§1排队论基础
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t
M / M /1
将讨论:
• 基本：M/M/1 M/M/m(n) • 中级：M/G/1 G/M/1 • 高级：G/G/1
解法：
确定状态变量，如k 画状态转移图 列状态转移方程 求解目标参量
二、M/M/1问题
设平均到达率为，平均服务率为。 取队长为状态变量建立系统的差微分 方程。
1 2
0
k
......
......
令
pk 1 1
得p1 p0 [( ) pk pk 1 ] ( 1) p k pk 1
令k 1,代入得 p2 (1 ) p1 p0 (1 ) p0 p0 2 p0 k 2, 代入得 : p3 3 p0 k p k k p0
k的方差
母函数G ( z ) p0 p1 z p2 z pk z z pk
2 k k
由归一性， G (1) pk 1
k 0
G(1) ( kz k 1 pk ) k (k 1) z k 2 pk ＝ （k 2 k ) pk k 2 k
据无后效性, 独立 据二项分布, N个贝努利分布
T内有k个到达的概率:
N k N k pk (T ) 1 k (T ) k T N 得pk (T ) e ——泊松分布 k! k为离散变量
（2）到达间隔t的概率密度a（t）
t 0得导数 dpk (t ) pk 1 (t ) pk 1 (t ) ( ) pk (t ) dt 即柯尔莫哥洛夫方程。
k=0, 需重写: 原1人,去1人 Δtp1(t) 原0人,无人到 (1-Δt) p0(t) p0(t+Δ t)= Δ tp1(t)+ (1-Δ t) p0(t) dp0 (t ) 得: p1 (t ) p0 (t ) dt 至此，得M/M/1完整状态方程: dpk (t ) dt pk 1 (t ) pk 1 (t ) ( ) pk (t ) dp0 (t ) p1 (t ) p0 (t ) dt
同理
——平均服务时间
1
此三量可已知或可测出，但描述排队系统， 此三要素不充分。
主要取决于 队规则。
ti 和τi的统计特性（分布）和排
2、统计特性（分布）和排队规则。
常见排队系统的假设
平稳性：
[a，a+t]内到达k个顾客（或离去）的概率与a无关，只与t 有关。
无后效性
顾客到达时刻相互独立
对M / M /1有 pk k (1 ) 1 Ｇ( z ) (1 ) z 1 z k 0
k k
(1- ) ２ 2 (1- ) G(z) G(z) 2 (1 z ) (1 z )3
d k k kpk (1 ) k k (1 ) k k 1 (1 ) d k 0 k 0 k 0 k 0 1 (1 ) 2 (1 ) (1 )
顾客观点: (k 短) k 只与 有关, 折衷 取 0.5以下 效率观点:
第二章 网内业务分析
§1 排队论基础
常见现象： 顾客+服务→排队系统 矛盾统一
广义化：
通信中：呼叫——线路 信息包——分组交换机 移动体——服务区 计算机：总线指令——CPU处理 数据流——存储器 其它：敌机——防空设施 客机——跑道
复杂性：在于随机性 —— 到达与离去（服务 率）均不确定——工作于随机状态 资源少——顾客排队长——服务质量下降 资源多——服务闲置——资源浪费
(1 )
N
到达间隔t——连续变量 把t分N份，到达间隔为t的概率：
（N个Δ 内无到达，第N+1个必到达）
若t的概率密度a（t）存在，则有：
a (t ) (1 )
N
a (t ) lim (1 ) lim (1
Δ t
得: pk (t t ) tpk 1 (t ) tpk 1 (t ) pk (t )(1 t t )
即: pk (t t ) pk (t ) pk 1 (t ) pk 1 (t ) ( ) pk (t ) t
2）截止型：分为损失制、拒绝系统 系统已有 n 个顾客等待，顾客到来时，就被拒绝 。分为如下2种 即时拒绝：如窗口数为 m,m=n, 满，则顾客到达 后立即被拒绝，被拒绝排队等待 （电话网） 延迟拒绝：m<n,允许等待一定数量，超n，再拒 绝 (带缓冲存储的数据通信）
目标参量：（分析排队系统时的主要求解指标)
μ-系统服务率（平均）
λ -顾客到达率（平均）
t1
t2
t3 τ
t4
1
t5 τ τ 2
3
τ
4
τ
5
1 平均到达时间 t : t lim ti n n i
平均到达率λ ——单位时间到达顾客数
T
λ ↓——负荷轻
1 t
或
n(T ) lim T T
(n(T)——T内到达数）
μ ：系统服务率（平均）
２ k ＝ )2 (1 (1 ) (1 ) (1 ) 2
pk 1 (t ) t (1 t ) pk 1 (t ) t
t为k+1态，Δt内离去1人，无到达：
pk 1 (t ) t (1 t ) pk 1 (t ) t
t为k态，Δt内到达1人，离去1人:
pk (t ) t 2
对任何排队系统，有
s ( w ) k little公式
系统效率
平均窗口占用率 共m个窗口，某时刻如有r个被占用，则
单窗口 , 即忙的概率 r r 多窗口, 需求 m m
稳定性指标
=λ /
不拒绝系统：
m不稳定.
