理论力学多媒体课件

y
C
a
Q
A
O K
x
l
B
P
解1：（几何法）以系统为 研究对象，受的主动力有P、 Q 。给系统一组虚位移如图。
其中
rA
由虚位移原理
re
Fi
rirr0
，得
O
y
a
re
rA
A
rr
rC
C
Q
K
x
B
l
PrA QrC 0
式中 rC a
rA
re cos
l
cos2
P
故有
P
l cos2
Qa
0
解除支座E的约束,代之约束反力RE画虚位移图.
P
Q1 q
Q2
m
rE
A
B
C
D
E
3m 3m
6m
6m
6m RE
利用虚位移图计算虚功
W(RE) = 12RE
W(m) = -36
W(Q2) = -72
由虚位移原理得: 12RE - 72 - 36 = 0
RE = 9 KN
例5 图示多跨静定梁，试求A端处约束反力偶矩及铅
B是AC杆的瞬心.
E是CE杆的瞬心.
rA
P
Q1 q
Q2
m
A
B 1 C
2 D
E
RA 3m 3m
6m
6m
6m
rC
利用虚位移图得: rC = (BC)1 = (CE)2
1 = 22
rA
P
Q1 q
Q2 m
A
B 1 C
2 D
E
RA 3m 3m
6m
6m
6m
rC
利用虚位移图计算虚功
W(RA) =6 RA1
W(P) = -1501
2
b B
δ xA a cos1 δ1
δ yA a sin 1 δ1
y
δ xB a cos1 δ1 b cos2 δ2
δ yB a sin 1 δ1 b sin 2 δ2
§13.3 虚位移原理及应用
并位给移如该r图质上所点所示一作，个的设虚功某位称质移为点虚r受，功力则，力即F 作F 用在，虚
• 虚位移原理解题的类型：
1. 求主动力间的关系 2. 求约束反力（包括杆件的内力） 3. 确定系统的平衡位置
已知质点系处于平 衡状态，求主动力 之间的关系
例1：已知 OA=L，试 求系统在图示位置平衡 时，力偶矩M与力F的 关系（不计摩擦）。
A
900
C1
M
C2
m1g m2 g
O
BF
基本步骤：
不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质点的 速度的约束称为运动约束。
y
B(xB, yB)
yB r 为几何约束方程。
O
r vB x xB r 0 为运动约束方程。
C
运动约束方程的一般形式为
fr (x1, y1, z1,, xn , yn , zn , x1, y1, z1,, xn , yn , zn ) 0
W
F
r
或
W F cosr
M Fr
显然，虚功也是假想的，它与虚位移是同阶无
穷小量。
如果在质点系的任何虚位移中，所有的约束反
力所作虚功的和等于零，则这种约束称为理想约束。
其条件为
WN
Ni
ri
0
常见的理想约束有：
支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光 滑铰链、连接两个质点的无重刚杆、连接两个质点 不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。
y
由 ( X ixi Yiyi Zizi ) 0 ，得
a
C Q
A
YAyA X CxC YCyC 0
O K
x
B
l
P
即 P l Q sin(a sin ) (Q cos)a cos 0 cos2
亦即 P l Qa 0 cos2
由于 ，0 于是得
Q
a
l cos2
P
已知质点系处于平 衡状态，求其内力 或约束力
（3）虚位移不惟一，而实位移是惟一的。
（4）在定常系统中，实位移是虚位移之一 ，
在非定常系统中，微小的实位移不再成为虚位移之一。
δ r2
W
dr
δ r1
δr2
W
dr W
δ r1
二、虚位移间关系的分析方法
I
1、几何法 （虚速度法）
δ
δ rA
δ
A
δ rA OAδ
O
δ rB
B
δ δ rA OA δ
同时限制质点某方向及相反方向运动的约束称为双面约 束。
只能限制质点某方向的运动，而不能限制相反方向运动 的约束称为单面约束。其约束方程的一般形式为
fr (x1, y1, z1,, xn , yn , zn ) 0
四、完整约束与非完整约束 几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为
完整约束。
如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且 不可以积分，这种约束称为非完整约束。
