相似三角形的判定总结+题型分析(带答案)

相似三角形
定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)；
性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。

相似比为k。

判定：
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
直角三角形相似判定定理:
1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

补充一：直角三角形中的相似问题：
斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA
(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).
补充二：三角形相似的判定定理推论
推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

A
B
C
D
D
A
B
C
D
A
B
C
E
A
B C D E
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

相似三角形中的基本图形
A 型，X 型 交错型
旋转型 母子形
题型分析
例题讲解:下列各组图形必相似的是( )。

A.任意两个等腰三角形
B.斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形
C.两条边成比例的两个直角三角形
D.两条边之比为2:3的两个直角三角形 答案:B.
变式:(1)下列四个命题中，真命题的个数为( )。

①面积相等的两个直角三角形相似； ②周长相等的两个直角三角形相似； ③有一个锐角相等的两个直角三角形相似； ④斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
A.4；
B.3；
C.2；
D.1. (2)下列命题中正确的是( )。

①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似
A B
C D
E
A C
F
E
B
A.①③
B.①④
C.①②④
D.①③④
(3)在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，下列条件中不能．．判定△AED ∽△ABC 是( )。

A.ADE C ∠=∠； B.AED B ∠=∠； C.AD AC AE
AB
=； D.AD DE AC
BC
=．
答案:(1)C; (2)A ； (3)D.
例题讲解:如图，已知在△ABC 中，AE=AC ，AH ⊥CE ，垂足K ，BH ⊥AH ，垂足H ，AH 交BC 于D 。

求证:△ABH ∽△ACK 。

解答：∵AE=AC ，AH ⊥CE ，∴∠EAK=∠CAK,
∵BH ⊥AH ，∴∠AKC=∠AHB=90°，∴△ABH ∽△ACK ．
变式：(1)如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，∠BAD=90°，对角线BD ⊥DC 。

求证:△ABD ∽△DCB 。

解答：△ABD 与△DCB 相似,理由如下： ∵AD//BC ，∴∠ADB=∠DBC. ∵BD ⊥DC ，∴∠BDC=90∘.
∵∠BAD=90∘，∴∠BAD=∠BDC.∴△ABD ∽△DCB.
(2)如图，正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，BP=3PC ，Q 是CD 中点，证明:△ADQ ∽△QCP 。

解答：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=CD=BC,∠C=∠D=90∘， ∵BP=3PC ，Q 是CD 的中点，∴BC CP 4
1=，CD DQ CQ 2
1==，
∴CP:DQ=CQ:DA=1:2，∴△ADQ ∽△QCP ；
例题讲解:如图，已知△ABC 中CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ，求证：△AFE ∽△ABC 。

解答：∵CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠AEC=∠AFB=90∘， 且∠A=∠A ，∴△AEC ∽△AFB ，
H E
D
C
B
A
∴AE:AF=AC:AB ∴AE:AC=AF:AB ，且∠A=∠A ， ∴△AFE ∽△ABC ；
变式：(1)如图，已知D 为ABC ∆内一点，E 为ABC ∆外一点，且21∠=∠，43∠=∠，求证:ABC ∆∽DBE ∆。

解答：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴△ABD ∽△CBE;∴AB:CB=BD:BE; ∴AB:DB=CB:EB;
又∵∠1=∠2，∴∠1+∠DBC=∠2+∠DBC,即∠ABC=∠DBE; ∴△ABC ∽△DBE 。

变式：(2)在△ABC 中，高BD 与CE 相交于点H ，联结DE.求证：△EHD ∽BHC.
证明：∵△ADE ∽△ABC ∴∠ADE=∠ABC ∴90°-∠ADE=90°-∠ABC
即∠EDB=∠ECB 又∵∠EHD=∠BHC ∴△EHD ∽BHC
例题精讲:如图，在ABC ∆中，已知︒=∠90A ，BC AD ⊥于D ，E 为直角边AC 的中点，过D ，E 作直线交AB 的延长线于F 。

求证:AF
DF AC
AB =。

解答：∵∠BAC=90∘，AD ⊥BC ，∴△CBA ∽△ABD ， ∴AB:BD=AC:AD ，∴AB:AC=BD:AD ①，∴∠C=∠FAD ， 又∵E 为AC 的中点，AD ⊥BC ，∴ED=12AC=EC ， ∴∠C=∠EDC ，又∵∠EDC=∠FDB ，
∴∠FAD=∠FDB ，∠F 为公共角，∴△DBF ∽△ADF ， ∴BD:AD=DF:AF ②， 由①②得,AF
DF AC
AB =
变式:如图，ABC ∆中，︒=∠90BAC ，M 为BC 的中点，BC DM ⊥交CA 的延长线于D ；交AB 于E . 求证：ME MD AM ⋅=2.
解答：∵∠BAC=90∘，M 为BC 的中点，∴AM=BM=CM ，∴∠B=∠BAM ， ∵∠B+∠C=90∘，∴∠BAM+∠C=90∘， ∵∠C+∠D=90∘，∴∠BAM=∠D ，
∵∠AME=∠DMA ，∴△AME ∽△DMA ，∴AM:DM=ME:AM ， ∴AM 2=MD:ME.
例题精讲:在三角形ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，M 为DE 的中点，AM 与BE 相交于点N ，延长AM 交BC 于点G ，AD 与BE 相交于点F ， 求证：(1)DE AD =CE
CD
;(2)△BCE ∽△ADM ；(3)AM ⊥BE.
解答：(1)∵AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，∴∠ADC=∠DEC=90∘，又∠C=∠C ， ∴△DEC ∽△ADC ，∴DEAD=CEDC ，即DECE=ADCD ；
(2)∵∠ADC=∠DEC=90∘，∴∠ADM+∠EDC=90∘，∠EDC+∠BCE=90∘， ∴∠ADM=∠BCE ，
又∵AB=AC ，AD ⊥BC ，
∴D 为BC 的中点，即BD=CD=21
BC ，
∵M 为DE 的中点，∴DM=EM=2
1
DE ，
由(1)得DECE=ADCD ，即21
DE:CE=AD:2DC ，
∴DM:CE=AD:BC ，∴△BCE ∽△ADM ；
(3)AM ⊥BE ，理由为：
证明：∵△BCE ∽△ADM ，∴∠CBE=∠DAM ，又∠BFD=∠AFN ，
∴△BFD ∽△AFN ，∴∠BDF=∠ANF ，又∠BDF=90∘，∴∠ANF=90∘，则AM ⊥BE.
变式:在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 、F 分别是AC 、BC 边上一点，且
14CE AC =
，14BF BC =，(1)求证：BD
CD BC AC =；(2)求EDF ∠的度数．
解答：(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠CDB=∠ADC=90∘， ∴∠ACD+∠BCD=90∘，
∵∠ACB=90∘，∴∠A+∠ACD=90∘，∴∠A=∠BCD ， ∴△ADC ∽△CDB ， ∴BD
CD
BC AC =； M N F A D
E
G
(2)∵CE=41AC,BF=41
BC ， ∴CE:BF=41AC:4
1
BC=AC:CB=CD:DB ，
又∵∠A=∠BCD ，∴∠ACD=∠B ，∴△CED ∽△BFD ，
∴∠CDE=∠BDF ，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90∘。