高等数学习题详细讲解_第4章_微分中值定理与导数的应用

习题4-1

1．验证下列各题的正确性，并求满足结论的ξ的值： (1) 验证函数()cos 2f x x =在区间[,]44

ππ

-上满足罗尔定理；

(2) 验证函数()f x =

[4,9]上满足拉格朗日中值定理；

(3) 验证函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上满足柯西中值定理. 解：(1) 显然()cos 2f x x =在[,]44ππ

-

上连续，在(,)44

ππ

-可导，且()()044

f f ππ

-==，

又 ()2sin 2f x x '=-，可见在(,)44ππ

-

，存在一点0ξ=使

()0

0(2sin 2)0.f x ξ='==-=

(2) ()f x =[4,9]上连续，()

f x '=，即知()f x =

(4,9)可导，

由

(9)(4)1

945f f -==-25

4

x =，

即在(4,9)存在25

4

ξ=使拉格朗日中值公式成立.

(3) 显然函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上连续，在开区间)2,1(可导，且 .02)(≠='x x g 于是)(),(x g x f 满足柯西中值定理的条件.由于 ,371

2)11()12()1()2()1()2(233=-+-+=--g g f f ,23

)()(x x g x f =''

令,3723=x 得.914=x 取),2,1(9

14

∈=ξ则等式 )

()

()1()2()1()2(x g x f g g f f ''=

-- 成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性.

2．不求导数函数()(1)(2)f x x x x =++的导数, 判断方程()0f x '=有几个实根，并指出这些根的围.

解 因为(2)(1)(0)0,f f f -=-==所以)(x f 在闭区间[2,1]--和[1,0]-上均满足罗尔定理的三个条件，从而，在(2,1)--至少存在一点,1ξ使,0)(1='ξf 即1ξ是)(x f '的一个零点；

又在(1,0)-至少存在一点,2ξ使,0)(2='ξf 即2ξ是)(x f '的一个零点.

又因为)(x f '为二次多项式，最多只能有两个零点，故)(x f '恰好有两个零点，分别在区间(2,1)--和(1,0)-.

3．设函数)(x f 是定义在(,)-∞∞处处可导的奇函数，试证对任意正数a ，存在

(,)a a ξ∈-, 使 ()()f a af ξ'=.

证 因()f x (,)-∞∞处处可导，则()f x 在[]a a -，上应用拉格朗日中值定理：存在

()a a ξ∈-，，使

()()()(())f a f a f a a ξ'--=⋅--.

由)(x f 是奇函数，则上式为()()2()f a f a af ξ'+=, 故有

()()f a af ξ'=.

4．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：

(1) 当0b a >>时,

ln b a b b a

a a

b -->>

; (2) 若1x ≠, 则x

e xe >.

证(1) 当0b a >>时,设()ln ,f x x =则)(x f 在[,]a b 上满足拉格朗日定理的条件.故

()()()()f b f a f b a ξ'-=- (),a b ξ<< 由1

(),f x x

'=且111,a b ξ>>得：

ln b a b b a b a

a a b

ξ--->=>. (2) 若1x ≠,不妨设>1x ，令(),x

f x e =则)(x f 在[1,]x 上满足拉格朗日定理的条件.故

()(1)()(1)f x f f x ξ'-=- (1),x ξ<<

从而1x e xe e xe xe ξξ

=+->>.

5．应用拉格朗日中值定理的推论证明下列恒等式： (1) arcsin arccos (11)2x x x π

+=-≤≤;

(2) arctan 2x π

+=

.

证(1) 设()arcsin arccos f x x x =+,],1,1[-∈x

,01111)

(22=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--+-'x x x f ∴,)(C x f ≡].1,1[-∈x 又 ,2

2

0arccos 0arcsin )0(π

π

=

+=+=x f 即.2

π

=

C

∴.2

arccos arcsin π

=

+x x

(2)

设()arctan f x x =+,

因为2

1()01+f x x '==，

所以 ()f x C ≡,C 是常数. 又

(1)arctan1442

f πππ=+=+=, 即.2π=C

故

arctan 2

x π

+=

.

6．设函数)(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)可导. 试证明至少存在一点)1,0(∈ξ, 使

2()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-

证 作辅助函数3

(),g x x =则)(),(x g x f 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件，故在)

1,0(至少存在一点,ξ使

2

(1)(0)()

.103f f f ξξ'-=-

即 2

()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-