迭代收敛定理的证明

定理4 对于迭代公式)(1k k x x ϕ=+，如果)()(x p ϕ在*x 附近连续，且有0)(,0)()()(*)(*)1(**≠===''='-x x x x p p ϕϕϕϕ 则该迭代公式在*x 附近是p 阶收敛的。见p20定理4。

证明：由0)(*='x ϕ及定理2-2知，迭代过程)(1k k x x ϕ=+在*x 的附近具有局部收敛性。再将)(k x ϕ在*x 处做泰勒展开，则有

p k p k x x p x x )(!

)()()(*)(*-+=ξϕϕϕ （ξ介于k x 和*x 之间） 注意到)(1k k x x ϕ=+及)(**x x ϕ=，从而有p k p k k x x p x x )(!)

(*)(1-=-+ξϕ

故 !)(lim lim **

*11p x x x x x e e p k k k p k k k ϕ=--=+∞→+∞→，迭代公式在*x 附近是p 阶收敛的。 迭代法的收敛阶是对迭代法收敛速度的一种度量。