《数学分析》10第三章-函数极限

《数学分析》10第三章-函数极限

第三章 函数极限

引言

在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。

通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列{}n

a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}

n

a 的变化趋势。

我们知道，从函数角度看，数列{}n

a 可视为一种特

殊的函数f ，其定义域为N +

，值域是{}n

a ，即

:()

n f N R n a +→→; 或

(),n f n a n N +

=∈或

()n

f n a =.

研究数列{}n

a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时，函数()f n 变化趋势。

此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞。但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？ 为此，考虑下列函数:

我们把象()f x ，()g x 这样当x →+∞时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当x →+∞时有极限Ａ”。

[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当x →+∞时函

数极限的精确定义如下. 2. x →+∞时函数极限的定义

定义１ 设f 为定义在[,)a +∞上的函数，Ａ为实数。若对任给的0ε>，存在正数Ｍ()a ≥，使得当x M >时有

|()|f x A ε

-<, 则称函数f 当x →+∞时以Ａ为极限。记作

lim ()x f x A →+∞

=或()()f x A x →→+∞.

３． 几点注记

（１） 定义１中作用ε与数列极限中ε作用相同，衡量

()

f x 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中

Ｎ相类似，表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数x ，而不仅仅是正整数n 。

（２） lim ()x f x A →+∞

=的邻域描述：,(),U ε∀∃+∞当()x U ∈+∞时，

()(;).f x U A ε∈

（３）

lim ()x f x A

→+∞

=的几何意义：对ε∀，就有y A ε=+和y A ε=-两

条直线，形成以Ａ为中心线，以2ε为宽的带形区域。“当

x M

>时有|()|f x A ε-<”表示：在直线x M =的右方，曲线()

y f x =全部落在这个带形区域内。

如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x M =一

般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，

使得曲线()y f x =在x M =的右边的全部落在这个更窄的带形区域内。

（４） 现记f 为定义在()U -∞或()U ∞上的函数，当x →-∞或

x →∞

时，若函数值()f x 能无限地接近于常数Ａ，则称f 当x →-∞

或x →∞时时以Ａ为极限，分别记作， lim ()x f x A →-∞

=或()()f x A x →→-∞，

lim ()x f x A

→∞

=或()()f x A x →→∞。

这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：

lim ()x f x A →-∞

=0,0,M ε⇔∀>∃>当x M <-时，|()|f x A ε-<，

lim ()x f x A →∞

=0,0,

M ε⇔∀>∃>当||x M >时，|()|f x A ε-<。

（５）推论：设()f x 为定义在()U ∞上的函数，则

lim ()x f x A →∞

=⇔lim ()lim ()x x f x f x A →+∞

→-∞

==。

４．利用lim ()x f x →+∞

＝Ａ的定义验证极限等式举例

例１ 证明

1lim

0x x

→∞=.

例２ 证明 １）lim 2x arctgx π→-∞

=-；２）lim 2x arctgx π

→+∞

=. 二、0x x →时函数的极限

１．引言

上节讨论的函数f 当x →+∞时的极限，是假定f 为定义在[,)a +∞上的函数，这事实上是()U +∞，即f 为定义在()U +∞上，考虑x →+∞时()f x 是否趋于某个定数Ａ。

本节假定f 为定义在点0

x 的某个空心邻域()0

0U

x 内

的函数，。现在讨论当0

0()

x x

x x →≠时，对应的函数值能

否趋于某个定数Ａ数列。

先看下面几个例子： 例１ ()1(0)

f x x =≠.（()f x 是定义在0

(0)

U

上的函数，当0

x →时，()1f x →）

例２

24

()2

x f x x -=

-.（()f x 是定义在0

(2)

U

上的函数，当2

x →时，()4f x →） 例３

1()f x x

=

.（()f x 是定义在0

(0)

U

上的函数，当0x →时，

()?

f x →）

由上述例子可见，对有些函数，当0

0()

x x

x x →≠时，

对应的函数值()f x 能趋于某个定数Ａ；但对有些函数

却无此性质。所以有必要来研究当0

0()

x x x x →≠时，()f x 的

变化趋势。

我们称上述的第一类函数()f x 为当0

x x →时以Ａ为

极限，记作0

lim ()x x f x A →=。

和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法。不是严格的数学定义。那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？

作如下分析：

“当自变量x 越来越接近于0

x 时，函数值()f x 越来

越接近于一个定数Ａ”→只要x 充分接近0

x ，函数值()

f x 和Ａ的相差就会相当小→欲使|()|f x A -相当小，只要x 充分接近0

x 就可以了。即对0,0εδ∀>∃>，当0

0||x x

δ

<-<时，都