第4讲信号分析与处理-倒频等

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2.６ 其他频域分析方法简介
根据付氏变换性质知，对时域信号x(t)e j2f0t 作变换时，在频
谱上产生f 0 的频移，即
F x(t)e j2 f0t X ' ( f ) x(t)e j2 e f0t j2 ftdt
x(t)e j2 ( f f0 )tdt
xt ( ) x( )h( t)
改变的信号是两个时间函数，即所关心的固定时间t和执行时间。 窗函数决定留下的信号围绕着时间t 大体上不变，而离开所关心时
间的信号衰减了许多倍，也就是
x( )，对于 接近于t
xt
(
)
0,
对于 远离于t
该方法时间窗长度固定，不能满足低频要长的时间窗，高频要短
的时间窗的要求。
短时傅立叶变换的基本思想：把信号划分成许多小的时 间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以确定在哪个 时间间隔存在的频率，这些频谱的总体就表现了频谱在时间 上是怎样变化的。
2.６ 其他频域分析方法简介
为了研究信号在时刻 t的特性，人们加强在时刻t的信号而衰减 在其它时刻的信号。这可以通过用中心在 t的窗函数h（t）乘信号 来实现。产生的信号是：
欧几里德空间中，空间维数是整数。 20世纪70年代曼德布特提出，分形是一类无规则、混乱而复杂，但其 局部与整体有相似性的体系。体系的形成具有随机性，其维数是分数，成 为分维Df。 豪斯道夫1919年提出连续空间的概念，空间的维数不是跃变的，可以 连续变化的，定义： 对一体积为A的几何体，用半径为r的小球去测，所需小球个数为N， 则豪斯道夫维数（分维数）为
高度或面积作为特征值）；
③谐波分析（以某个频率为基波，求它的高次谐波频率功率与基
波功率之比）；
④功率谱密度函数的统计矩（零次、二次、四次
Mn
f nSx (f )df
等）作为特征值等。
0
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2.６ 其他频域分析方法简介
三、频率细化技术
随着科学技术的发展，对信号分析与处理提出了更高的要求，除了 要快速实时外，对频率分辨率的要求也越来越高。细化技术就是一种局 部放大，用以增加某些有限部分（感兴趣的频段）上的分辨能力的方法， 比如复调制法、Chrip-Z变换、相位补偿Zoom-FFT等。一般的FFT分析 是一种基带的分析方法，在整个分析带宽内，频率是等分辨率的。
2.６ 其他频域分析方法简介
特点
（1）如果不进行移相，转化为时域的傅立叶变换 需要用到MN个点进行计算。 （2）移相后，转化为频域只需要N个点计算，提 高分辨率所用的计算量没变。 （3）关键的条件 f2 f1 fmax / M ,移相改变了采 样信号的最高频率（采样频率）。实际上是减少 了信号的采样频率。
（减小）时， 历程。
(t
)
在时间上扩展（收缩），即可计及长（短）的时间
可见，当α增大（减小）时，通过一固定的
(t
)
（即滤波器），
观察到波形压缩（伸展）的信号。α是尺度因子，其 变化的实质是改变了采
样长度，从而滤掉了了原始信号中的周期大于一定值的成分，大尺度采样长
度大，可观察总信号，小尺度采样周期短，可观察细微信号。
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2.６ 其他频域分析方法简介
小波变换特点： ① 对非平稳信号进行时域分析，其时频局部化方式是：在高频
范围内时间分辨率高，在低频范围内频率分辨率高。对高频 信号有较高的频率分辨率，对低频信号有较大的时间分析长 度。 ② 信号的分解和重构可有针对性地选择有关频带信息，剔除噪 声干扰； ③ 在全频带内正交分解的结果，信号量既无沉余也无遗漏； ④ 若非平稳信号由低频长波叠加高频短波组成，小波变换是最 理想的分解工具。
在时域中是滑动窗，在频域 中相当于带通滤波器。
② 可分析非平稳信号，由于其 基础是傅立叶变换，故更适 合分析准平稳信号。
③ 在STFT计算中，选定h(t)， 则时频分辨率保持不变。
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2.６ 其他频域分析方法简介
