一元向量值函数及多元函数微分法的几何应用

x
( (
x), x)
在M ( x0 , y0 , z0 )处,
切线方程为 x x0 y y0 z z0 ,
1 ( x0 ) ( x0 )
法平面方程为
( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )(z z0 ) 0.
x x
F(x, y, z) 0 2.空间曲线方程为 G( x, y, z) 0
t
4
lim
t 4
cos
t
i
lim
t 4
sin
t
j
lim
t 4
t
k
2
i
2
j
k
2 24
例2 设空间曲线Г的向量方程为
r f (t) (t 2 1),4t 3,2t 2 6t), t R
求曲线Г在与t0=2相应点处的单位切向量.
解： f (t) (2t,4,4t 6), t R
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.
曲面在M处的法向量即
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
结论：设曲面方程为 F ( x, y, z) 0
在M(x0,y0,z0)处的法向量
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
例3 求椭球面 x2 2y2 3z2 6在点(1,1,1)处 的切平面及法线方 程
解 F ( x, y, z) x2 2 y2 3z2 6,
n {2x, 4 y,6z}
{2,4,6},
(1,1,1)
(1,1,1)
切平面方程为 2( x 1) 4( y 1) 6(z 1) 0,
（2）若在某个区域内每一点都连续，则称 该函数是该区域上的连续函数
4、一元向量值函数的导数：
来自百度文库
设向量值函数 r f (t)在点t0的某邻域内有定义，若
lim r lim f (t0 t) f (t0 )
t0 t t0
t
存在，则称该极限向量为函数 f (t)在t0处的导数或导向量.
记作：
f
(
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
例1 求曲线 x t , y t 2 , z t 3 在点 (1,1,1)处的
切线及法平面方程。
解：
xt'
1
,
y
' t
2t
,
z
' t
3t 2
在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1
T
:
y
(t
),
z (t)
曲线在M处的切向量 T {(t0 ), (t0 ), (t0 )},
令 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
条则曲n线，T,它们由在于M曲的线切是线曲都面与上同通一过向M量的n任垂意直一 ， 故曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在 同一平面上，这个平面称为曲面在点 M 的切平面.
lim f (t) r 0
tt0
说明
设 f (t) ( f1(t), f2(t), f3(t))
r 0 (m, n, p),
则lim f (t) t t0
r0
lltt iimmtt00
f1(t) f3(t)
m,
lim
tt0
f 2 (t )
n,
p [ 等价条件 ]
lim
t t0
f
(t )
(lim t t0
切平面方程为 Fx (x x0 ) Fy (y y0 ) Fz (z z0 ) 0 法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
n
T
M
特殊地：空间曲面方程形为 z f ( x, y)
x(0) 1, y(0) 2, z(0) 3,
切线方程 x 0 y 1 z 2 ,
1
2
3
法平面方程 x 2( y 1) 3(z 2) 0,
即 x 2 y 3z 8 0.
特殊地：
y (x)
1.空间曲线方程为
z
(x)
切向量T (1,( x),(
x))
x y z
t
0
)或
dr dt
.
t t0
说明 （1）向量值函数可导等价于它的分量函数 都可导，且
f (t0 ) f1(t0 ) i f2(t0 ) j f3(t0 ) k
（2）若在某个区域内每一点都可导，则称
该函数是该区域上的可导函数；
（3）向量值函数的导数与数量值函数的导 数运算法则形式相同（教材P92）.
•M
o
y
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
结论：
x (t )
设空间曲线的方程
y
(
t
)
切向量
T
(t0
),
z ( t )
(t0 ),(t0 )
切线方程 x x0 y y0 z z0 .
法平面 (t0 ) (t0 ) (t0 )
z (t) z
则Γ 向量方程为：
r f (t) ((t), (t),(t))
•M
设与点M对应的参数为t0 x o
y
则点M处曲线的一个切向量.
T f (t0 ) ( (t0 ), (t0 ),(t0 ))
曲线在M处的切线方程
z
x x0 y y0 z z0 .
(t0 ) (t0 ) (t0 ) x
(z
0
z0
)
例 2 求曲线 x2 y2 z2 6，x y z 0在 点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
解 将所给方程的两边对 x求导并移项，得
y
dy dx
z
dz dx
x
dy
dz
1
dx dx
dy z x , dx y z
dz x y , dx y z
dy
0,
dx (1,2, 1)
r f (t) (3cos t) i (3sin t) j t 2 k
的路径螺旋式上升.求
（1）滑翔机在任意时刻t的速度向量和加速度向量；
（2）滑翔机在任意时刻t的速率；
（3）滑翔机的加速度与速度正交的时刻.
二 、空间曲线的切线与法平面
x (t)
设空间曲线Γ的方程
y
(t )
t [ , ]
1
,
2
,
3
切线方程： x 1 y 1 z 1
1
2
3
法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0
即： x + 2 y + 3 z = 6
练习：求曲线
:
x
t
0
e
u
cos
udu，
y
2sin
t
cost,z 1 e3t 在t 0处的切线和法平面方程.
