浅谈行列式的计算方法x

行列式的计算方法

一、 特殊行列式法 1．定义法

当行列式中含零元较多时，定义法可行． 例1 计算n 级行列式

α

β

βαβαβα0

000

000000

=D .

解：按定义，易见121,2,,,n j j j n === 或1212,3,,,1n n j j j n j -==== .

得 1

(1)

n

n n D

α

β-=+-

2．三角形行列式法

利用行列式性质，把行列式化成三角形行列式．

nn

a a a a a a

0n 222n 11211＝

nn

n n a a a a a a

2

1

221211*********nn a a a a =

例2 计算n 级行列式

1

231131

211

2

3

1

n n x n D x n x +=++

解： 将n D 的第(2,3,,)i i n = 行减去第一行化为三角形行列式，则

1230

10000200

1

(1)(2)(1)

n

n x D x x n x x x n -=--+=---+

3．爪形行列式法

例3 计算行列式 0

12112

200000

n n

n

a b b b c a D

c a c a =

()

0,

1,2,,i

a i n ≠=

解: 将D 的第i +1列乘以（i

i a c -

）都加到第1列()n i ,2,1=，得

10

12120

000000

n

i i n i i

n

b c a b b b a a D a a -

=∑=

＝01

1

()n

n

i i i

i i i

b c a a a ==-

∑

∏

4． 范德蒙行列式法

1

232

2

2

2

1

231

1

1

1

1

2

3

1111n n n n n n n

a a a a D a a a a a a a a ----=

1()

i j j i n

a a ≤<≤=-∏

如 3

33

23

12322

2

11

11

x x x x x x D = 不是范德蒙行列式，但可以构造一个4阶范德蒙行列式 )())()((1111

3

13213

3

3

3

23

1223

22

21

321*

i j i j x x x y x y x y y

x x x y x x x y x x x D -∏---==

≤<≤

若将此行列式按第四列展开，则*D 中y 的系数就等于33

3

2

3

1

2

322

2

1111x x x x x x D = 而)())()((3

1321*i j i j x x x y x y x y D -∏---=≤<≤中y 的系数就等于

)()(3

1133221j i i j x x x x x x x x -∏++≤<≤，所以

)()(3

1133221j i i j x x x x x x x x D -∏++=≤<≤

例4 计算n 级行列式

22221

2

3

3

3

3

3

1

231

2

3

1

111n

n n

n

n

n

n

x x x x D

x x x x x x x x =

解：利用D 构造一个1n +阶范德蒙行列式

1

22

2

2

2

1

21

2

1111()n n n

n

n

n

n

x x x x g x x x x x

x x x x

=

多项式()g x 中x 的系数为3(1)n D +-，而()g x 又是一个范德蒙行列式，即

1

()()n

i

i g x x x ==

-∏∏≤<≤-n

i j j i

x x

1)

(

展开后x 的系数为1)1(--n ]

[12132-++n n x x x x x x ∏

≤<≤-n

i j j i x x 1)

(，两者应相等，

故

]

23121n n D x x x x x x -⎡=++⎣ ∏

≤<≤-n

i j j i x x 1)

(

当021≠n x x x 时，还可写成

12n D x x x = )

11(1

n

x x ++ ∏

≤<≤-n

i j j i x x 1)

(

二、 连加法

若行列式中某列（行）加上其余各列（行），使该列（行）元素均相等或出现

较多零，从而简化行列式计算的方法称为连加法．

例5 计算n 阶行列式x

a a a x a D

a

a

x

=

解：它的特点是各列元素之和为x a n +-)1(，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出x a n +-)1(，得