新人教A版高中数学选修1-1第二章：解析几何单元测试卷

解析几何单元测试卷

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．双曲线3x 2－y 2＝9的实轴长是( ) A ．2 3 B ．2 2 C ．4 3 D ．4 2 解析：因为3x 2

－y 2

＝9，所以 x 23－y 2

9

＝1，

所以 a ＝3，所以 2a ＝2 3. 答案：A

2．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0，2) B ．(0，1) C ．(2，0)

D ．(1，0)

解析：由y 2＝4x 知p ＝2，故抛物线的焦点坐标为(1，0)． 答案：D

3．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝10

5，则m 的值为( )

A ．3 B.25

3或3 C. 5

D.5153

或15

解析：由题意知m >0，当5>m 时，a ＝5，b ＝m ，c ＝5－m ，所以e ＝c

a ＝5－m 5＝105，解得m ＝3；当5

b ＝5，

c ＝m －5，所以e ＝c

a ＝m －5m

＝105，解得m ＝253.故选B.

答案：B

4．已知曲线x 2a ＋y 2

b ＝1和直线ax ＋by ＋1＝0(a ，b 为非零实数)，

在同一坐标系中，它们的大致图象可能为(如图所示)( )

解析：若a ＞0且b ＞0，则曲线表示椭圆，直线ax ＋by ＋1＝0在x ，y 轴上的截距分别为－1a ，－1

b ，均为小于零的数，故A ，B 选

项都不满足；若a ＞0且b ＜0，则曲线表示双曲线，直线ax ＋by ＋1＝0在x ，y 轴上的截距分别为－1a ，－1

b ，所以在x 轴上的截距小于0，

在y 轴上的截距大于0.

答案：C

5．双曲线x 2

－y 2

3

＝1的焦点到渐近线的距离为( )

A ．1 B. 3 C ．3

D ．4

解析：依题意得，c 2＝a 2＋b 2＝1＋3＝4，所以双曲线的右焦点坐标是(2，0)，一条渐近线方程是y ＝3x ，即3x －y ＝0，因此焦点到渐近线的距离为

23

（3）2

＋1

＝3，故选B. 答案：B

6．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝5

4

x 0，则x 0等于( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．8

解析：如图所示，易知F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

14，0，过A 作AA ′⊥准线l ，则|AF |

＝|AA ′|，

所以 54x 0＝x 0＋p

2＝x 0＋14，

所以 x 0＝1. 答案：C

7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( )

A.1－52

B.5－12

C.－1－52

D.5＋12

解析：依题意有(2b )2＝2a ·2c ，即4b 2＝4ac ， 所以 b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，所以 a 2－c 2＝ac .

两边同除以a 2

，得1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫c a 2－c

a ＝0.

即有e 2＋e －1＝0，

解得e ＝5－12或e ＝－5－1

2(舍去)．

答案：B

8．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m ＜0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

3

＝1的左焦点为F (－c ，0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )

A.3

4

B ．1

C ．2

D ．4 解析：圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m ＜0)， 所以 m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1，0)． 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ， 又因为直线l 与圆M 相切，

所以 c ＝1，所以 a 2－3＝1，所以 a ＝2. 答案：C

9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( )

A.43

B.75

C.8

5

D ．3 解析：设与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，

与抛物线联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋c ＝0，y ＝－x 2

，

消去y 得3x 2

－4x －c ＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c )＝0，

解得c ＝－4

3，则抛物线与直线4x ＋3y －8＝0平行的切线是4x

＋3y －4

3＝0，问题转化为平行线间的距离，利用两平行线间的距离公

式得d ＝|－43＋8|42＋32＝4

3

.

答案：A

10．已知点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于P 点，则点P 的轨迹方程为( )

A ．x 2－y

28＝1(x ＞1)

B ．x 2－y

28＝1(x ＜－1)

C ．x 2＋y

28

＝1(x ＞0)

D ．x 2－y

210

＝1(x ＞1)

解析：设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ，F ， 则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |. 所以 |PM |－|PN |＝

(|PE |＋|ME |)－(|PF |＋|NF |)＝ |MB |－|NB |＝4－2＝2.

所以点P 的轨迹是以M (－3，0)，N (3，0)为焦点的双曲线右支(去掉B 点)，且a ＝1，

所以 c ＝3，b 2＝8，

所以双曲线方程是x 2

－y 2

8

＝1(x ＞1)．

答案：A

11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2

3＝1的中心和左焦点，点P

为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →

的最大值为( )

A ．2

B ．3

C ．6

D ．8

解析：由椭圆方程得F (－1，0)，设P (x 0，y 0)，则OP →·FP →

＝(x 0，

y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 2

0.

因为P 为椭圆上一点，所以 x 204＋y 20

3＝1.

所以 OP →·FP →＝x 2

0＋x 0＋3⎝

⎛⎭

⎪⎫1－x 204＝

x 20

4＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. 因为－2≤x 0≤2，