2__Leslie矩阵

数学模型在《线性代数》教学中的应用实例(一)

数学模型在《线性代数》教学中的应用实例（一）课程：线性代数教学内容：矩阵数学模型：生态学：海龟种群统计数据该模型在高等数学教学应用的目的：1．通过生动有趣的实例激发学生的学习积极性，在分析问题和解决问题的过程中培养学生的创新意识。

2．使学生掌握建立矩阵代数模型的基本过程，能熟练地将矩阵的知识应用于实际问题。

培养学生将实际问题抽象成数学模型，又用数学模型的结果解释实际现象的能力。

3．巩固矩阵的概念和计算。

生态学：海龟种群统计数据管理和保护许多野生物种，依赖于我们建立种群的动态模型的能力。

一个常规的建模技术是，把一个物种的生命周期划分为几个阶段。

该模型假设：每阶段的种群规模只依赖于母海龟的种群数；每只母海龟能够存活到下一年的概率依赖于其处在生命周期的那个阶段，而与个体的具体年龄无直接关系。

举例来说，可以用一个四阶段的模型来分析海龟种群的动态。

如果d i 表示第i 个阶段的持续时间，s i 表示该阶段的每年存活率，那么可以证明，在第i 阶段可以存活到下一年的比例是111i i d i i id i s p s s -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是()11i i d i i i d is s q s-=-如果用e i 表示第i 阶段的成员1年内产卵的平均数，构造矩阵123412233400000p e e e q p L q p q p ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么L 可以用来预测未来几年每阶段的种群数。

上述形式的矩阵称为Leslie （莱斯利）矩阵，相应的种群模型有时也称为莱斯利种群模型。

根据前面表格数据，我们模型的莱斯利矩阵是0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭假设每阶段的初始种群数分别是200000、300000、500和1500，用向量x 0来表示，1年后每阶段的种群数可以如下计算1000127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617x Lx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（这里的计算进行了四舍五入）。

大学数学实验7差分方程

• x(k)=-p*x(k-1)-q*x(k-2); % 迭代计算
• end
exf0202
clear all n=20;
exam0202
k=(0:n)';
y1=exf0202(100, n+1,0.18);
% 给定x0, n, b，调用exf0202计算
y2=exf0202(100, n+1,0.19);
结果分析
• 自然环境下,b=0
xk axk 1 ak x0
• 人工孵化条件下 xk 1 axk b
xk ak x0 b(1 a ak1)
a k x0
b 1 ak 1 a
一阶常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性
• 在 xk 1 axk b 中
x x • 令
k=
k+1=x得
x
b
Matlab实现
• 首先建立一个关于变量n ，r的函数
• function x=exf11(x0,n,r)
• % 建立名为exf11的函数M文件， x0,n,r 可调节
• a=1+r;
• x=x0;
% 赋初值
• for k=1:n • x(k+1)=a*x(k); 迭代计算
• end
• 在command窗口里调用exf11函数
• 代入Xk+ pXk-1 + qXk-2=0 ** 得
2 p q 0
称为差分方程的特征方程。差分方程的特征根：
1,2 p
p2 4q 2
差分方程**的解可以表为 xk c11k c22k
c1,c2 由初始条件x0,x1确定。
1,2 1, xk 0(k )
1,2 1, xk (k )

第2讲 Leslie矩阵模型

3.4 Leslie 矩阵模型本节将以种群为例，考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定，但是不同年龄结构动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，为了更精确地预测种群的增长，在此讨论按年龄分组的种群增长预测模型，这个向量形式的差分方程是Leslie 在20世纪40年代用来描述女性人口变化规律的，虽然这个模型仅考虑女性人口的发展变化，但是一般男女人口的比例变化不大。

假设女性最大年龄为s 岁，分s 岁为n 个年龄区间：n i n is n s i t i ,,2,1,,)1( =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆年龄属于i t ∆的女性称为第i 组，设第i 组女性人口数目为),,2,1(n i x i =，称T n x x x x ),,,(21 =为女性人口年龄分布向量，考虑x 随k t 的变化情况，每隔ns年观察一次，不考虑同一时间间隔内的变化（即将时间离散化）。

设初始时间为0t ，nkst t k +=0时间的年龄分布向量为T k n k k k x x x x ),,,()()(2)(1)( =，这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口演变，而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响。

