频率域图像处理

傅里叶变换示例
(a)一个简单函数(b)其傅立叶变换(c)傅立叶变换的频谱。
傅里叶变换示例-二维
一个二维函数，和它的幅度谱的一部分。
一个二维函数，和它的幅度谱的一部分。
认识频谱图
(a)图像(b)频谱图，注 意四个角处亮点(c)中 心化后的频谱图。(d) 通过对数变换后得到 的频谱图，该图显示 了更多的细节。频谱 图中垂直方向的过零 点比水平方向更近点， 这是由于矩形在垂直 方向的长度比在水平 方向上长。在本书中 的坐标原点的约定是 原点在图像的左上角。
Butterworth低通滤波器(BLPF)
BuBaidu Nhomakorabeaterworth低通滤波器(BLPF)
Butterworth低通滤波器(BLPF)
Gaussian低通滤波器(GLPF)
H (u, v) e
H (u, v) e
D2 (u ,v )/ 2 2
如令＝D0,将可以表示成如下更熟悉的形式：
频域处理的步骤
•为使变换后的图像处于频域的中心，首先把输入 图像乘(－1)x+y
1.计算经过第1步中心化处理后图像的DFT,即F(u,v)
2.把F(u,v)与滤波器传递函数H(u,v)相乘
3.对第3步的结果计算逆DFT
4.取第4步结果的实部
5.用(－1)x+y第5步的结果以还原滤波后图像的中心 点到左上角。
3.对积函数f(m,n)h(x-m,y-n)在(m,n)的取值范围内求和
4.位移是整数增量，对所有的(x,y)重复上面的过程，直到两 个函数：f(m,n)和h(x-m,y-n)不再有重叠的部分。 f ( x, y) h( x, y) F (u, v) H (u, v); f ( x, y)h( x, y) F (u, v) H (u, v)
图像频率-再认识
基本属性：
•所谓频域，就是由图像f(x,y)的二维傅立叶变换和 相应的频率变量(u,v)的值所组成的空间。在空间域 图像强度的变化模式（或规律）可以直接在该空间 得到反应。F(0,0)是频域中的原点，反应图像的平 均灰度级，即图像中的直流成分；低频反映图像灰 度发生缓慢变化的部分；而高频对应图像中灰度发 生更快速变化的部分，如边缘、噪声等。但频域不 能反应图像的空间信息。
频率产生的问题
一幅新闻稿图 像和它的局部 放大图像，显 示了网格点如 何排列来绘制 灰色阴影。
大纲
•导引-为何要在频率域处理 •傅里叶变换及频谱图解释 •频率产生的问题
•频域处理的方法
•频域与空间域处理的联系 •各种频域滤波器 •同态滤波 •警视通工具 •挑战与问题?
频域处理的基础
频域处理的步骤
什么是频率域处理
•含义：
– 狭义：频域增强指在图像的频率域内，对图像 的变换系数（频率成分）直接进行运算，然后 通过Fourier逆变换以获得图像的增强效果。 – 广义：利用变换域进行处理均可称为频率域处 理。
为何要在频率域处理
•与空间域处理的互补性，可以利用频率成分和图 像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的 增强任务，在频率域中变得非常普通； •滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波 的某些性质；
u2 / 2 2
;h( x) 2 Ae
be
2 u 2 / 2 2
2 2 x2
2 u 2 / 21
; A > Band 1 2
2 2 2 2 x
h( x) 2 1 Ae
2 2 21 x
2 2 Be
频域与空域处理的对应关系
特点：被低通滤波的图像相对原始图像缺少尖 锐的细节部分而突出平滑过渡的部分 对应于空间域的平滑处理：如邻域均值处理
理想低通滤波器
•理想滤波器实际上是不可实现的，但在计算机中 可以仿真实现，但可以帮助我们理解滤波器的行为 和特征。为研究其行为与截止频率的关系，可以采 用求百分功率的办法： =100[ P(u, v) / PT ]
大纲
•导引-为何要在频率域处理 •傅里叶变换及频谱图解释
•频率产生的问题
•频域处理的方法 •频域与空间域处理的联系 •各种频域滤波器 •同态滤波 •警视通工具 •挑战与问题?