(单窗口) 1 w 或w
(1)队长k：某时刻观察系统内滞留的顾客数。
(2)等待时间w:顾客从到达至开始被服务这段时 间。 (3)服务时间 ：一个顾客被服务的时间 (4)系统时间s，或称系统停留时间 ：顾客从到 达至离开的这段时间。S=w+ (5)系统效率 ：平均窗口占用率
(6)稳定性指标：对于不拒绝系统，当到
达率λ与服务率之比（称为排队系统强 度 =λ / ）大于窗口数m时，平均顾 客到达数将大于平均顾客离去数，顾客 的队将越来越长，平均等待时间将趋于 无限大，系统不稳定。小于窗口数m时， 系统是稳定的( <m)。对于截止型系统， 因为队长被限制，即使排队强度大于m， 系统仍然可以稳定工作。
目标：为顾客提供满意服务同时提高资 源利用率。（与统计参数和工作方 式有关）
在通信网的业务分析和性能计算中，排队论 是不可缺少的
2.1.1、基本概念
1. 排队系统三要素: m，λ ，μ
m- 窗口数，表示资源的量。可同时向顾客提供 服务的设施数。（单窗口排队系统 m=1；多窗 口排队系统m>1）
λ-顾客到达率（平均）
N N N
t
N
) N e t
指数分布
（3）服务时间 的概率密度
以上结果亦适用于服务过程， 可得
b( ) e
t
上所述，在以上三个假设下？？？？？？：
顾客到达和离去均为泊松流，均值λ，二阶 矩λ(λ+1) 相邻事件发生的间隔负指数分布，均值1/λ， 二阶矩1/λ2 具有马尔可夫性，称M分布称最简单流
又 G(1) kpk k
ｚ＝１
3 2 G (1) k (k 1)(k 2) pk k 3k 2k
k的二阶(原点)矩 Ek 2 k 2 G(1) G(1) k的方差（二阶中心矩）
2 k (k k ) pk Ek k G (1) G (1) [G (1)] 2 2 2 2
t为k态，Δt内无到达，无离去: pk (t )(1 t )(1 t ) pk (t ) (1 t t )
1-Δ t-Δ t
Δ t
k-1 k
Δ t
k+1
Δ t
1-Δ t-Δ t 1-Δ t
0
Δ t
Δ t
1
Δ t
2
......
k
Δ t
（4）运行方式及规则规定：
排队系统的运行性能不仅与 上述的统计分布有关，还与系统 预先规定的工作方式有关。 包括服务规则和排队规则：
按服务规则分：
1）先到先服务：常见情况 2）后到先服务：不常见情况 3）优先制服务：顾客分优先级
按排队规则分：
1 ）等待型：不拒绝系统。若窗口不空，就依次 排队等待，直到被服务完毕后离去。
求p0: 用归一化条件
1 1 pk (1 ) p0 p0 1 k 0 p0 1
2
p0——系统无人概率（空闲率）
1-p0=—系统有人概率（忙概率）
忙 太大不稳
得通解： pk
p0 (1 )
k k
平均队长
排队长度—t瞬间系统内的顾客数（含在窗口的） 三种观察：
队长k k—离散随Leabharlann Baidu变量
dk—顾客到达时观察队长为k的概率（不包括刚 到达的顾客）
rk—顾客服务完毕离去时观察队长为k的概率 （不包括正在离去的顾客）。 （以上为有条件抽样） pk—（服务员）随机观察队长为k的概率 在最简系统中，pk =rk =dk
上式，已由，表示转移，得状态转移图：
2
0 1
k
......