设第i 组女性的生殖率（已扣除女婴的死亡率）为i a （第i 组每位女性在ns年中平均生育的女婴数，0≥i a ），存活率i b （第i 组女性在ns 年仍活着的人数与原来人数之比，10≤<i b ），死亡率i b -=1，假设i a ，i b 在同一时间间隔内保持不变，这个数据可由人口统计资料获得。

k t 时第一组女性的总数)(1k x 是1-k t 时各组女性（人数为n i x k i ,,2,1,)1( =-）所生育的女婴的总数，可以由下式表示：)1()1(22)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a xk t 时第1+i 组（1≥i ）女性人数)(1k i x +是1-k t 时第i 组女性经ns年存活下来的人数，可以由下式表示：1,,2,1,1)(1-==-+n i x b x k ii k i 用矩阵将上两式表示为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1131211121121321000000000k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a x x x x记：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--000000000121121n n n b b b a a a a L，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k n k k k k x x x x x 321)(，则有 )0()(x L x k k =称L 为Leslie 矩阵，由上式可算出k t 时间各年龄组人口总数、人口增长率以及各年龄组人口占总人口的百分比。

Leslie模型(数学建模)

.
控制论模型常采取一些评价函数来评判控制模型的效果，对于人口模型，可类似连续型模型，引入以下一些人口指数：
(1)人口总量不妨以N(j)记j时段的人口总量， N(j)= N(i,j).
(2)平均年龄 y(j)=(1/ N(j)) i N(i,j).
(3)平均寿命 Q(j)= exp [- (1-Pi(j))],其中(1Pi(j))为j时段i组人的死亡率。
.
n0
A属于1的特征向量N= .
. nk
解线性方程组 AN= 1N
1k/(P0P1…P k-1) N= 1k-1(P1…P k-1)
1/P k-1 1
.
当且仅当1=1时，N j N，人口总量将趋于稳定且各年龄人数在总人口数中所占的比例也将趋于一个定值。
在1固定的情况下，N只和Pi有关。Pi为i组人的存活率。在一定时期内，它们基本上是一些常数，事实上人们只能通过控制b j的值来保证1=1。
.
两个重要模型: Keyfitz Leslie
.
一些定义:
n为人类的年龄上限 F(x)=x岁的妇女所生的婴儿数/x岁的总人口数 S(x)=x岁人的存活率 P(x)=初始时x岁的总人口数 Nt(x)=距离初始t年时x岁的总人口数
P(0)
P(1)
K=
Nt(0)
Nt(1)
I(t)=
… …
… …
.
定理：若Leslie矩阵A的第一行中至少有两个相
邻的bi>0则 |i|< |1|且N j/ 1j CN其中C为某一常数，由值bi， Pi及N0决定
本定理的条件通常能够得到满足，故在j充分大时有N j=C 1j N，即各年龄组的人口比例总会趋于稳定，且N j+1= 1N j。若1 >1，种群增大， 1 <1时，种群减小。

Leslie素矩阵的一个充要条件

Leslie素矩阵的一个充要条件刘炎;何泽荣;王海涛【摘要】Leslie矩阵模型在带年龄结构的种群动力学中具有重要地位,研究成果表明当Leslie矩阵为素矩阵时,目标种群将趋向一稳定的年龄分布.该文给出了一个无需通.过烦琐的矩阵幂运算来判定Leslie矩阵是素矩阵的充分必要条件,它为Leslie 模型的实际应用提供了很大方便.【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》【年(卷),期】2010(030)001【总页数】4页(P54-57)【关键词】素矩阵;种群动力学;等同;关联矩阵【作者】刘炎;何泽荣;王海涛【作者单位】杭州电子科技大学运筹与控制研究所,浙江,杭州,310018;杭州电子科技大学运筹与控制研究所,浙江,杭州,310018;杭州电子科技大学运筹与控制研究所,浙江,杭州,310018【正文语种】中文【中图分类】O175.10 引言Leslie矩阵模型在具有离散年龄结构的种群动力学中处于基础地位[1]。

将目标种群的最大成活年龄区间分成n个相等的子区间;同时把从t0开始的时间也按与年龄子区间相等的长度加以划分,然后将这两类子区间分别从小到大依次编号。

用xij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n,…);表示在第j个时间段内、年龄位于第i段的种群个体数量。

假设种群规模的变化只决定于时间和年龄,而忽略密度制约因素。

设bi(i=1,…,n-1;0＜bi≤1)是年龄处于第i段的个体能活到第i+1段的概率,ai(i=1,2,…,n;ai≥0)是年龄为i段上的每一个个体在一个时间段内平均生育下一代的数量。

那么可将该目标种群的Leslie矩阵模型表示为,其中向量,A为标准Leslie矩阵。

如果矩阵A为素矩阵,则该种群年龄分布将趋于稳定分布,同时该目标种群的动力学行为具有一系列重要性质[2-4]。

因此给定某目标种群的Leslie矩阵A后,如何来判断矩阵A为素矩阵的问题,对于研究该种群的动力学行为具有重要意义。

logistic模型在人口预测中的应用

l o g i s t i c模型在人口预测中的应用The final revision was on November 23, 2020Logistic模型在中国人口预测中的应用摘要人口问题是当今世界的一个热门话题，全球人口总数的不断激增，使得自然资源人均可利用量不断减少，因此对未来人口数量的预测显得十分的重要。

