晶体学基础

1 晶体

(1-1) 晶体和非晶体的根本区别是什么？各列举出若干种生活中常见的晶体和非晶体。(1-2) 自范性（自限性）是晶体的基本性质。是否可以肯定，生长时能自发长成自身的规则几何多面体外形的固体都是晶体？为什么？

(1-3) 均一性和异向性皆是晶体的基本性质，这两者看起来似乎有点矛盾。你是如何理解这两个基本性质的？

(1-4) 如何根据晶体内部的质点在三维空间成周期性平移重复规则排列的特点，以解释晶体能够对X射线产生衍射这一特性？

(1-5) 晶体和非晶体之间可以相互转变（如玻璃化和脱玻化），那么能否可以说，晶体和非晶体之间的这种相互转变是可逆的？为什么？

(1-6) 平面点阵可用式1-2表达，即R = m a + n b。若令a、b方向的的重复周期为a和b，试作出阵点指数m = 0, ±1, ±2以及n = 0, ±1, ±2范围内的平面点阵图形。

(1-7) 空间点阵中的两个行列，如果其结点间距相等，那么是否说明此二行列必定是相互平行的？为什么？

(1-8) 如图1-16是绿柱石晶体沿Z轴的投影平面图。试在此图中分别以质点O-2、Si+4和Be+2为阵点，分别抽象出其一维和二维的的点阵图形（注意等同点的识别）。

图1-16 绿柱石晶体结构沿Z轴的投影

(1-9) 空间点阵是从实际的晶体结构中抽象出来的，它与晶体结构的关系可以表达为：晶体结构＝空间点阵＋结构基元。那么图1-16中，绿柱石的结构基元是什么？

(1-10) 面网符号与晶面符号的区别在什么地方？

(1-11) 图1-17是一个空间点阵垂直Z方向的二维投影平面，其中X和Y轴正交，且重复

周期分别为a 和b 。试根据空间点阵与倒易点阵之间的关系，作出此图的二维倒易点阵图。

图1-17空间点阵垂直Z 方向的二维投影平面

(1-12) 准晶体与晶体的根本区别何在？如何理解晶体中的周期性以及准晶体中的“准周期”

性？

2 晶体的投影

(2-1) 查资料确定天安门的经纬度坐标。如果该数值代表一个晶面的球面坐标值，那么它在

Wulff 网上的投影位置在哪里？

(2-2) 在晶体投影和作图过程中，衡量晶面夹角往往采用面角而非实际的夹角，这样处理的

优点在哪里？

(2-3) 晶体上一对相互平行的晶面，它们在极射赤平投影图上表现为什么关系？

(2-4) 讨论并说明，一个晶面在与赤道平面平行、斜交和垂直的时候，该晶面的投影点与投

影基圆之间的位置关系。

(2-5) 某晶体两个晶面的极坐标为A （φ= 35°，ρ= 45°）、B （φ= 135°，ρ= 65°），请在

Wulff 网上投影这两个晶面。如果设极射赤平投影图的基圆半径为5 cm ，那么这两个的晶面的投影点距基圆中心的距离是多少？（可将实际投影和

测量的结果与计算的结果做比较）

(2-6) 如图2-10是磷灰石晶体，其相邻柱面m 与m 之间的夹角为60°，

柱面m 与相邻的锥面r 之间的夹角为40°。在Wulff 网上投影

其所有的晶面，并求相邻锥面r 之间的夹角。

(2-7) 投影图中与某大圆上任一点间的角距均为90°的点，称为该

大圆的极点；反之，该大圆则称为该投影点的极线大圆。试问：

① 一个大圆及其极点分别代表空间的什么几何要素？

② 你如何在投影图上求出已知投影点的极线大圆？

（提示：极射赤平投影图中的大圆在平面几何上仍是圆，而

已知由三点即可确定一个圆）。

(2-8) 已知锡石（SnO 2）晶体的测角数据：a (φ=0°00´，ρ=90°00

´)，m(φ=45°00´，ρ=90°00´)，e(φ=0°00´，ρ=33°55´)，s(φ=45°00´，ρ=43°35´)。做出上述晶面的极射赤平投影，

并从投影图中求出a ∧m 、a ∧e 、e ∧s 、s ∧m 的面角。

(2-9) 已知晶面a 的球面坐标φ=56°20´，ρ=90°，做出平行a 晶面的晶面投影点b 和垂直a

晶面的晶面投影点c ，并求出它们的球面坐标。

图2-11磷灰石的形态

3 晶体的宏观对称

(3-1) 图3-23给出了几种正多边形，它们的对称性是什么样的？如果将每一个正多边形作为

一个基本单元，自己验证一下，哪些正多边形能没有空隙地排列并充满整个二维平面？哪些不能？

图3-23 几种正多边形图案

(3-2) 判定晶体（模型）是否有对称心的必要条件之一是晶面要成对

平行。如图3-24所示的方硼石的晶面也是成对平行的，它有

对称中心吗？为什么？

(3-3) 如果一空间点的坐标为(1 2 3)，经过对称轴的对称操作变换后

到达另外一点(x y z )。如果对称轴为二、三、四和六次，试分

别求出在不同对称轴作用下具体的(x y z )数值来（提示：根据

对称轴的对称变换矩阵式3-13）。

(3-4) 如果一空间点的坐标为((x y z )，经过L 6i 的作用，它将变换到空间另外一点(X Y Z )，试给出两者之间关系的表达式。（提

示：根据对称操作的对称变换矩阵来求解）

(3-5) 晶体外形上的对称是其内部格子构造对称的外在反映。在空间格子中，垂直任一L n

（L 1除外）必为一面网，且结点必绕L n 连成正n 边形分布。试根据面网中所可能有的网格形状，证明晶体对称定律。

(3-6) 对称组合定理有若干简化形式（式3-18～式3-22），它们的逆定理都成立吗？请列举

例子来进行验证。

(3-7) 根据对称组合的基本定理（式3-15~式3-17），如果设α＝β＝180°，δ＝45°（皆为

特殊的角度值），试求ω及γ′和γ″。其结果相当于对称组合定理简化形式的哪一条？ (3-8) 至少有一端通过晶棱中点的对称轴只能是几次对称轴？一对正六边形的平行晶面之

中点连线，可能是几次对称轴的方位？

(3-8) 在只有一个高次轴的晶体中，能否有与高次轴斜交的P 或L 2存在？为什么？ (3-9) 当n 为奇数时，下列对称要素的组合所导致的结果是什么？① L n ×C ；② L n ×P ⊥；

③ L n i ×P ∥。

(3-10) 具有L 4的图形或物体，绕L 4每转90°即可复原一次，所以相对于起始方位而言，与

L 4对应的对称变换是：R90°，R180°，R270°，R360°，在此R 代表旋转；若R ’代表反向旋转，则必有R ’(m90°) = R(360°－ m90°)，其中m 为整数，故L 4只包含4个对称变换。由此可知，一个L 4中必然包含了一个与它重合的L 2在内（L 1不计）。试问：与L 6重合而被包含的必然还有什么对称要素？

(3-11) 区别下列几组易于混淆的点群之国际符号，并做出其对称元素的极射赤平投影：

23与32；3m 与m3；3m 与-3m ；6/mmm 与6m ；4/mmm 与mmm ；

(3-12) 图3-25中的A ～H 均是立方体，但立方体面上的装饰花纹各不相同。如果不仅考虑

到正六面体本身，同时还考虑面上的花纹，则它们的面的对称性如何？各个立方体的点群分别是什么？

图3-24 方硼石的晶体形态