解 当t 0时， x 0, y 1, z 2, x et cos t, y 2cos t sin t, z 3e3t ,
令 F( x, y, z) f ( x, y) z 0, 法向量为：n ( f x , f y ,1)（指向偏向z轴负方向）
曲面在M处的切平面方程为
fx ( x0 , y0 )(x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 ,
曲面在M处的法线方程为
x x0 y y0 z z0 . f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
（3）向量值函数的图像
设向量 r 的起点在坐标原点，则终
点M随t的改变而移动，点M的轨迹 Γ
称为向量值函数 r f (t) 的终端曲
x
线，也称为该函数的图像，记作Γ
z
•M
r f (t)
o
y
反过来，向量值函数
r f (t) ( f1(t), f2(t), f3(t)) t D
称为曲线Γ 的向量方程。
f (2) (4,4,2), f (2) 42 42 22 6.
所求单位切向量一个是：(4,4,2) 2 , 2 , 1 6 3 3 3
另一个是： 2 , 2 , 1
其指向与t的增长方向一致
3 3 3 其指向与t的增长方向相反
例3 一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流的
影响而沿位置向量
设空间曲线Γ的参数方程为
x (t)
y
(t )
t [ , ]
z
(t)
若记 r x i y j z k
f (t) (t) i (t) j (t) k
则Γ 方程成为： r f (t) ((t), (t),(t))
t [ , ]
1、一元向量值函数的定义：
设数集D R，则映射f：D Rn为一元
（4）向量值函数导向量的几何意义：
设空间曲线是向量值函数r f (t), t D的终端曲线，
OM f (t0 ) ON f (t0 t)
取割线 MN的方向向量为
r
MN
f (t0 t)
f (t0 )
x
t t
t
z
N • M r •
f (t0 )
f (t0 t)
o
y
令 N M , 即 t 0 , 得切线的方向向量：
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为 x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
第六节 微分法在几何上的应用
一 一元向量值函数及其导数 二 空间曲线的切线与法平面 三 曲面的切平面与法线
引言：
在一元函数微分学中，我们可以利用导数 确定曲线上某点处的切线斜率，并求出其切线 和法线方程。
在多元函数部分，我们可以利用偏导数来 确定空间曲线的切线和空间曲面的切平面。
一、预备知识：一元向量值函数及其导数
2、一元向量值函数的极限：
设
向
量
值
函
数f
(t
)在
点t
的
0
某
一
去
心
邻
域
内
有
定义
，
若 存 在 一 个 常 向 量r 0 对 于 任 意 正 数， 总 存 在 正 数，
使 得 当t满 足0 t t0 时 ， 不 等 式f (t) r 0 总 成 立 ，
则 称 r 0 为 f (t )当t t0时 的 极 限 ， 记 作
T
dr dt
df1(t) , df2(t) , df3(t )
dt dt dt
t t0
tt0
结论：
导向量 f (t0 )是向量值函数
r
f (t)的终端曲线在点M
处的一个切向量.
x
z
• M r •N
o
y
注意：该切向量指向与t 的增长方向一致！
（5）向量值函数导向量的物理意义：
质点的运动速度向量:
dz
1,
dx (1,2, 1)
由此得切向量
T {1, 0,1},
所求切线方程为 x 1 y 2 z 1,
1
0 1
法平面方程为 ( x 1) 0 ( y 2) (z 1) 0,
xz0
三、曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F(x, y,z) 0
n
T
在曲面上任取一条通
M
过点M的曲线 x (t)
向
量
值
函
数
，
记
作
r
f (t)
tD
其中D叫函数的定义域，t为自变量，r 叫因变量。
说明：（1）向量值函数是数量值函数的推广 （2）在R3中，若向量值函数的三个分量依次为
f1(t)、 f2(t)、 f3(t)
则可表示为 f (t) f1(t) i f2(t) j f3(t) k
( f1(t), f2(t), f3(t))
v(t)
d
r
r(t)
dt
速度方向总是与运动方向一致！
质点的加速度向量:
a (t )
d
v
r (t )
dt
小结
求向量值函数的极限：各分量取极限
求向量值函数的导数：各分量求导数
例1 设 f (t) (cost) i (sint) j t k，求lim f (t).
t
4
解： lim f (t )
切向量T (1, yx , zx )
y
y( x),
z z( x)
切线方程为
x x0 Fy Fz
y y0 Fz Fx
z z0 Fx Fy
,
Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
(x
0
x0 )
Fz Gz
0.
Fx Gx
(y
0
y0 )
Fx Gx
Fy Gy
f1 (t ),
lim
t t0
f 2 (t ),
lim
t t0
f 3 (t ))
[ 计算方法 ]
3、一元向量值函数的连续性：
设向量值函数 f (t)在点t0的某邻域内有定义，若
lim
tt0
f (t)
f (t0 )
则称函数 f (t)在t0连续.
说明：（1）向量值函数连续等价于它的分量函数 都连续；