随着数学模型的不断发展和应用，数学模型在现实生活中的应用越来越多，所起作用也越来越重要。

经典的人口模型——Malthus模型由于存在诸多限制，其预测的结果不太准确。

本论文主要是应用Logistic模型来对中国未来几年的人口进行一个粗率的预测，利用显着性进行模型检验，同时展示数学模型在中国人口方面的应用。

Logistic模型考虑随着人口的增加，自然增长率、自然因素、环境因素等其它因素对人口的影响，预测结果基本符合我国的人口增长趋势。

应用Logistic模型进行人口预测，相比于Malthus模型和灰色预测模型，其拟合度更高，得到的结果更加精确。

关键词：中国人口人口预测 Logistic模型显着性检验Logistic model in the application of forecast the ChinesepopulationAbstract：The population problem is a hot topic in today's world. World's population soared, which reduce natural resources per capita availability progressively. Therefore population forecast is very important for the future. With the continuous development of mathematical models and models' application, Application of mathematical model in real life becomes more and more, whose work is becoming more and more important as well. By reason that there are many restrictions in the Malthus model the classical population model, the prediction result is not very accurate. This paper mainly uses the Logistic model to roughly predict the population of China in the next few years, and shows the application of mathematical model in terms of population in China at the same time. Logistic model considers the increase of population's natural growth, natural factors, environmental factors and other factors influence on the population, and the prediction results conform to the trend of population growth our country.Compared with the Malthus model and the Grey forecasting model, the prediction results of the Logistic model have a high fitting degree and is also more accurate.Keywords: China's population Population forecast Logistic modelTest of statistical significance目录第1章前言选题的背景和意义 (5)人口数量的可预测性 (5)人口预测模型的发展现状 (5)第2章常用人口预测模型的简述Malthus模型 (7)2.2 GM(1,1)预测模型……………………………………………………….……………………………………7Leslis人口预测模型 (8)Logistic人口预测模型 (8)第3章 Logistic模型模型的建立 (10)模型中的参数估计 (11)模型的检验 (11)第4章 Logistic模型在中国人口的预测应用数据的选取 (14)模型的应用 (14)模型检验以及结果分析 (15)人口预测 (17)结论 (18)致谢 (19)参考文献 (20)附录 (21)第一章前言选题的背景和意义二十一世纪中世界最大的问题是环境安全问题和自然资源问题，而这些问题的关键就在于全球人口数量的激增和人口数量的庞大。

基于Leslie矩阵模型的中国人口总量与年龄结构预测

基于Ｌｅｓｌｉｅ矩阵模型的中国人口总量与年龄结构预测
摘要：选用ｋｓｌｉｅ矩阵人口模型能够较全面地考虑到影响人口总量与年龄结构的各种主要因素，预测得到：在现行计划生育政策不变的情况下，中国人口总量将在２０２４年前后达到峰值１４．２亿左右，这与国家人口发展战略研究课题组预测的在２０３３年前后达到人口峰值１５．２亿左右有较大差别；中国人口老龄化有加速发展的趋势。
用适合性ｘ２测验，对数据进行拟合优度测验，得到ｘ２＝ｏ．０６７，又妊．晒＝７．８１５，所以矿＜妊．０５，可推断ｋｓｌｉｅ矩阵人口模型可以较好地用于预测我国人口总量。２００６、２０Ｃｒ７、２００８年预测值（单位：百万）分别为ｌ３１３．ｃｒ７、１３１７．９６、ｌ３２５．３４，与实际值ｌ３１４．４８、１３２１．２９、１３２８．０２的误差率仅为０．００ｌｌ、０．００２５和Ｏ．００２０，说明预测结果令人满意。
利用ｍａｔｌａｂ数学软件对相关数据作进一步处理，整理后得到未来各年中各年龄段的城市人口数预测结果，城市、城镇、乡村总人口数预测值以及城市、城镇、乡村人口占全国总人口的比重预测值，具体数据见表２、表３、表４。
（二）结果分析１．人口总量分析
①国家统计局由１９８２年起，按常住人口对城镇乡人口进行划分。其中，市人口指设区的市的区人口和不设区的市所辖的街道人口：镇人口指不设区的市所辖镶的居民委员会人口和县辖镇的居民委员会人口；乡人口为除上述两种人口以外的全部人口。 ⑦限于篇幅，有些公式推导过程及详细结果没有列出，有兴趣的读者可以向作者索取。
石ｏ（ｔ＋１）＝∑６ｉ（￡）卯ｉ（￡）筏（￡）＝
‘＝ｉｌ
∑６，（￡）伽如）菇ｉ（ｔ）
三、实证研究（一）数据选取与ｋｓｌｉｅ矩阵人口模型的预测