......
2、稳态解
• 物理意义： 到达与离去平衡，pk(t)与t无关
t , dpk (t ) 0, dt
pk (t ) pk
• 数学描述：
pk 1 pk 1 ( ) pk 0 p1 p0 0
1、状态图与状态方程
pk (t ) —t 时刻，系统内有 k 个顾客的概
率（k=0,1,2, …）
t时刻， k状态 则：Δ t—Δ t内到达1人概率 Δ t—Δ t内离去1人概率
) t+Δt时刻处于k状态（概率 pk (t t），由下述情 况形成：
t为k-1态，Δt内到达1人，无人离去，概率:
不相交区间内到达顾客数相互独立 系统顾客数具有马氏性 稀疏性： Δ t内到达2个或2个以上顾客概率为0
有限区间内的k为有限，或
p ( k ) 0
(1)T内有k个顾客到达的概率
在以上假设下： T内到达顾客数为k
Δ =T/N
............ .....
T (=NΔ )
Δ内有1顾客到达概率——Δ·λ Δ内无顾客到达概率——1-Δ·λ 有2个到达概率—— ( )2
k
—平均队长，又称系统数
等待时间w
从到达开始服务的时间，是连续随机变量， 其统计平均为：
— 平均等待时间（网络中等待时延的主 要部分）
w
其它时延，如传输时延和处理时延较小
服务时间
开始接受服务服务完毕离去 —平均服务时间
系统时间s，或称系统停留时间
到达离去
s=w+
s w
截止型系统：
m
仍然稳定
排队系统表示符号： A/B/m(N,n)
A— 到达规律， B— 服务规律， 分布a(t)（到达时间间隔） 分布b(τ )（服务时间间隔）
m—窗口数
N—顾客源，潜在顾客数，省略为
n—截止队长，省略为，不拒绝
常见分布：
M—指数分布
到达a(t ) e M / M / m( N , n) M / M /1(n) 服务b( ) e M / M / m( n )
M / M /1
将讨论:
• 基本：M/M/1 M/M/m(n) • 中级：M/G/1 G/M/1 • 高级：G/G/1
解法：
确定状态变量，如k 画状态转移图 列状态转移方程 求解目标参量
二、M/M/1问题
设平均到达率为，平均服务率为。 取队长为状态变量建立系统的差微分 方程。
1 2
0
k
......
......
令
pk 1 1
得p1 p0 [( ) pk pk 1 ] ( 1) p k pk 1
令k 1,代入得 p2 (1 ) p1 p0 (1 ) p0 p0 2 p0 k 2, 代入得 : p3 3 p0 k p k k p0
k的方差
母函数G ( z ) p0 p1 z p2 z pk z z pk
2 k k
由归一性， G (1) pk 1
k 0
G(1) ( kz k 1 pk ) k (k 1) z k 2 pk ＝ （k 2 k ) pk k 2 k
据无后效性, 独立 据二项分布, N个贝努利分布
T内有k个到达的概率:
N k N k pk (T ) 1 k (T ) k T N 得pk (T ) e ——泊松分布 k! k为离散变量
（2）到达间隔t的概率密度a（t）
t 0得导数 dpk (t ) pk 1 (t ) pk 1 (t ) ( ) pk (t ) dt 即柯尔莫哥洛夫方程。
k=0, 需重写: 原1人,去1人 Δtp1(t) 原0人,无人到 (1-Δt) p0(t) p0(t+Δ t)= Δ tp1(t)+ (1-Δ t) p0(t) dp0 (t ) 得: p1 (t ) p0 (t ) dt 至此，得M/M/1完整状态方程: dpk (t ) dt pk 1 (t ) pk 1 (t ) ( ) pk (t ) dp0 (t ) p1 (t ) p0 (t ) dt
同理
——平均服务时间
1
此三量可已知或可测出，但描述排队系统， 此三要素不充分。
主要取决于 队规则。
ti 和τi的统计特性（分布）和排
2、统计特性（分布）和排队规则。
常见排队系统的假设
平稳性：
[a，a+t]内到达k个顾客（或离去）的概率与a无关，只与t 有关。
无后效性
顾客到达时刻相互独立
对M / M /1有 pk k (1 ) 1 Ｇ( z ) (1 ) z 1 z k 0
k k
(1- ) ２ 2 (1- ) G(z) G(z) 2 (1 z ) (1 z )3
d k k kpk (1 ) k k (1 ) k k 1 (1 ) d k 0 k 0 k 0 k 0 1 (1 ) 2 (1 ) (1 )