频率产生的问题
图像采样中混叠效应的演示。(a)图像中的混叠几乎可以忽略(b)通 过像素删除的方法把图像缩小到原来的一半，混叠效果比较明显。 (c)先对图像做均值滤波，然后再缩放，得到的图像比(b)图要模糊 一些，但是混叠效应就不那么令人讨厌了。
频率产生的问题
波纹效应例 子。上面是 油墨画不是 数字化的模 式，把一个 模式加在另 一个模式上 面等同于把 这两个模式 相乘。
频率产生的问题
一幅大小为 新闻稿图像显示 了波纹效应，采 样为75dpi。图 像中的波纹效应 是由45度方向的 网格点叠加并由 数字化图像时使 用的南北方向的 采样网格产生的。
大纲
•导引-为何要在频率域处理 •傅里叶变换及频谱图解释 •频率产生的问题 •频域处理的方法
•频域与空间域处理的联系
•各种频域滤波器 •同态滤波 •警视通工具 •挑战与问题?
频域与空域处理的比较
•1. 对具有同样大小的空域和频率滤波器：h(x,y), H(u,v)，频域计算(由于FFT)往往更有效(尤其是图像 尺寸比较大时）。但对在空域中用尺寸较小的模板 就能解决的问题，则往往在空域中直接操作。
什么是频率域处理
•频域增强指在图像的频率域内，对图像的变换系 数（频率成分）直接进行运算，然后通过Fourier逆 变换以获得图像的增强效果。
•一般来说，图像的边缘和噪声对应Fourier变换中的高频部 分，所以低通滤波能够平滑图像、去除噪声。 •图像灰度发生剧变的部分与频谱的高频分量对应，所以采 用高频滤波器衰减或抑制低频分量，能够对图像进行锐化 处理。 •注意本章各种增强技术与空域技术之间的对应和并行性。
– 对应到图像直观理解：图像均可表示为正 弦条纹图像的叠加；其中粗大的条纹代表 图像中的整体结构，而稠密的细条纹代表 图像的细节部分。
傅里叶的思想
下面的函数是 由上面四个函 数相加得来的。 傅立叶在1807 年提出的周期 函数可以表示 成一系列正弦 函数和余弦函 数的加权和的 思想在当时受 到了大家的质 疑。
图像频率-再认识
那些是高频， 那些是低频？
频率分量与图像空间特征的联系
•变化最慢的频率成分（U=V=0），对应一幅图像的 平均灰度级
•当从变换的原点（频谱图的中心点）移开时，低 频对应着图像的慢变化分量，如图像的平滑部分。 •当进一步远离原点时，较高的频率对应图像中变 化越来越快的灰度级，如边缘或噪声等尖锐部分。
大纲
•导引-为何要在频率域处理
•傅里叶变换及频谱图解释
•频率产生的问题 •频域处理的方法 •频域与空间域处理的联系 •各种频域滤波器 •同态滤波 •警视通工具 •挑战与问题?
傅里叶变换-频率
•频率的定义 •频率 frequency
•频率，是单位时间内完成振动的次数，是描述振 动物体往复运动频繁程度的量，常用符号f或v表示， 单位为秒-1。为了纪念德国物理学家赫兹的贡献， 人们把频率的单位命名为赫兹，简称“赫”。 •图像：边缘—高频；平滑区域—低频。
频率域图像处理
汤晓方 北京多维视通技术有限公司 2012.3.26
大纲
•导引-为何要在频率域处理
•傅里叶变换及频谱图解释 •频率产生的问题 •频域处理的方法 •频域与空间域处理的联系 •各种频域滤波器 •同态滤波 •警视通工具 •挑战与问题?
导引
•频率域处理很重要!?