数学建模差分方程模型

yk
x k 1 bk(1 x x k) (2 )
记br1 一阶(非线性)差分方程
(1)的平衡点y*=N
(2)的平衡点 x* r 11 r1 b
讨论 x* 的稳定性
补充知识
一阶非线性差分方程 xk1f(xk)(1)的平衡点及稳定性 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根 (1)的近似线性方程 x k 1 f(x * ) f(x * )x k ( x * )( 2 ) 稳定性判断 x*也是(2)的平衡点
需求函数不变 y k y 0 (x k x 0 ) 2 x x x 2 ( 1 ) x , k 1 , 2 ,
k 2 k 1 k
0
二阶线性常系数差分方程
x0为平衡点研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件
模型的推广 2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0
• 运动(内容同前) C 80 0 0 .00 2 78 5 16(千 80 )
3 差分形式的阻滞增长模型
连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型)
x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口)
x (t)rx(1 x) N
t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关)
离散
yk ~某种群第k代的数量(人口)
y
g
需求曲线变为水平 y0 以行政手段控制价格不变
0
2. 使尽量小，如 =0 y
供应曲线变为竖直
靠经济实力控制数量不变
0
f
x g
f
x0
x
模型的推广生产者管理水平提高 xk1h(yk)
• 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。
xk1
h

以人口预测为例初试数学建模

答疑解惑239以人口预测为例初试数学建模★纪秀浩本文研究“二孩”政策对我国人口发展的影响问题，对于预测未来30年人口数的问题，分别对“单独二孩”和“全部二孩”政策首先建立灰色预测模型，将近5年的人口数据做累加合成，得到近似指数规律的数据，然后建立leslie 模型，将用灰色预测模型算出来的数据代入leslie 模型中，得到leslie 矩阵，进而预测出未来30年我国的人口数；通过搜集中国统计局各个年龄段的结构比例以及老年人口占全部人口的比重，预测未来30年老龄化程度。

本课题是研究单独二胎和全面二胎对未来人口的影响，所以我们要用到最新的数据并对未来30年做一个预测，由于需要的数据很少，所以我们必须用已有的数据做一些预测，本次预测方法采用灰色模型矩阵来进行预测，灰色模型它的优点就在于根据已有的少量数据，对事物的发展规律做一个模糊性的描述，来预测后边未知的数据，当然在此之前我们还要把之前的数据进行一些累加，以弱化原始数据的影响，而且大大的减少了原始数据的随机性，从而呈现出比较明显的变化规律。

得到了一个初步的数据后，我们可以用Leslie 模型在MATLAB 的基础上编程求解，在图中呈现不开放二胎和单独二胎政策和全面二胎政策的一些发展趋势，并定量的分析两种政策下对未来国家总人口及老龄化的影响。

一、灰色GM（1，1）模型为了研究“二孩”政策对我国人口发展的影响问题，对于预测未来30年人口数的问题，通过搜集统计局近5年的数据人口[1]，分别对“单独二孩”和“全部二孩”政策首先建立灰色预测模型，将近5年的人口数据做累加合成，得到近似指数规律的数据，将已知的2006年至2010年出生人口性别比数据作为已知数据向量0x ，(0)125{(0),(0),,(0)}x x x x = ，先对五年的数据进行一次累加。

以减少对后边数据的影响，并得到新的向量表达式：1(1)(0) (1,2,,30),kk jj x xk ===∑ 令x为生成的新向量，(1)1230{(1),(1),,(1)}x x x x = ，在新向量x 的基础上建立灰色方程为(t)(1)dx cx v d t+= （1）式（1）为灰色一阶微分方程，一般记做(1,1)G M，其中,c v为未知参数。

