随机变量X的概率密度解

第五讲 连续随机变量的密度函数
1 x x 0; 2e , F x 1 1 e x , x 0. 2
二、常用的连续分布：均匀分布与指数分布 1.均匀分布： 设连续型随机变量 X 的一切可能值充满某一个有限区 定义 间[a , b] , 并且在该区间内任一点有相同的概率密度，即：
第五讲 连续随机变量的密度函数
例5-1-3 (拉普拉斯分布) 连续随机变量X 的概率密度为 x f x Ae , x . 求: (1)系数 A ; (2) 随机变量X 落在区间(0,1)内的概率; (3)随机变量X 的分布函数. 0 x x 2 A 1. 解 (1) f x dx Ae dx A e dx e x dx 0 1 x 1 f x e , x . A . 由规范性求系数 2 2 11 x e 1 e dx P 0 X 1 (2)由密度求区间概率 . 0 2 2e x x 1 1 x t (3)由密度积分求分布 x 0时，F x f t dt e dt e . 2 2 0 1 x x1 1 x t t x 0 当 时, F x f t dt e dt e dt 1 e . 2 0 2 2
第五讲 变量函数的分布与二维分布
本次课讲授第二章的2.3-2.5.2
下次课讲授第二章2.5.3-2.7。
下周一上课时交作业P19—P22，
主要内容:均匀指数分布，离散与连续变量的 函数的分布
重点与难点：常用分布，连续变量的函数的 分布的求解方法。
第五讲 连续随机变量的密度函数
离散变量点概率，非求 负和等于 1， 泊松近似伯努利，正 数 二 np。
0
sin x , 0 x ; f x 2 其 它. 0,
即可. 注意：x 0, x

2
时f ( x ) 0
(2)


0
sinxdx 2 1, 不是.
3 (3) 当 x , 时, sinx 0, 与 f x 0 矛盾, 不是. 2
第五讲 连续随机变量的密度函数
例5-1-1 (柯西分布)设连续随机变量X 的分布函数为
F ( x ) A B arctan x, x .
求: (1)系数 A 及 B ; (2) 随机变量X 落在区间(-1,1)内的概率;
1 (3) f x F x 1 x 2 ,


x .
第五讲 连续随机变量的密度函数
例5-1-2 函数 sin x可否是随机变量X 的概率密度, 如果X 的可能值
3 3 0, . 充满区间: 1 0, ; 2 0, ; 2 2 解 (1) 2 sin xdx 1, 只要按照密度函数定义：
f x dx 0 e 指数分布 e 的分布函数:
显然

Байду номын сангаас

x

dx e
x t
x
0
1
t x 0
在定义区间（ 0， ）上
0
F ( x)
x

f (t )dt 0dt e dt e
1 , f x b a 0, 当 a x b; 当 x a 或 x b.
x

f ( x )dx
为求分布函数，在定义 区间 [a, b] 内
F x PX x

a

0 dx
a
xa 1 dx ba ba
x a; a x b; x b.
(3)随机变量X的概率密度. 解 (1) lim F ( x ) lim A B arctan x A B 0, x x 2 lim F ( x ) lim A + Barctanx A B 1, x x 2 1 1 1 1 解得 A , B . F ( x ) arctanx , x . 2 2 1 1 1 1 1 (2) P 1 X 1 F 1 F 1 . 2 4 2 4 2
根据随机变量有定义
间外左0右取1的方法：
0 x -a F x b - a 1
2.指数分布 定义2 设连续型随机变量X 的概率密度 e x , 当 x 0; f x 当 x 0. 0,
第五讲 均匀分布与指数分布
其中 ＞0 为常数。此类分布为指数分布， 记作：e .
离 散 分 布 函 数 值 ， 邻区 点间 左 边 闭 ； 概 率 累 加 求 分 布 ， 向相 上减 点 概 率 。 连续分布区间 P， 正 负 无 穷 两 端 值 ； 随机变量有样本，间 外 左 0 右 取 1。
密 度 概 率 区 间 比 ， 非无 负穷 积 分 1； 随 机 变 量 有 定 义 ， 定外 义面 零 来 记 。
f x C x [a , b]
记作：U[a, b] 则这种分布叫做均匀分布（或等概率分布）。
第五讲 均匀分布与指数分布
X的定义区间为 [a , b], F ( )


a

0dx C dx
a
b

b
1 ，即： 0 dx C b a 1 C ba