
1.7 区域变量
图 实验半方差变异函数图 在方差变异图上，如果样点具有空间关系，那么，空间上分布愈接近 的点对（靠近x轴的左边）应该具有更相似的值（靠近y轴的下边），而距离 愈远的点对（沿x轴方向向右移动），应该具有更多的不相似性和更高的方 差（沿y轴方向向上移动）。
1.8 方差变异函数

图是一个典型的实验方差函数和其理论方差函数 曲线，它有下面几个重要的特征。 1）随间隔增大，方差增大，并在一定的间隔 后达到一个基本稳定的常数。这个方差常数称为 基台（sill），在理论函数模型中用C+C0表示。平 稳数据的基台值近似于采样方差。 基台值意味着在对应（或大于）距离的样点 之间没有空间相关性，因为方差不再随距离变化。
二 克里格插值

计算理论方差函数是确定插值权重的基本 过程，是预测未知位置属性值的克里格方 法（Kriging）的基础。D．G．Krige是南 非采矿工程学家，在1951年提出了矿产品 位和储量估值方法。法国地统计学家 Matheron（1971）命名了这种方法，并在 此基础上提出了区域化变量理论，使传统 的地学方法与统计方法相结合，形成了完 整的方法体系。
1 最近邻点法：泰森多边形方法移动 2 平均插值方法：距离倒数插值 3 克里格插值：克里格插值是空间自协 方差最佳插值方法
1.4邻域函数的统计函数及其意义



众数（majority)：邻域中出现频率最高的数值 最大值(max)：邻域中最大的数值 最小值(min)：邻域中最小的数值 中位数(median)：邻域中数值从小到大排列后位于中间的 数 平均值(mean)：邻域中数值的算术平均 频率最小数(minority)：邻域中出现频率最小的数值 范围(range)：邻域中数值的范围，最大值与最小值之差 标准差(std)：邻域中数值的标准差 和(sum)：邻域中数值的和 变异度(varity)：邻域中不同数值的个数
（4）成层随机采样
（5）聚集采样
（6）等值线采样
图1 各种不同的采样布置方式
1.7 区域变量

区域化变量 一个变量的空间分布称为该变量的区域化。 如果变量以三个空间坐标（x，y，z）为自变量， 那么该变量就是区域化变量。 区域化变量假定，在一定空间范围内，属性 指标的变异可以用一个连续的、空间上相关的随 机域来模拟。任何变量的空间变异可以表示为三 个主要组分之和：确定性成份、区域成分和随机 成分。