2第二章矩阵应用例子

第二章矩阵应用例子矩阵的概念是从大量各种各样的实际问题中抽象出来的，是最基本的数学概念之一.矩阵概念贯穿线性代数的各方面，许多问题的数量关系都可以通过矩阵来描述，因而矩阵是科学研究的一个非常重要的工具.它在自然科学、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用. 本章主要列举了矩阵在经济、统计、信息技术等方面的应用.例1 生产成本某工厂生产三种产品. 它的成本分为三类. 每一类成本中，给出生产单个产品时估计需要的量. 同时给出每季度生产每种产品数量的估计. 这些估计在表2-1和表2-2中给出. 该公司希望在股东会议上用一个表格展示出每一季度三类成本中的每一类成本的数量：原料费、工资和管理费.表2-1 生产单位产品的成本（美元）成本产品A B C 原料费工资管理费和其他0.10 0.30 0.10 0.30 0.40 0.200.15 0.25 0.15表2-2 每季度产量产品季度夏季秋季冬季春季 A B C4 000 2 0005 8004 500 2 600 6 2004 500 2 400 6 0004 000 2 200 6 000解我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两个表格中的每一个均可表示为一个矩阵.0.100.300.150.300.400.250.100.200.15M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦及400045004500400020002600240022005800620060006000P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦如果我们构造乘积MP ，则MP 的第一列表示夏季的成本.原料费： (0.10)(4000)(0.30)(2000)(0.15)(5800)1870++= 工资： (0.30)(4000)(0.40)(2000)(0.25)(5800)3450++= 管理费和其他：(0.10)(4000)(0.20)(2000)(0.15)(5800)1670++=MP 的第二列表示秋季的成本.原料费： (0.10)(4500)(0.30)(2600)(0.15)(6200)2160++=工资： (0.30)(4500)(0.40)(2600)(0.25)(6200)3940++=管理费和其他：(0.10)(4500)(0.20)(2600)(0.15)(6200)1900++=MP 的第三列和第四列表示冬季和春季的成本.187021602070196034503940381035801670190018301740MP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦MP 第一行的元素表示四个季度中每一季度原料的总成本. 第二和第三行的元素分别表示四个季度中每一季度工资和管理的成本. 每一类成本的年度总成本可由矩阵的每一行元素相加得到. 每一列元素相加，即可得到每一季度的总成本. 表2-3汇总了总成本.表2-3季度夏季秋季冬季春季全年原料费工资管理费和其他总计1 870 3 450 1 670 6 9902 1603 940 1 900 8 0002 0703 810 1 830 7 7101 960 3 580 1 740 7 2808 060 14 780 7 140 29 980例2 生态学：海龟的种群统计学管理和保护很多野生物种依赖于我们模型化动态种群的能力. 一个经典的模型化方法是将物种的生命周期划分为几个阶段. 该模型假设每一阶段种群的大小仅依赖于雌性的数量，并且每一个雌性个体从一年到下一年存活的概率仅依赖于它在生命周期中的阶段，而并不依赖于个体的实际年龄. 例如，我们考虑一个4个阶段的模型来分析海龟的动态种群. 在每一个阶段，我们估计出1年中存活的概率，并用每年期望的产卵量近似给出繁殖能力的估计. 这些结果在表2-4中给出. 在每一阶段名称后的圆括号中给出该阶段近似的年龄.表2-4 海龟种群统计学的4个阶段阶段编号描述（年龄以年为单位）年存活率年产卵量 12 3 4卵、孵化期（<1）幼年和未成年期（1~21）初始繁殖期（22）成熟繁殖期（23~54）0.67 0.74 0.81 0.810 0 127 79若i d 表示第i 个阶段持续的时间，i s 为该阶段每年的存活率，那么在第i 阶段中，下一年仍然存活的比例将为111i i d i i id i s p s s -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭（1）而下一年转移到第1i +个阶段时，可以存活的比例应为(1)1i id i i i d i s s q s -=- （2）若令i e 表示阶段(2,3,4)i i =1年中平均的产卵量，并构造矩阵123412233400000p e e e q p L q p q p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3）则L 可以用于预测以后每阶段海龟的数量. 形如（3）的矩阵称为莱斯列（Leslie ）矩阵，相应的种群模型通常称为莱斯利种群模型. 利用表1给出的数字，模型的莱斯利矩阵为0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦假设初始时种群在各个阶段的数量分别为200 000，300 000，500和1 500. 若将这个初始种群数量表示为向量0x ，1年后各个阶段的种群数量可如下计算：1000127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x （上述结果已经四舍五入到最近的整数了.）为求得2年后种群数量向量，再次乘以矩阵L .2210L L ==x x x一般地，k 年后种群数量可通过计算向量0k k L =x x 求得. 为观察长时间的趋势，我们计算102550,,x x x . 结果归纳在表2-5中. 这个模型预测，繁殖期的海龟数量将在50年后减少80%.表2-5 海龟种群预测阶段编号初始种群数量10年 25年 50年 1 2 3 4200 000 300 000500 1 500114 264 329 212214 1 06174 039 213 669139 68735 966 103 79568 334例3 密码问题在密码学中，称原来的消息为明文，经过伪装了的明文则成了密文，由明文变成密文的过程称为加密. 由密文变成明文的过程称为译密. 明文和密文之间的转换是通过密码实现的.在英文中，有一种对消息进行保密的措施，就是把消息中的英文字母用一个整数来表示，然后传送这组整数. 如~A Z 的26个英文字母与1~26的数字一一对应.例如，发送“SEND MONEY ”这九个字母就可用[19，5，14，4，13，15，14，5，25]这九个数来表示. 显然5代表E ，13代表M ，…这种方法很容易被破译. 在一个很长的消息中，根据数字出现的频率，往往可以大体估计出它所代表的字母. 例如，出现频率特别高的数字很可能对应出现频率特别高的字母.我们可以用矩阵乘法对这个消息进一步加密. 假如A 是一个对应行列式等于1±的整数矩阵，则1A -的元素也必定是整数. 可以用这样一个矩阵对消息进行变换，而经过这样变换的消息是较难破译的. 为了说明问题，设100315,201⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A则11001315.201-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A把编了码的消息组成一个矩阵194145135,141525⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B乘积10019414194143155135132100172.2011415252473⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB所以，发出去的消息为[19，132，24-，4，100，7，14，172，3-]. 这与原来的那组数字不大相同，例如，原来两个相同的数字5和14在变换后成为不同的数字，所以就难于按照其出现的频率来破译了. 而接收方只要将这个消息乘以1-A ，就可以恢复原来的消息.100194141941413151321001725135.2012473141525⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 要发送的信息可以按照两个或三个一组排序，如果是两个字母为一组，那么选二阶可逆矩阵，如果是三个字母为一组，则选三阶可逆矩阵. 在字母分组的过程中，如果最后一组字母缺码，则要用Z 或YZ 顶位.。

