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第二章线性模型及自相关与偏相关函数

§1.随机线性模型

对于随机差分方程：

兀一 0兀一 I -- （Pp x t -p = a 厂 eg ---- 恥小 /二・・・，一1,0,1•…

-------------------- （I ）

0（w ）,0（w ）系数及两个多项式满足一定约束且q 是一口噪声，Ea ；=云,当时， Ex t a s = 0 ,则称兀是（I ）之一个平稳解，我们将给予上述线性模型进行详细讨论.

首先通过一、二个例子简单说明随机序列、随机模型与时间序列应用之间的关系. 例1在某一专用计算机的固定程序中，包括如下的简单迭代计算

x 〔 = （pg

（II ）

其中0为固定常数（I % IV1） 由于计算机的字长有限，每次计算上式吋都会有舍入误差.若以f 和兀分別表示计算机的 计算值和真实值，则二者之差©=€-兀便是一个谋差序列，我们现在來分析它的内在 变化规律.设在计算f 时产住的舍入误差为％,于是计算值f 为

才=5圮1+少

（2） n ©+為=5（©_]+舛_]） + 4 =>©+兀二卩“…+卩兀口+勺

n （3） 经验表明，舍入误差终近似为均匀分布的白噪声，其方差依计算机的字长而定.于是（3） 式就是计算（1）式吋，计算误差序列的所满足的随机模型

X] 一 Mi ----- （P p \-p = % _ ---- 恥小 f =…，_1, 0, 1,…

的特殊情况.以后我们将主要讨论勺为正态分布的情况.（3）和普通差分方程，由于q 是 随机序列,也是随机序列.勺随着初值X 。不同而不同，于是0序列也各次取不同值, 但是它与相应的坷都满足（3）式.若用B 表示一步延迟算子，即

Ba ）J =% （4）

（3）Z 系统示意框图

©为输入①为输出，一级反馈系（数）统.

例2空间飞行目标（如飞机、导弹或卫星）.在一空域飞行时，其加速度常常被视 为随机>© -----------

---------- (P\B |W

> Wf a

i 丸输入 '叫为输出 一级反馈系统

过程，在离散采样时，就是随机序列•比如在绪论的例2中我们曾把的三丸-注、看

作满足第一章差分方程的平稳序列，并希望用时序分析方法估计均的模型参数.但不能象 例1那样用简单推导列出均的模型.

随机序列与随机模型的关系：

① 与例1类似，从实际背景出发，能够准确导出误差序列所满足的随机模型，即称Z 为能用物理方法列出的随机模型.

② 与例2类似，对于物理过程码，并无物理方法能准确列出它的模型.事实上，我们 说馮具冇差分方程的模型，这只是一种近似地描述随机序列的手段，即用具冇冇理谱的平 稳序列来近似描述色.这时我们用均的样本序列来估计模型（差分方程），这就要用到时 序分析方法.（绪论中例1〜例4,大量事例）

冇理谱与随机模型（差分方程）关系一般归纳为三：

具冇冇理谱g“）=云I Y . J I 2的平稳序列必满足随机模型.

（p ｛e ）

随机模型（差分方程）的平稳解便于在最小（均方）差意义下进行最住预报和控 有理谱能较好地逼近各种连续谱密度.

差分方程（随机线性模型）：

◎ 一（pg_\

（P f ）co t _p = a t - 0（j a t _q 用刃表示「步线性推移算了，即

B k x t = x t _k , B k a t = a （_k , B k c = c , c 为常数

并令

(p(B) = \-(p {B-(p 2B 2 ------ (p f)B p

0(b) = \-e x B-62B- ------- O q B q

于是(I)又可简写为：

0（B ）兀=&（3）q

把0（B ）,0（3）作为算子B 的多项式，通常假定它们之间无公共因子.为方便计：参量常用 向量农示

ZK ZX

輕,...，爲 T 卩 0

0 WT Q=0,cr ；）『 于是模型（I ）和（III ）中，用线性差分方程描述了 ｛兀｝和｛©｝这两个序列不同时刻

Z 间

的线性关系，因而是一种线性时序模型.

但以后，我们总假定（I ）式中终为正态平稳白噪声，其方差EaU ，且假定 Eco 1a s = 0（r < 5）（s 时刻的白噪声乞与f 时刻的舛不相关），0（B ）与0（3）无公共因子. 常二、 制设计. 三、 (I) (II) (III) (IV)

假定£©=0!!!

另外，（I）与（III）两种特殊情况：

-------- 禺©一〃=% or 0（B）© =旳

-------- （V）

-------- 0q a t_q or co t -0（B）a t

-------------（VI）（若乙=©+“，即E乙=p ,而且©满足⑴式，则有

0（B）（z厂“）= 0（B）z『=c + 0（BM，这就是随机序列召的均值不为零时的模型,它不是我们讨论的主要对象• •・•乙相关函数与©的完全相同，.•.只要讨论（I）模型就够了•）

随机线性模型分类：

（1） Moving Average Models：若（VI）式中的系数多项式0{co） = 0 （可逆滑动平均模型）的根全在单位圆外，即其根的模都大于1,我们称（VI）为〜.其解©叫做可逆滑动平均序列.简称为MA模型和MA序列.g-滑动平均阶数，$,•••,0和称为它们的参数.简记M（0,g）模型（序列），表示g阶纯滑动平均的.

（2） Autoregressive Models：若（V）式的系数多项式（p（co） = 0的根全在单位圆外，即其根的模都大于1.我们称（V）式为平稳口冋归模型，其平稳解卩叫做平稳口回归序列，分别简称为4/?模型和4/?序列• “-白回归阶数（P\,・・・，（Pp和称为它们的参数.记号AR（p,0）模型（或序列），表示模型是〃阶纯自回归的.

（3）ARMA模型（或ARMA序列）（平稳自回归-可逆滑动平均混和模型）若模型（I）或（III）式中的系数多项式仔（0）和&（劲无公共因子，而且分别满足上面的平稳性条件和可逆性条件，我们就称这一模型为〜.其平稳解叫做自回归-可逆滑动平均混和序列，简称ARMA模型和ARMA序列.用（°,q）表示其阶数，前者表示自回归的阶数，后者表示

. 的（P）

滑动平均的阶数，0 0和圧为其参数，参数表示：0= : Q三7记号

9丿匕丿ARMA

（p,q）模型（或序列）.

ARMA（p.Q）三AR（p,0）, ARMA（0,q）三MA（0,g）

由上述知识知道：随机模型平稳性和可逆性的定义为

若给了一个随机模型⑴或（or（III））,®我们可以求出相应方程0（劲=0和0（e） = 0 的根，检验这些根是否全在单位圆外，以此來判定模型是否为平稳的和可逆的.②另外，亦可根据代数方程根和系数的关系，把平稳性和可逆性条件转化成关于参数0 0的约束条件，这样便利，从而引出平稳域和可逆域两个概念：

1.平稳域：设模型（I）式的自回归阶数是〃，凡是使0（劲=0的根全在单位圆外的

/ 、

系数向量0=:，构成一个〃维实向量空间的子集，记做①3）,