一道几何问题的多种解法

一道几何问题的多种解法

百汇学校 徐国纲

孙维刚老师说，下面这道题有至少6种不同的解法：

问题：已知，如图所示，C 、D 是以AB 为直径的半圆O 上的两点，且DC=BC=AB 4

1=1，求AD 的长。

可惜孙老师没有提供具体的答案。经过思考，得到下面几种有意思的解法，供各位朋友参考。

【解法一】首先由弦等想到了垂径定理，再用三角形中位线定理可求AD 。 如图，连接BD ，OC ，相交于点P ，

∵DC=BC ，∴=，∴OC ⊥BD ，BP=DP ，

∵DC=BC=AB=1，∴AB=4，∴OC=OB=2，

设OP=x ，则CP=OC ﹣OP=2﹣x ，

∵BP 2=OB 2﹣OP 2=BC 2﹣CP 2，

∴22﹣x 2=12﹣（2﹣x ）2，解得：x=，

∵OA=OB ，∴AD=2OP=．

【解法二】由弦等想到了角平分线，想到了角平分线的性质定理，再由四边形ABCD 对角互补得到了下面这种传统的全等三角

形的方法。

如图，连接AC ，过点C 作AB 、AD 的垂线CE 、

CF ，垂足分别为E,F 。

在Rt △ABC 中，由射影定理可求BE=4

1; 又△ACF ≅△ACE 、△CDF ≅△CBE ，所以AE=AF ，

BE=DF ， ∴2

74124=⨯-=AD .

【解法三】由角平分线、垂直想到了“两线合一”，将图形补成等腰三角形来解。

易知△ABE 、△CDE 都是等腰三角形，则AB=AE=4，

CE=CD=CE=1.

下面求AD 有两种有意思的方法，一是由△CDE ∽

△ABE ，得到21=DE ，于是2

7214=-=AD ； 二是由割线定理得EB EC EA ED ∙=∙，得到ED ，

下同。

解法三可看作是将△ABC 沿AC 翻折到△AEC 。由角

平分线的轴对称性，也可以将△ACD 沿AC 翻折到△ACE

位置可解。

如图，在AB 上截取AE=AD ，连接CE 、AC ，再过点

C 作CH ⊥AB 于点H 。

在△BCE 中，BC=CE=1，BE=2BH ，而CH 、BH 由勾

股、相似、三角或射影定理都可以得到，从而AE 、AD

可求。

【解法四】由角等想到了构造相似三角形（三角函数）。

如图，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，由△ACE ∽△ABC ，

可得4

15=CE ，415=AE ； 由勾股定理，在Rt △CDE 中，

41)415(

122=-=DE ， ∴2

741415=-=AD .

【解法五】受解法四提示，继续用相似解题。

如图，连接AC 、BD ，交于点P 。则可得△ABC ∽△APD ∽△BPC 。△ABC 三边确定可求，故PC 可求，从而AP 可求，所以AD 可求。

【解法六】由解法一可知，OC ∥AD ，这是确定的位置关系，可以用比例线段来解。

如图，连接DO 、CO ，延长DC 交AB 于点P . ∵∠POD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD ，又

∠POD=2∠BOC ，∴∠POC=∠OAD ，故CO ∥AD ，∴2

1==CD AO PC PO ，设x PB =，则

2

2+=x PC ，由割线定理可得PD PC PA PB ∙=∙，可得3

2=x ，再由△POC ∽△PAD ，可得,PD PC AD CO =2

7=AD 。 当然，由对称思想可知，延长BC 交AD

的延长线于点Q ，也可以得到答案。

【解法七】用余弦定理解。为了在△ACD 中求出AD ，只要求出它的任一个内角的某个三角函数值即可。

如图，连接AC 。在Rt △ABC 中，可求15=AC ，415cos cos =

∠=∠CAD BAC 。 在△ACD 中，CAD AC AD AC AD DC ∠∙∙-+=cos 2222，则2

7=AD （负根舍去）。

若注意到A 、B 、C 、D 四点共圆，联想到∠B 、∠D 互补，而B ∠cos 可求，故D ∠cos 可求，那么，用解法七类似的方法，在△ACD 中也可以求出AD 。

【解法八】用勾股定理求AD 。

如图，连接AC 、CO 、BD 。由△BCD ∽△AOC ，则

2

15=∙=AO AC BC BD ， 在Rt △ABD 中，2

722=

-=BD AB AD . 求BD 的长，也可以用余弦定理。在△BCD

中，∠BDC=∠BAC ，故cos ∠BDC 可求，于是BD

可求。

不知道以上八种解法，有没有包括孙老师所说的那六种解法。

一题多解，是孙老师所看重的，但是，孙老师更看重的是多解归一。以上六种解法，反映出了怎样的本质规律呢？我试着总结如下：

1、遇到直径，想到直角。如前面五种解法都用到了直角的相关性质；

2、等弧（等弦）是圆中很重要的一个条件，由它可以得到垂径定理，也可以得到相等的圆周角或圆心角；

3、本题中角平分线给人的印象非常深刻。解法二用到了角平分线的性质定理，解法三用到了角平分线的对称性，解法四、五利用相等的角构造了相似三角形，解法六利用“角平分线+等腰 平行”；

4、初中阶段求线段长的常用方法，在这些解法中基本出现了，比如：勾股法、面积法、相似法、三角函数法、比例线段法、圆幂定理，甚至是正、余弦定理都可以用来试试。

一题多解、多解归一，它是一笔宝贵的财富，既是重要的提高解题能力的方法，也为我们数学教师的教学方法指明了方向，值得我们好好的去研究。