基于Leslie矩阵模型和队列要素预测

基于Leslie矩阵模型和队列要素预测作者：刘镇宁杨小涵秦雨来源：《现代信息科技》2019年第07期摘; 要：为评价我国全面二孩政策的实施效果，本文选择具有代表性的东、中、西部十个省市为研究对象，以统计年鉴数据为基础，采用熵权法建立人口可持续发展指数。

进一步地，我们分别应用Leslie矩阵和队列要素法建立人口模型，并构建“就业指数”和“青壮年压力指数”，预测了未来我国人口结构和相应社会经济情况的变化。

在此基础上，本文提出全面二孩政策配套实施手段的合理化建议，以期促进人口结构变动与社会进步的一致发展。

关键词：人口可持续发展指数;Leslie矩阵模型;队列要素法;青壮年经济压力;老龄化系数中图分类号：C921; ; ; 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2019）07-0189-03Abstract：In order to evaluate the implementation effect of China’s comprehensive two-child policy，this paper chooses 10 representative provinces and cities in the east，central and western regions as the research object，based on the statistical yearbook data，establishes the population sustainable development index by using the entropy weight method. Furthermore，we use Leslie matrix and queue element method to build population model，and construct “employment index” and “young and middle-aged pressure index” to predict the changes of population structure and corresponding social and economic conditions in China in the future. On this basis，this paper putsforward reasonable suggestions on the means of implementing the comprehensive two-child policy in order to promote the coordinated development of population structure change and social progress.Keywords：population sustainable development index;Leslie matrix model;queue element method;economic pressure of young and middle-aged people;aging coefficient0; 引; 言2016年起实施的“全面二孩”政策是在我国人口形势日益严峻情况下用以优化人口结构的重大调整，对可持续发展有重要意义。

leslie模型

1，模型的建立
我们将人口的年龄按大小分为n 个年龄组，记为1,2,3,,i n =
同时将时间离散为时间段，长度与年龄组区间相等，记为1,2,3,
t
= 定义()i x t 为第t 年第i 年龄组的女性人口数；()i b t 为第t 年第i 年龄组女性生育率；()i d t 为第t 年第i 年龄组的女性人口的死亡率；()i s t 为第t 年第i 年龄组女性的存活率，即()1()i i s t d t =-；()w t 为第t 年出生人口中女性所占比例。

则第1t +年为第1年龄组的女性人数为：
11(1)()()()m
i i i x t b t w t x t =+=∑
第1t +年为第1i +年龄组的女性人口是从第t 年第i 年龄组存活下来的人数：
1(1)()()i i i x t s t x t ++=
构造Leslie 矩阵： []12112121 0 0 0 0 ,0 0 0 0 0 0n n i n wb wb wb wb s L s i i i b s --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∉=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
其中时，那么我们可以得到：
(1)()x t Lx t += 进一步可以得到Leslie 矩阵模型的预测公式：
()(0)x t L x '=
所以只要已知L 矩阵及初始女性人口分布向量(0)x ，就可以求出第t 年女性人口分布的数列，再根据男女性别比例即可推算出总人口的各项指标。

leslie矩阵模型预测人口原理

【南京大学《leslie矩阵模型预测人口》原理分析】Leslie矩阵模型是人口学家Leslie在20世纪40年代提出的一种人口增长模型，用于预测和描述人口的变化规律。