原理：短时傅立叶变换是研究非平稳信号最广泛使用的方法。 假定我们听一段持续时间为1h的音乐，在开始时是有小提琴， 而在结束时有鼓。如果用傅立叶变换分析整个1h的音乐，傅 立叶频谱将表明对应小提琴和鼓的频率的峰值。频谱会告诉 我们有小提琴和鼓，但不会给我们小提琴和鼓什么时候演奏 的任何表示。如果要求更好的局部化，那就把这1h划分成 1min一个间隔，甚至更小的时间间隔，再用傅立叶变换分析 每一个间隔。
六、Wigner分布
w x (t ,f
)
x (t
/ 2)x * (t / 2)e j 2ft d
实际应用中，采用加窗离散形式
M /2
wx (n, m) 2 P(k )x(n k )x * (n k )e j2mk/M
k ,n0
这里P(k)是长度为M，中心位于n的窗，如Hamming, Hanning, Gabor等。
X( f
f0)
将任选频段的中心频率 f0 移至原点处，然后再按基带的分析方法，
即可获得细化频谱，这就是复调制细化（HR-FA）方法的原理。
对 x 0 (n ) 以 e j 2 (f 0 / f s )n 进行复调制， f 0为所感兴趣
的频率中心，得到序列 x (n) ， 再进行FFT。
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f 2.56f m fs 1 1 N N Nt T
要提高频率分辨率（即减小Δf），如加大采样间隔Δt（降低采样频 率），这样将缩短分析频带；增加采样点数会导致快速傅立叶变换次数 增加次数的平方倍计算量，快速傅立叶变化中采样点数一般是固定的 （如512、1024、2048），不能直接使用 。且但频率细化不是要全频 段细化，出现了一些新的方法。
从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有 害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱 离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。
Df
ln N (r ) ln(1/ r )
最基本的分维数计算方法是变尺度法等，以曲线的分维数计算为例，它
是用不同的尺度λ去度量曲线的长度P，有
P C1Df 即 ln P (1 DF ) ln C
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2.６ 其他频域分析方法简介
作出 ln P—— ln 的双对数拟合直线，直线斜率 m 1 Df
H ( f ) Sxy ( f ) / Sx ( f ) H ( f ) Y ( f ) / X ( f )
2.查找故障源 对转子系统，如果转子一端某个异常频率下的值较高，而在
互功率谱图上该频率下并无明显峰值，则表明问题出在异常频带 幅值较高的一端，与转子的另一端关系不大。
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一、双通道频域分析——两个时间波形的频谱分析
互功率谱密度函数
Sxy (f ) R xy ()e j2f d
在频域中研究两个信号之间的关系
应用：１.故障信息的传递特性（频响函数）的研究
当系统的输入（激励）为x(t),输出为y(t)，两信号间的互谱密 度为Sxy (f ) ， 则该系统的传递函数为
特点： ① 是信号x(t)的能量在时频上的分布，直观； ② 由于窗P(k)的局部化作用，x(n+k)x*(n-k)及关系，具有
对准平稳或非平稳信号分析的能力； ③ 对于调幅、调频信号及随机噪声均有直观表示；
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七、分形几何
X(f) 0
如果信号中的频
Δ率分量与频率取样点 不重合，则只能按四
舍五入的原则，取相
邻的频率取样点谱线
Δf
值代替。 f
21
可见在进行DFT的过程中，最后需对 信号的频谱作采样，经过这种采样所能 显示出来的频谱仅在各采样点上，而不 在此类点上的频谱一律显示不出来，即 使在其它点上有重要的峰值也会被忽略 ，这就是栅栏效应。
2.６ 其他频域分析方法简介
二、特征频率抽取方法
一个频谱曲线是由若干条谱线组成，观察这些谱线来寻找诊
断信息。显然，谱线数量太多，各个谱线所起作用不同，不便于
分析，利用信号的频谱抽取对诊断用处较大的特征值是很常用的
方法。
频率抽取方法有：
①峰值频率及其谱值（只取谱图上形成峰值的频率及其谱值）；
②设定若干频率窗（在某些频率段设立若干频率窗，以窗口平均
机组的轴心பைடு நூலகம்迹及分形维数
