一元函数的泰勒公式如何理解

泰勒公式难以理解的原因是因为同济大学的教材无论五版还是六版，对此节的论述都过于僵硬——我差点给同济大学写信——一开始就说要把一个函数展开成（x-x0）的多项式，让读者实在摸不到头脑。而且同济教材也没说明泰勒公式所表达的真实含义。希望此文有助于解决这两方面的问题。

如果我们不局限于同济教材的章节编排，假设已经知道了一个函数f(x)的一阶导和二阶导的含义。即：一阶导数是代表斜率和单调性，二阶导数是代表凹凸性——都假设在X0的某一邻域有定义——那么我们可以知道，两个函数如果在X0 点的函数值相等，则其在Y坐标的高度相同。如果在X0处一阶导相等，则函数图像在这一点斜率相同。如果在X0处二阶导也相等，则其在X0某一邻域的凹凸性相同。如果，函数值，一阶导，二阶导，都相等，那么这两个函数在X0 处的函数图像就是，高度相同，斜率相同，凹凸性相同，很自然地我们可以猜想：如果在X0 处函数值相同并且各阶导数都相同（假设可以无穷地这样求导——已经是“级数”的部分），那这两个函数的图像在X0的某一个邻域内是重合的，也就是说，这两个函数是同一个函数。

下面我们来证明这个猜想。

与f(x)在X0处函数值相同，可以假设成最简单的形式f(x0)。与f(x)函数值相同，并且一阶导也相同，最简单的形式就是f(x0)+f'(x0)(x-x0)。与f(x)函数值相同，一阶导也相同，并且二阶导也相同，最简单的形式就是f(x0)+f'(x0)(x-x0)+1/2! *

{f''(x0)(x-x0)^2}

N阶导之前都相同呢，就是泰勒表达式不算余项那部分。所以到这步，关键问题就是如何理解这个余项：它的含义是这样的，我们事实上是用了一个多项式来代替一个函数，那到底这样代替是有效的还是没有效果的，评价标准就是看这个函数和这个多项式做差之后的那个余项的大小，如果余项很小，甚至在N趋近无穷时，余项R趋近于0，那我们就说，用多项式代替这个函数是有效的，如果余项很大至少不够小，那用多项式代替这个函数毫无意义，我们就是把两个毫无意义的东西做了差。

余项R是怎么求出来的呢，是用柯西中值定理证出来的，公式在网上不好打，大家只好看书上的论证了，而且这个论证过程同济教材做得还不错的。看过这个证明过程之后我们就知道了，余项的分母是阶乘，是逐渐变大的，分子是有界函数乘一个数的N次方。一个不变的很多东西相乘除以一个逐渐变大的很多东西相乘。显然，这个余项在N足够大的情况下将趋近于0. 函数和这个多项式在N足够大的时候是相等的。

上面论述的其实是泰勒级数，还不是所谓泰勒公式。在N不足够大的时候，比如说只有N阶导，没有N+1阶导，那这个余项如果想写成皮亚诺型，就写成一个N阶导的高阶无穷小量即可。当X0=0时，叫麦克劳林公式，有些常用函数的麦克劳林展开还需要记忆。

但是上面写的只是表明f(x)和一个多项式在函数值和各阶

导在X=X0处都相等时，在整个定义域上有相同的函数图像。如何证明两个不同函数在某一点处函数值和各阶导都相等时，也在整个定义域有相同的函数图像呢？只要证明他们都有相同的幂级数展开就可以了——换句话说。f(x)和g(x)如果在X0处各阶导都相同（包括0阶导），那就都可以展开成同一个多项式展开（虽然是无穷项），所以f(x)和g(x)根据等量代换，就是同一个函数。这就是泰勒公式的真正含义。