本文将从深度和广度两个维度进行全面评估Leslie矩阵模型预测人口的原理，力求以简明易懂的方式探讨主题。

1. Leslie矩阵模型预测人口的原理Leslie矩阵模型是一种离散时间模型，它假设在单个时间段内，每位女性将生产一个特定数量的女婴，并且在一定芳龄后才能生育。

Leslie 矩阵通过矩阵运算来描述不同芳龄段的人口增长和转移过程，其基本原理可以用以下公式表示：\[ \begin{pmatrix} f_1 & f_2 & f_3 & \cdots & f_n \\ s_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & s_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & s_{n-1}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} N_1 \\ N_2 \\ N_3 \\ \vdots \\ N_n \end{pmatrix} \]2. Leslie矩阵模型的深度分析Leslie矩阵模型将人口分为不同芳龄段，根据生育率和存活率来描述人口的增长和转移过程。

通过不断迭代计算Leslie矩阵的乘积，可以预测未来几个时间段内的人口数量分布情况。

值得一提的是，Leslie 矩阵模型基于一些基本的假设，如生育率和存活率不变、芳龄段划分合理等，因此在实际应用中要注意对模型参数的调整和修正，以提高预测准确度。

3. Leslie矩阵模型的广度探讨Leslie矩阵模型不仅可以用于预测人口的总量，还可以对不同芳龄段的人口数量进行预测，从而为政府部门的人口政策制定提供参考依据。

数学建模习题答案

数学建模习题答案中国地质⼤学能源学院华⽂静1.在稳定的椅⼦问题中，如设椅⼦的四脚连线呈长⽅形，结论如何？解：模型假设（1）椅⼦四条腿⼀样长，椅脚与地⾯接触处视为⼀点，四脚的连线呈长⽅形（2）地⾯⾼度是连续变化的，沿任何⽅向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学⾓度来看，地⾯是连续曲⾯。

这个假设相当于给出了椅⼦能放稳的必要条件（3）椅⼦在任何位置⾄少有三只脚同时着地。

为了保证这⼀点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度⽽⾔，地⾯是相对平坦的。

因为在地⾯上椅脚间距和椅腿长度的尺⼨⼤⼩相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是⽆法同时着地的。

模型建⽴在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅⼦四只脚同时着地表⽰出来。

⾸先，引⼊合适的变量来表⽰椅⼦位置的挪动。

⽣活经验告诉我们，要把椅⼦通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅⼦两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。

然⽽，平移椅⼦后问题的条件没有发⽣本质变化，所以⽤平移的办法是不能解决问题的。

于是可尝试将椅⼦就地旋转，并试图在旋转过程中找到⼀种椅⼦能放稳的情形。

注意到椅脚连线呈长⽅形，长⽅形是中⼼对称图形，绕它的对称中⼼旋转180度后，椅⼦仍在原地。

把长⽅形绕它的对称中⼼旋转，这可以表⽰椅⼦位置的改变。

于是，旋转⾓度θ这⼀变量就表⽰了椅⼦的位置。

为此，在平⾯上建⽴直⾓坐标系来解决问题。

设椅脚连线为长⽅形ABCD,以对⾓线AC 所在的直线为x 轴，对称中⼼O 为原点，建⽴平⾯直⾓坐标系。

椅⼦绕O 点沿逆时针⽅向旋转⾓度θ后，长⽅形ABCD 转⾄A1B1C1D1的位置，这样就可以⽤旋转⾓）0（πθθ≤≤表⽰出椅⼦绕点O 旋转θ后的位置。

其次，把椅脚是否着地⽤数学形式表⽰出来。

当椅脚与地⾯的竖直距离为零时，椅脚就着地了，⽽当这个距离⼤于零时，椅脚不着地。

由于椅⼦在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地⾯的竖直距离也是θ的函数。

由于椅⼦有四只脚，因⽽椅脚与地⾯的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，⽽由假设（3）可知，椅⼦在任何位置⾄少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值⾄少有三个同时为0。

人口预测模型(经典)

中国人口预测模型摘要本文对人口预测的数学模型进行了研究。

首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。

考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下：其次，建立Leslie人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。

最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie人口模型BP神经网络一、问题重述1. 背景人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。