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栅栏效应与窗函数
1、栅栏效应 为提高效率,通常采用FFT算法计算信号频谱，
设数据点数为N，采样频率为Fs。则计算得到的离 散频率点为:
Xs(Fi) ， Fi = i *Fs / N , i = 0，1，2，.....，N/2
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2 能量泄漏与栅栏效应的关系 频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖
锐，产生误差的可能性就越大。 例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号
频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的 误差为无穷大。
23
实际应用中，由于信号截断的原因，产生了 能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相 等，也能得到该频率分量的一个近似值。
机组喘振时的Wigner分布
机组支座松动时的Wigner分布
有室性心动过速 (右侧图形)和不具 有室性心动过速的 心电因分析结果。 A、b为魏格纳分 布，c为小波变换。
2.６ 其他频域分析方法简介
机组发生喘振的初期，所产生的低频分量一般存在调幅现象， 在图中可看出该低频分量的调幅波动情况。支座松动时其振动幅值 和频率的不稳定性可清楚地得到展现。
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2.６ 其他频域分析方法简介
四、短时傅立叶变换——加窗傅立叶变换
STFT f
(, )
f
(t )h * (t
)e jt dt
将信号乘以一个滑动的窗函数后对窗内信号h(t-τ)进行傅立叶变换
特点： ① 具有时频局部化能力，h(t-τ)
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2.６ 其他频域分析方法简介
五、小波变换 观察到波形压缩（伸展）的信号
WT x ( , )
1
x
(t
)
* (t
)dt
(t ) 是满足 (t )dt 0 （振荡性）和在时域内具有紧支性（时域
有限）的函数，成为小波。可通过平移 和伸缩α构成函数族。当α增大
显然 Df 1 m ，m为负数。
曲线的分维数的大小取决于该曲线在空间中充满的程度。对于一确定的 直线，其分维数等于其拓扑维数1.0，对于白噪声序列产生的曲线其分维数为 2.0，对于一般的曲线其分维数介于1.0～2.0。
某气压机组一个运行周期内 不同时刻的轴心轨迹如下图，可 见轴心轨迹越来越不稳定，其分 形维数分别为1.387，1.543， 1.615，很好地定量反映了机组 实际情况。
机械故障诊断学
第2章信号分析与处理
2.1 数据的数字化（A/D模数转换） 2.2 随机振动信号的幅域分析 2.3 随机振动信号的时域分析 2.4 随机振动信号的频域分析 2.5 倒频谱分析 2.6 其他频域分析方法简介
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2.６ 其他频域分析方法简介
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小波变换实例
2.６ 其他频域分析方法简介
如：某 轴承巴氏 合金剥落 时的原始 波形和分 解后尺度 为4的时域 信号。
原始时域波形
小波分解后提取的时域波形
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2.６ 其他频域分析方法简介
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2.６ 其他频域分析方法简介
小波变换特点： ① 对非平稳信号进行时域分析，其时频局部化方式是：在高频
范围内时间分辨率高，在低频范围内频率分辨率高。对高频 信号有较高的频率分辨率，对低频信号有较大的时间分析长 度。 ② 信号的分解和重构可有针对性地选择有关频带信息，剔除噪 声干扰； ③ 在全频带内正交分解的结果，信号量既无沉余也无遗漏； ④ 若非平稳信号由低频长波叠加高频短波组成，小波变换是最 理想的分解工具。