一道几何问题的多种解法

徐老师模型数学20170717
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一道几何问题的多种解法
百汇学校 徐国纲
孙维刚老师说，下面这道题有至少6种不同的解法：
问题：已知，如图所示，C、D是以AB为直径的半圆O上的两点，且DC=BC=
AB
4

1
=1，求AD的长。

可惜孙老师没有提供具体的答案。经过思考，得到下面几种有意思的解法，
供各位朋友参考。

【解法一】首先由弦等想到了垂径定理，再用三角形中位线定理可求AD。
如图，连接BD，OC，相交于点P，
∵DC=BC，∴=，∴OC⊥BD，BP=DP，
∵DC=BC=AB=1，∴AB=4，∴OC=OB=2，
设OP=x，则CP=OC﹣OP=2﹣x，
∵BP2=OB2﹣OP2=BC2﹣CP2，
∴22﹣x2=12﹣（2﹣x）2，解得：x=，

∵OA=OB，∴AD=2OP=．
【解法二】由弦等想到了角平分线，想到了角平分线的性质定理，再由四边
形ABCD对角互补得到了下面这种传统的全等三角
形的方法。
如图，连接AC，过点C作AB、AD的垂线CE、
CF，垂足分别为E,F。

在Rt△ABC中，由射影定理可求BE=41;
又△ACF△ACE、△CDF△CBE，所以AE=AF，
BE=DF，

∴274124AD.
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【解法三】由角平分线、垂直想到了“两线合一”，将图形补成等腰三角形
来解。
易知△ABE、△CDE都是等腰三角形，则AB=AE=4，
CE=CD=CE=1.
下面求AD有两种有意思的方法，一是由△CDE∽

△ABE，得到21DE，于是27214AD；
二是由割线定理得EBECEAED，得到ED，
下同。

解法三可看作是将△ABC沿AC翻折到△AEC。由角
平分线的轴对称性，也可以将△ACD沿AC翻折到△ACE
位置可解。
如图，在AB上截取AE=AD，连接CE、AC，再过点
C作CH⊥AB于点H。
在△BCE中，BC=CE=1，BE=2BH，而CH、BH由勾
股、相似、三角或射影定理都可以得到，从而AE、AD
可求。

【解法四】由角等想到了构造相似三角形（三角函数）。
如图，过点C作CE⊥AD于点E，由△ACE∽△ABC，

可得415CE，415AE；
由勾股定理，在Rt△CDE中，

41)4
15
(122DE
，

∴2741415AD.
【解法五】受解法四提示，继续用相似解题。
如图，连接AC、BD，交于点P。则可得△ABC∽△APD∽△BPC。△ABC三边
确定可求，故PC可求，从而AP可求，所以AD可求。
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【解法六】由解法一可知，OC∥AD，这是确定的位置关系，可以用比例线段来
解。
如图，连接DO、CO，延长DC交AB于点P. ∵∠POD=∠OAD+∠ODA=2∠
OAD，又

∠POD=2∠BOC，∴∠POC=∠OAD，故CO∥AD，∴21CDAOPCPO，设xPB，

则22xPC，由割线定理可得
PDPCPAPB
，可得32x，再由△POC
∽△PAD，可得,PDPCADCO27AD。
当然，由对称思想可知，延长BC交AD
的延长线于点Q，也可以得到答案。

【解法七】用余弦定理解。为了在△ACD中求出AD，只要求出它的任一个内角
的某个三角函数值即可。

如图，连接AC。在Rt△ABC中，可求15AC，415coscosCADBAC。
在△ACD中，CADACADACADDCcos2222，则27AD（负根
舍去）。
若注意到A、B、C、D四点共圆，联想到∠B、∠D互补，而Bcos可求，
故Dcos可求，那么，用解法七类似的方法，在△ACD中也可以求出AD。

【解法八】用勾股定理求AD。
如图，连接AC、CO、BD。由△BCD∽△AOC，

则215AOACBCBD，
在Rt△ABD中，2722BDABAD.
求BD的长，也可以用余弦定理。在△BCD
中，∠BDC=∠BAC，故cos∠BDC可求，于是BD
可求。
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不知道以上八种解法，有没有包括孙老师所说的那六种解法。
一题多解，是孙老师所看重的，但是，孙老师更看重的是多解归一。以上六
种解法，反映出了怎样的本质规律呢？我试着总结如下：
1、遇到直径，想到直角。如前面五种解法都用到了直角的相关性质；
2、等弧（等弦）是圆中很重要的一个条件，由它可以得到垂径定理，也可
以得到相等的圆周角或圆心角；
3、本题中角平分线给人的印象非常深刻。解法二用到了角平分线的性质定
理，解法三用到了角平分线的对称性，解法四、五利用相等的角构造了相似三角
形，解法六利用“角平分线+等腰平行”；
4、初中阶段求线段长的常用方法，在这些解法中基本出现了，比如：勾股
法、面积法、相似法、三角函数法、比例线段法、圆幂定理，甚至是正、余弦定
理都可以用来试试。

一题多解、多解归一，它是一笔宝贵的财富，既是重要的提高解题能力的方
法，也为我们数学教师的教学方法指明了方向，值得我们好好的去研究。