rC
rC = (AC)1 = (CE)2
1 = 2 =
P
Q1 q
Q2 m
A
1B
C
D 2
E
3m 3m RB 6m
6m
6m
利用虚位移图计算虚功
rC
W(P) =1501
W(RB) = - 6RB1
W(Q1) = 2161
W(Q2) = 2162
W(m) = - 362
由虚位移原理得:
-6RB1+1501+2161+2162 -362 = 0 RB = 91 KN
E
YArA P1r1 P2r2 4qr3 0
由几何关系得
r3
r1 rA rB ,r2
1 2
rD
1 2
2 3
rB
1 3
rA
2 3
rB
2 3
rA
于是有
(YA
P1
2 3
P2
4 3
q)rA
0
rA 0 故有
YA
P1
2 3
P2
4 3
q
106.7kN
例6. 组合构架如图所示。已知P=10KN，不计构件自重, 求1杆的内力。
由于 ，0 于是得
Q l P
a cos2
解 2 （解析法）建立如图坐标。
y
主动力作用点的坐标及其变分为
a
C
Q
yA ltg
y A
l cos2
xC a cos xC a sin
O
yC a sin yC a cos
l
A K B
x
P
主动力在坐标方向上的投影为
YA P X C Q sin YC Q cos
AI AI
δ rB
BI
δ
BI AI
OA δ
BI AI
δ rA
在同一时刻（位置），各点之间的虚位移的关 系等同于各点之间的虚速度的关系。
2、解析法
A, B两点的x,y坐标用， 表示
a
1 A
x xA a sin 1
yA a cos1
xB a sin 1 b sin 2 yB a cos1 b cos2
（2）求A处铅垂反力
解除A处铅垂的约束，代之以 相应的约束反力Y，并视为主
P1 A
P2 B
C
q D
E
3 3 12 2 4
动力。给系统一组虚位移，如
图所示。 由虚位移原理有
ArA YA
P1 r1
B P2 rB r2
rD q C D r3
E
ArA YA
P1 r1
B P2 rB r2
C
rD D
q r3
W(Q1) =721
W(Q2) = 2162 W(m) = - 362
由虚位移原理得:
6RA1-1501+721+2162 - 362 = 0
RA = -2KN
解除支座B的约束,代之约束反力RB ,画虚位移图.
E是CE杆的瞬心.
P
Q1 q
Q2 m
A
1B
C
D 2
E
3m 3m RB 6m
6m
6m
利用虚位移图得:
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单 位：理学院工力系 制作人：王 永 刚 时 间：2013、03
第十三章 虚位移原理
引言
虚位移原理，是用分析的方法来研究任意 质点系的平衡问题。这部分内容称为分析静力 学。虚位移原理给出的平衡条件，对于任意质 点系的平衡都是必要与充分的，因此它是解决 质点系平衡问题的普遍原理。同时，将虚位移 原理和达朗伯原理相结合，可以导出动力学普 遍方程和拉格朗日方程，从而得到求解质点系 动力学问题的又一个普遍的方法。
所谓真实运动,是指既满足约束方程又满足运动微分方程和初始 条件的系统运动。因此,在任意时刻,系统的实位移是惟一的。
2、虚位移与实位移的区别与联系
（1）静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移。 即：实位移与力有关，而虚位移只与约束有关。
（2）虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关， 实位移是真实发生的位移，可以是微小值，也可 以是有限值，而且与时间和初始条件有关。
垂反力。已知：P1 80kN , P2 60kN , q 10 kN m
, 长度单位为m。
P1 A
P2 B
C
q D
E
3 3 12 2 4
解：（1）求A端约束反力偶矩。
以梁为研究对象，解除A处限制转动的约束，代之以相
应的约束反力偶矩M A ，并视为主动力。给系统一组虚位移，
如图所示。
P1
MA
一、几何约束与运动约束
限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束。 如：
x
O
l
M ( x, y) x2 y2 l2 y
y
A(xA, yA)
r
l
O
x
x
2 A
y
2 A
r2
B(xB, yB)