顾客观点: (k 短) k 只与 有关, 折衷 取 0.5以下 效率观点:
第二章 网内业务分析
§1 排队论基础
常见现象： 顾客+服务→排队系统 矛盾统一
广义化：
通信中：呼叫——线路 信息包——分组交换机 移动体——服务区 计算机：总线指令——CPU处理 数据流——存储器 其它：敌机——防空设施 客机——跑道
复杂性：在于随机性 —— 到达与离去（服务 率）均不确定——工作于随机状态 资源少——顾客排队长——服务质量下降 资源多——服务闲置——资源浪费
(1 )
N
到达间隔t——连续变量 把t分N份，到达间隔为t的概率：
（N个Δ 内无到达，第N+1个必到达）
若t的概率密度a（t）存在，则有：
a (t ) (1 )
N
a (t ) lim (1 ) lim (1
Δ t
得: pk (t t ) tpk 1 (t ) tpk 1 (t ) pk (t )(1 t t )
即: pk (t t ) pk (t ) pk 1 (t ) pk 1 (t ) ( ) pk (t ) t
2）截止型：分为损失制、拒绝系统 系统已有 n 个顾客等待，顾客到来时，就被拒绝 。分为如下2种 即时拒绝：如窗口数为 m,m=n, 满，则顾客到达 后立即被拒绝，被拒绝排队等待 （电话网） 延迟拒绝：m<n,允许等待一定数量，超n，再拒 绝 (带缓冲存储的数据通信）
目标参量：（分析排队系统时的主要求解指标)
μ-系统服务率（平均）
λ -顾客到达率（平均）
t1
t2
t3 τ
t4
1
t5 τ τ 2
3
τ
4
τ
5
1 平均到达时间 t : t lim ti n n i
平均到达率λ ——单位时间到达顾客数
T
λ ↓——负荷轻
1 t
或
n(T ) lim T T
(n(T)——T内到达数）
μ ：系统服务率（平均）
２ k ＝ )2 (1 (1 ) (1 ) (1 ) 2
pk 1 (t ) t (1 t ) pk 1 (t ) t
t为k+1态，Δt内离去1人，无到达：
pk 1 (t ) t (1 t ) pk 1 (t ) t
t为k态，Δt内到达1人，离去1人:
pk (t ) t 2
对任何排队系统，有
s ( w ) k little公式
系统效率
平均窗口占用率 共m个窗口，某时刻如有r个被占用，则
单窗口 , 即忙的概率 r r 多窗口, 需求 m m
稳定性指标
=λ /
不拒绝系统：
m不稳定.
(单窗口) 1 w 或w
(1)队长k：某时刻观察系统内滞留的顾客数。
(2)等待时间w:顾客从到达至开始被服务这段时 间。 (3)服务时间 ：一个顾客被服务的时间 (4)系统时间s，或称系统停留时间 ：顾客从到 达至离开的这段时间。S=w+ (5)系统效率 ：平均窗口占用率
(6)稳定性指标：对于不拒绝系统，当到
达率λ与服务率之比（称为排队系统强 度 =λ / ）大于窗口数m时，平均顾 客到达数将大于平均顾客离去数，顾客 的队将越来越长，平均等待时间将趋于 无限大，系统不稳定。小于窗口数m时， 系统是稳定的( <m)。对于截止型系统， 因为队长被限制，即使排队强度大于m， 系统仍然可以稳定工作。
目标：为顾客提供满意服务同时提高资 源利用率。（与统计参数和工作方 式有关）
在通信网的业务分析和性能计算中，排队论 是不可缺少的
2.1.1、基本概念
1. 排队系统三要素: m，λ ，μ
m- 窗口数，表示资源的量。可同时向顾客提供 服务的设施数。（单窗口排队系统 m=1；多窗 口排队系统m>1）
λ-顾客到达率（平均）
N N N
t
N
) N e t
指数分布
（3）服务时间 的概率密度
以上结果亦适用于服务过程， 可得
b( ) e
t
上所述，在以上三个假设下？？？？？？：
顾客到达和离去均为泊松流，均值λ，二阶 矩λ(λ+1) 相邻事件发生的间隔负指数分布，均值1/λ， 二阶矩1/λ2 具有马尔可夫性，称M分布称最简单流
又 G(1) kpk k
ｚ＝１
3 2 G (1) k (k 1)(k 2) pk k 3k 2k
k的二阶(原点)矩 Ek 2 k 2 G(1) G(1) k的方差（二阶中心矩）
2 k (k k ) pk Ek k G (1) G (1) [G (1)] 2 2 2 2
t为k态，Δt内无到达，无离去: pk (t )(1 t )(1 t ) pk (t ) (1 t t )
1-Δ t-Δ t
Δ t
k-1 k
Δ t
k+1
Δ t
1-Δ t-Δ t 1-Δ t
0
Δ t
Δ t
1
Δ t
2
......