由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。

而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。

而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。

准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。

2. 问题人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。

例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。

根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。

基于Leslie矩阵模型对二斑叶螨与山楂叶螨种间竞争研究

２结果与分析
２１山楂叶螨与二斑叶螨种群数量动态及内禀增长力．
２１１单种种群由图１ａ可得，楂叶螨单种种群在试验环境条件下具有更好的存活率、均生育力、．．（）山平发育速率，二斑叶螨再此环境条件下，不能维持种群的延续，与两种群在大田环境果园中表现为山楂叶螨这的种群更具优势是相符的．而且从６月１３１３以前两种群的增长曲线（１ａ）为相似，明两种叶螨的发图（）颇说生代数相似，在此期间二斑叶螨的产卵量较大．２１２混合种群由图１ｂ可得，在相同饲养条件下，．．（）山楂叶螨和二斑叶螨混合种群的数量分别是单种种群的１１，明混合种群大大影响两个种群的数量增长，中种间干扰是最为主要的．／０说其山楂叶螨混合种群的内禀增长力ｒ００６１大于二斑叶螨内禀增长力ｒ００２Ｏ，ｍ（．８）ｍ（．８）山楂叶螨在竞争中生殖繁衍取得优势，
纸，纸上放一个盛湿药棉球的小瓶盖，以保持瓶内的湿度，槽口盖上纱布，用橡皮筋系紧．水并本试验共设
３个处理，分别为山楂叶螨、二斑叶螨的单种种群和这两种叶螨的混合种群，重复３次．月１日接种，种的５接
１材料与方法
１１供试材料．
山楂叶螨与二斑叶螨采自驻马店蚁峰林场美国杏李树叶片上，饲养叶片为美国杏李叶片，叶片当天采回

Leslie模型

Leslie 人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。

如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。

20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。

模型假设(1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变化。

假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔m S /年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化;(2) 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记)](,),(),([)(21t n t n t n t n m =第i 年龄组女性生育率为i b （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为i d ，记1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化;(3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响;(4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。

建立模型与求解根据以上假设，可得到方程 t)1(+t n =∑=mi i i t n b 1)()()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1写成矩阵形式为)()1(t Ln t n =+其中，L =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000000121121m m m s s s b b b b（1）记)]0(,),0(),0([)0(21m n n n n =（2）假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则()(0),0,1,2,t n t L n t ==为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：(i) s i > 0，i =1，2，…，m -1;(ii) b i 0≥，i =1，2，…，m ，且b i 不全为零。

Leslie矩阵模型预测人口

Leslie 矩阵模型预测人口Leslie 矩阵模型的基本概念参数定义[11]我们将中国人口按年龄段分成数段，因此当段数到达一定大小的时候就能包含全部年龄层的人。

再将时间序列也分割成数段（一年为一段即可研究年度人口总数），得到：x k (i )——在时间周期 k 第 i 个年龄段的人数 i =1,2,3,…n注：这里的x k (1)表示的最低年龄段的人数，如0岁~5岁的人数；一定存在整数n 使得 x k (n )表示的是年龄最高的人的人数，如“100岁以上的人”的数量。

其他关于人口的参数：1）b k (i)——在时间周期 k 第 i 年龄组的女性的生育率，即女性生的孩子的人数与女性数的比例，我们也称其为年龄别生育率2）d k (i)——在时间周期k 第i 年龄组的死亡率，即死亡人数除以这一年龄组总人数，我们也称其为年龄别死亡率Leslie 矩阵1.转移过程在一个时间周期内x k−1(i )里的人数转移到x k (i +1)里，考虑死亡的人数我们得到如下式子：11(1)()(1()),1,2,k k k x i x i d i i n --+=-=L L(4-1)下面来讨论i =0的情况，即新生儿人数，在这里我们做了一个假设，女性人口大致占总人口的一半（通过以往的人口普查可以得到证实），因此在时间周期k 的第个i 年龄段的女性人数为1()2k x i ，则可以通过女性的年龄别生育率预测第一个递推关系如下：1111()()()2nk k k i x i b i x i --==∑g(4-2)2. 人口发展模型111111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00001(1)0k k k k k k k k k b b b n b n d x x d d n --------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⨯⎪-⎪ ⎪⎪--⎝⎭L LL M M M L M L(4-3)其中(0)(1)()k k k k x x x x n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M 1111(0)(1)()k k k k x x x x n ----⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M (4-4)为了化简，我们记：11111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00001(1)0k k k k k k k b b b n b n d L d d n -------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⎪-⎪ ⎪⎪--⎝⎭L LL M M M L M L(4-5)则有简写：1k k x L x -=g(4-6)则有递推公式:10k k k x L x L x -==g(4-7)通过这种方法，我们把人口预测问题的重点落到了一个n 维矩阵运算上。

矿产

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。