高一必修4三角函数复习(经典)

三角函数复习
Part:1知识点导航
1、已知α是第几象限角，确定
()*
n n
α
∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为
n
α
终边所落在的区域． 2、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=
()2
222sin
1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()
sin 2tan cos α
αα
= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛
⎫== ⎪⎝⎭
．
3、三角函数的诱导公式：
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．
()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．
()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．
()5sin cos 2π
αα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
． ()6sin cos 2π
αα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
． 4、（1）函数sin y x =的图象上所有点向左（当ϕ大于零）或向右（当ϕ小于零）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数
()sin y x ωϕ=+的图象；
再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． （2）函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标
不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（当ϕ
大于零）或向右（当ϕ小于零）平移
ϕ
ω
个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． （3）函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：
①振幅：A ；②周期：2π
ω
T =
；③频率：12f ω
π
=
=
T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．
函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =
-，()max min 12y y B =+，()21122
x x x x T
=-<． 5、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
π⎧⎫
6、 周期问题
()()()()()()ω
π
ωϕωω
π
ωϕωω
π
ωϕωωπ
ωϕωωπ
ωϕωω
π
ωϕω2T , 0b , 0 , 0A , b 2T , 0 b , 0 , 0A , b T , 0 , 0A , T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , =
≠>>++==
≠>>++==
>>+==
>>+==
>>+==
>>+=x ACos y x ASin y x ACos y x ASin y x ACos y x ASin y
()()()()ω
π
ωϕωωπ
ωϕωω
π
ωϕωωπωϕω=
>>+==
>>+==>>+==
>>+=T , 0 , 0A , cot T , 0 , 0A , tan T , 0 , 0A , cot T , 0 , 0A , tan x A y x A y x A y x A y
Part:2典型问题 1、函数y ＝cos(2x －4
π
)的单调递增区间是_________________ 2
、函数y =
的定义域是___________
3、函数)2
3cos(3x y π
+
=的图象是把y=3cos3x 的图象平移而得，平移方法是______________
4、函数x
x
y sin 3sin 3+-=
的值域为______________________
5、函数)sin(ϕω+=x A y (A ＞0,0＜ϕ＜π)在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为___________________
6、函数2005
sin(
2004)2
y x π=-是_______函数 (填：奇函数、 偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数 ) 7、 关于函数f(x)＝4sin(2x ＋
3
π
), (x ∈R )有下列命题： ①y ＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；② y ＝f(x)可改写为y ＝4cos(2x －6
π
)；
③y ＝f(x)的图象关于点(－6π，0)对称； ④ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝512
π
-对称；
其中正确的序号为 。

8、直线y a = （a 为常数）与正切曲线tan y x ω=（0ω>）相交的相邻两点间的距离是_______
9、如下图，函数)6
56
(
3sin 2π
π
≤
≤=x x y 与函数y=2的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________________________
10、如上图，函数f(x)=Asin(ωx ＋ϕ) (A>O ，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)+f (2)+…+f(2008)的值等于________
11、（1）已知tan 3α=-，且α是第二象限的角,求αsin 和αcos ;
（2
）已知sin cos ,2,tan 5
ααπαπα-=-求的值。

12、已知tan(3)3π
α+=，
试求 sin(3)cos()sin()2cos()
22sin()cos()
π
π
αππααααπα-+-+--+--++的值．
13、 已知sin ,cos αα是方程2
2
255(21)0x t x t t -+++=的两根，且α为锐角。

⑴求t 的值； ⑵求以11
,sin cos αα
为两根的一元二次方程。

14、求下列函数的值域：
22()2cos 3sin 3[,]63
f x x x x ππ
=++∈
15、已知函数()sin(),(0,0,)2
f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象，它与y 轴的交点为（30,
2
），它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为00(,3),(2,3)x x π+-. （1）求函数()y f x =的解析式；
（2）求这个函数的单调递增区间和对称中心.
（3）该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
16（已知函数
f (x )＝sin(ωx ＋ϕ) (ω>0，0≤ϕ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点
M (34
π，0)对称，且在区间[0,
2
π
]上是单调函数，求 ωϕ，的值。

17、函数y ＝Asin(ωx+ϕ)(A ＞0,ω＞0)在x ∈(0，7π)内取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y 有最大值3，当x ＝6π时，y 有最小值-3. （1）求此函数解析式；
（2）写出该函数的单调递增区间；
(3) 是否存在实数m ，满足不等式Asin(ϕ)＞Asin(ϕ )? 若存在，求出m 值（或范围），若不存在，请说明理由。

18
某港口海水的深度y （米）是时间t （时）（240≤≤t ）的函数，记为：)(t f y = 已知某日海水深度的数据如下：
经长期观察，)(t f y =的曲线可近似地看成函数b t A y +=ωsin 的图象 （1）根据以上数据，求出函数
b t A t f y +==ωsin )(的振幅、最小正周期和表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。

某船吃水深度（船底离水面的距离）为5.6米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）。