• 尽管前面已经着重讲述了图像增强的空间技术，但如 果不了解图像处理中如何应用傅里叶变换(Fourier Transform)和频域的基本知识，要彻底地理解图像增 强是不太可能的。 • 频率域处理有时比空间域方便得多 • 频率域处理可以解决很多空间域无法解决的问题:模式 噪声问题\同态滤波 • 有很强的理论基础 • 快速\方便 • 是很多高级或复杂算法的基础
2 D2 (u ,v )/ 2 D0
这里，在截止频率处，H(u, v)下降到最大值的0.607倍。 GLPF没有振铃现象，但与阶数为2的BLPF相比，其通带要宽些， 这样对应的空间滤波器的灰度级轮廓更窄些，因而平滑效果要 差些。 以上三种滤波器，振铃现象从严重到无，但平滑效果从好到差， BPLF可以看成ILPF和BLPF的过渡，阶为1时与GPLF差不多， 阶越高越接近BPLG.
u v
理想低通滤波器-示例
理想低通滤波器-示例
振铃现象
振环中心分量的半径及其他同心分量的数目与ILPF的 截止频率成反比。 滤波器截止频率越小，即越狭窄，则振铃现象越严重。
Butterworth低通滤波器(BLPF)
通常在H(u, v)=0.5时的D(u, v)=D0规定为截止频率(见第一个 公式)。当阶数为1时没有“振铃”现象，为2时较轻微，大 于2时较严重。
频域处理与空域处理的联系
•卷积定理是空域和频域滤波的最基本联系纽带。二维卷积 定理：
1 f ( x, y ) h( x, y ) MN •基本计算过程：
M 1 N 1 m0 n 0
f (m, n)h( x m, y n)
1.取函数h(m,n)关于原点的镜像，得到h(-m,-n) 2.对某个(x,y),使h(-m,-n)移动相应的距离，得到h(x-m,y-n)
认识频谱图
矩形平移后的图像和 对应的频谱图像。 矩形旋转后的图像和 对应的频谱图像。 注意：矩形平移后图 像的频谱图和原图像 的频谱图是一样的。 与位置无关，这也是 频谱图的一个重要特 性。
幅度谱与相位
a一个女人图像。 b对应的相角图像。 c仅使用相位重建 后得到的图像。 d仅使用频谱重建 得到的图像。 e使用相位和频谱 重建后得到的图 像。 f使用矩形图像的 相位和原图像的 频谱得到的图像。
•2. 频域滤波虽然更直接，但如果可以使用较小的 滤波器，还是在空域计算为好。 因为省去了计算 傅立叶变换及反变换等步骤。 •3. 由于更多的直观性，频率滤波器设计往往作为 空域滤波器设计的向导。
频域与空域处理的比较
例：高斯滤波器（为易懂性和简单性，这里仅用一维的 情况说明） 低通：H (u) Ae 高通： H (u ) Ae
频域处理的类型与低通
•按功能分：高通、低通、带通、带阻和陷波器等。 •按方法常用的有：高斯、Butterworth等，此外还 有梯形、指数等。
大纲
•导引-为何要在频率域处理 •傅里叶变换及频谱图解释 •频率产生的问题 •频域处理的方法 •频域与空间域处理的联系
•各种频域滤波器
•同态滤波 •警视通工具 •挑战与问题?
傅里叶
•1768年生于法国 •1807年提出“任何周期信 号都可用正弦函数级数表示” •1829年狄里赫利第一个给 出收敛条件 •拉格朗日反对发表 •1822年首次发表在“热的 分析理论” 一书中
傅里叶的两个观点
•“周期信号都可表示为谐波关系的正 弦信号的加权和”
•“非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示”
理想低通滤波器
1. 理想低通滤波器(ILPF)
1,if D(u, v) D0 设置中心区域为0，保留 H (u, v) 其他部分不变 0, if D ( u , v ) D 0
其中，D0是一个具体的非负值，叫截止频率，D是频率矩 形平面上的点到频率原点(M/2, N/2)的欧氏距离：
傅里叶变换
快速傅里叶变换（FFT）：1950年提出出现适用 于电脑运行的快速傅里叶变换算法（FFT） 二维离散傅里叶变换对
f ( x, y ) F (u.v) 1 M 1 N 1 ux vy 正变换 F ( u , v ) f ( x , y ) exp j 2 ( ) MN x 0 y 0 M N u 0,1, 2, , M 1 v 0,1, 2, , N 1 M 1 N 1 ux vy 反变换 f ( x, y ) F (u, v) exp j 2 ( ) M N u 0 v 0 x 0,1, 2, , M 1 y 0,1, 2, , N 1