(xB xA)2 ( yB yA)2 l2
yB 0
几何约束方程的一般形式为
fr (x1, y1, z1,, xn , yn , zn ) 0
δW 0
F δr M δ 0 B
FL δ M δ ( FL M ) δ 0
δ 0 LF M 0 M LF
例2 图示机构中，当曲柄OC绕轴摆动时，滑块A沿曲柄自 由滑动，从而带动杆AB在铅垂导槽K内移动。已知OC=a， OK=l，在C点垂直于曲柄作用一力Q，而在B点沿BA作用一力 P。求机构平衡时，力P与Q的关系。
m3 g
1.确定系统是否满足原理的应用条件
2.分析主动力作用点的虚位移
3.求主动力的虚功之和
n Fi δ ri 0
i 1
δ rA A
δ
δ rC 1
m1g
O
δ rC 2
M
m2 g
[δ rA ] AB [δ rB ] AB
BF
δ rB
解： δ rA δ rB δ rA δ rB L δ m3g
本章只研究定常的双面的完整的几何约束问题。
§13.2 虚位移的概念与分析方法
一、基本概念 1、虚位移与实位移
虚移位移：质d点r系在给定瞬时为约束所容许的任意方向的微小位
δr
M
δ rA
A
O
δ rA
δ
δ rB
B
δ
rB
虚位移不惟一
虚位移可以是线位移，也可以是角位移
实位移：在无限小时间间隔dt内,系统的真实运动所产生的位移
例3 试求图示多跨静定梁铰B处的约束反力。
解： 以梁为研究对象，解除B处约束，代之以相应的约 束反力YB ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。
P1
P2 P3
A
BC D E
M FG
4 43333 6 4
由虚位移原理有
A
Pr11
rB
P2
r2
Pr33
B C D
YB
E rE
M FG
P1r1 YBrB P2r2 P3r3 M 0
具有双面、定常、理想约束的质点系，在 某一位置处于平衡的、必要与充分条件是： 所有作用于质点系上的主动力，在该位置的 任何虚位移中所作的虚功之和等于零。其数 学表达式为
Fi
ri
0
或
Firi cosi 0
或用解析式表示为
( X ixi Yiyi Zizi ) 0
以上三式称为虚功方程。虚位移原理也称虚 功原理。
A
r1
由虚位移原理有
rB
B
P2
r2
C
D
rD
q
r3
E
M A P1r1 P2r2 4qr3 0
由几何关系得
r1
3 ,r2
2 3
rB
2 6
3
4
r3
1 2
rD
1 2
2 3
rB
1 6
3
2
于是得 (M A 3P1 4P2 8q) 0
0 故有 M A 3P1 4P2 8q 400kN m
二、定常约束与非定常约束
约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。
约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。
O
u
l0
x
其约束方程为
x2 y2 (l0 ut)2
M (x, y)
y
非定常约束方程的一般形式为
fr (x1, y1, z1,, xn , yn , zn , t) 0
三、双面约束与单面约束
P2
11 16
P3
11 96
M
例题4. 多跨梁由AC和CE用铰C连接而成。荷载分布如图 示.P=50KN，均布荷载q=4KN/m，力偶矩m=36KN.m ；求 支座A、B和E的约束反力。
P
q
m
A
B
C
E D
3m 3m
6m
6m
6m
解: 解除支座A的约束,代之约束反力RA,画虚位移图如下. 其中 Q1=24KN, Q2=24KN.
由图知
r1
1 2
rB
,
r2
11 8
rB
,
r3 rB
r3 r2
r2 rB
3 11 68
11 16
r3
11 16
rB
rB
rE 1 6 rB
1 r2 1 2 6 rB
11 96
11 96
rB
于是得
(
1 2
P1
YB
11 8
P2
11 16
P3Βιβλιοθήκη 11 96M)rB
0
rB 0
从而有
YB
1 2
P1
11 8
P
A
C
B
2m
1
2m
2m
2m
2m
解:截断1杆代之内力S1和S‘1且S1= S’1 =S，画虚位移图。
B为BC的瞬心.
第第十十三三章章 虚虚位位移移原原理理
§13.1 约束类型及分类 §13.2 虚位移的概念及分析方法 §13.3 虚位移原理及应用 §13.4 自由度及广义坐标 §13.5 用广义力表示系统的平衡条件