刚体定轴转动的转动定律力矩

例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
JLR 2dm 2πRR 2 dl
0
0
R2 2πRdl2πR 3 mm2R
0
2πR
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dm ds πm R22πrdr2R m 2 drr
Jm r2 d m R2 m r3 d rm R 2
0
0R 2
2
dl m
R O
Rm dr
r O
2)力对点的力矩
Mo
M OrF
F
大小 M OrF sin
O . r
指向由右螺旋法则确定 力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
F
M Zr F
（力对轴的力矩只有两个指向）
r
A
FF
2. 刚体定轴转动的转动定律
第 k个质元 F kf k m ka k
切线方向 F k fk m ka k
rk
Fk
1)质点的动量矩(对O点)
L O r P r m v
其大小
S
L O rspi n m v sr in
LO
r
O
P
惯性参照系
特例：质点作圆周运动 Lrp mvr
质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关
例 一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考
1. 刚体定轴转动的动能
Δ m 1 ,Δ m 2 ,,Δ m k ,,Δ m N r 1 ,r 2 ,,r k,,r N v 1 ,v 2 ,,v k ,,v N
Δmk 的动能为
Ek 12Δmkvk212Δmkrk22
z
O rk
vk
P
• Δmk
刚体的总动能
E E k 1 2Δ m krk221 2Δmkrk22
物体 m1： m 1gT 1m 1a 1
物体 m2： T 2 m 2 g m 2 a 2
滑轮 m： T 1rT 2rJ1 2m2r
a1a2ar
mr
T2
T1
T2
T1
m2
m1
m2 g
m1g
m1 m2g
m1 m2 12mr
0tm1m 1m 2m 21 2 gmtr
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
若M=C
A M (2 1)
讨论
(1) 合力矩的功
A 1 2 M d 1 2 (iM i)d i 1 2 M id i A i
(2) 力矩的功就是力的功。
(3) 内力矩作功之和为零。
3. 刚体定轴转动动能定理
dAM d(Jddt)dJdd(12J2)dEk
对于一有限过程
J 与转轴的位置有关 z
M
L
O
dx
x
z
M
L
O dx
x
J Lx2dx1M2L
0
3
JL/2x2dx1M2L
L/2
12
平行轴定理及垂直轴定理
Jz' JzM2L
J z' ⇒ 刚体绕任意轴的转动惯量 J z ⇒ 刚体绕通过质心的轴 L ⇒ 两轴间垂直距离
z' z M
L C
4. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N
A2dA2d1(J
1
1 2
2)12J22
12J12Ek
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体 上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置
求 它由此下摆 角时的
定义 J mkrk2 质量不连续分布 k
r
J r2dm 质量连续分布 V
❖确定转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
J 与刚体的总质量有关
例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量
JLx2 dxLx2M dx1M2 L
0
0L 3
z
M
J铁J木
O
dx
L x
J 与质量分布有关
fk
在上式两边同乘以 rk F k r k fk r k m k a k r km krkrk
对所有质元求和
F k r kfk r k (m k r k 2 )
内力矩之和为0
转动惯量 J
刚体绕定轴转动微分方程（刚体的转动定律） MJ
与牛顿第二定律比较： M F ,J m , a
3. 转动惯量
3.2 刚体定轴转动的动力学
3.2.1刚体定轴转动的转动定律
1 .力矩
❖力
改变质点的运动状态
质点获得加速度
❖力矩 改变刚体的转动状态 1)力 F 对z 轴的力矩
刚体获得角加速度
z
F//
F
M z(F )Fsrin
Fh
Fτr
h r
A
F FF Fn
(力不在垂直于轴的平面内)
M z ( F ) F r s iF n h F τ r
的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦
不计， (见图)
求 (1) 飞轮的角加速度
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速
rO
解 (1) F rJ F r9 80.23.2 9ra2 d/s
J 0.5
TF
(2) m gTma
T rJ
mgr
J mr2
解 M1mgclos
O• m l x
2
•C
由动能定理
A0 M d0 2 lmcgo ds
mg
lmgsin0 1 J2 0
2
2
J 1 ml 2 3
2 3gsin
l
(3gsin)1/2
l
此题也可用机械能守恒定律方便求解
3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
1. 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒定律
1 2
J
2
结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其
角速度平方乘积的一半
2. 刚体定轴转动时力矩的所做的功 力的累积过程——力矩的空间累积效应
•根据功的定义
d A F d r F cd s os
Frd
O
Md
（力矩做功的微分形式）
d
rr'.dr F
P
对一有限过程
A 2 Md 1
点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
解
LAd1mv
LBd1mv LC 0
A
d1
m v
d2 d3
B
C
2)质点的动量矩定理 r F M v m v 0
dLdrmv
rdm (v )drm v
dt9 1 80 0 .2 0.222.8 1rad 2 /msg
例 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，不能伸长的轻绳两边分别 系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动。
（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）
求 滑轮转动角速度随时间变化的规律。
解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析