k
Δ t
（4）运行方式及规则规定：
排队系统的运行性能不仅与 上述的统计分布有关，还与系统 预先规定的工作方式有关。 包括服务规则和排队规则：
按服务规则分：
1）先到先服务：常见情况 2）后到先服务：不常见情况 3）优先制服务：顾客分优先级
按排队规则分：
1 ）等待型：不拒绝系统。若窗口不空，就依次 排队等待，直到被服务完毕后离去。
求p0: 用归一化条件
1 1 pk (1 ) p0 p0 1 k 0 p0 1
2
p0——系统无人概率（空闲率）
1-p0=—系统有人概率（忙概率）
忙 太大不稳
得通解： pk
p0 (1 )
k k
平均队长
排队长度—t瞬间系统内的顾客数（含在窗口的） 三种观察：
队长k k—离散随Leabharlann Baidu变量
dk—顾客到达时观察队长为k的概率（不包括刚 到达的顾客）
rk—顾客服务完毕离去时观察队长为k的概率 （不包括正在离去的顾客）。 （以上为有条件抽样） pk—（服务员）随机观察队长为k的概率 在最简系统中，pk =rk =dk
上式，已由，表示转移，得状态转移图：
2
0 1
k
......
......
2、稳态解
• 物理意义： 到达与离去平衡，pk(t)与t无关
t , dpk (t ) 0, dt
pk (t ) pk
• 数学描述：
pk 1 pk 1 ( ) pk 0 p1 p0 0
1、状态图与状态方程
pk (t ) —t 时刻，系统内有 k 个顾客的概
率（k=0,1,2, …）
t时刻， k状态 则：Δ t—Δ t内到达1人概率 Δ t—Δ t内离去1人概率
) t+Δt时刻处于k状态（概率 pk (t t），由下述情 况形成：
t为k-1态，Δt内到达1人，无人离去，概率:
不相交区间内到达顾客数相互独立 系统顾客数具有马氏性 稀疏性： Δ t内到达2个或2个以上顾客概率为0
有限区间内的k为有限，或
p ( k ) 0
(1)T内有k个顾客到达的概率
在以上假设下： T内到达顾客数为k
Δ =T/N
............ .....
T (=NΔ )
Δ内有1顾客到达概率——Δ·λ Δ内无顾客到达概率——1-Δ·λ 有2个到达概率—— ( )2
k
—平均队长，又称系统数
等待时间w
从到达开始服务的时间，是连续随机变量， 其统计平均为：
— 平均等待时间（网络中等待时延的主 要部分）
w
其它时延，如传输时延和处理时延较小
服务时间
开始接受服务服务完毕离去 —平均服务时间
系统时间s，或称系统停留时间
到达离去
s=w+
s w
截止型系统：
m
仍然稳定
排队系统表示符号： A/B/m(N,n)
A— 到达规律， B— 服务规律， 分布a(t)（到达时间间隔） 分布b(τ )（服务时间间隔）
m—窗口数
N—顾客源，潜在顾客数，省略为
n—截止队长，省略为，不拒绝
常见分布：
M—指数分布
到达a(t ) e M / M / m( N , n) M / M /1(n) 服务b( ) e M / M / m( n )