高二物理上册洛伦兹力知识总结

洛伦兹力
1．洛伦兹力的方向
磁场对运动电荷的作用力叫做洛伦兹力．．．．。

安培力实际上是洛伦兹力的宏观表现．．．．．．．．．．．．．．．．
，所以洛伦兹力的方向应该与粒子的运动方向、磁感应强度的方向都垂直，即洛伦兹力垂直于v 、B 决定的平面。

实验也证实了这一点。

左手定则：
伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一平面内。

让磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是运动的．．．正电荷．．．
在磁场中所受洛伦兹力的方向。

①负电荷．．．受力的方向与正电荷受力的方向相反．．。

②洛伦兹力始终与电荷的速度方向垂直，因此洛伦兹力永远不做功．．．。

2．洛伦兹力的大小
下面我们由安培力和洛伦兹力的关系，推导出洛伦兹力的计算公式。

设有一段长为l 的直导线，横截面积为S ，单位体积内的自由电荷数为n ，每个电荷带电荷量为q ，运
动速度为v 。

由以上条件可知，导线中电流Q nSlq I nqSv t t
=
==。

若导线垂直．．于磁场方向放置，则导线所受安培力F BIl nqSvBl ==。

安培力可以看作是作用在每个运动电荷上的洛伦兹力的合力．．．．．．．，这段导线中含有的运动电荷数为N nSl =，所以洛伦兹力______________F =。

洛伦兹力计算公式更一般的形式为sin F qvB θ=，其中θ为v 与B 之间的夹角。

当v B ⊥时，F qvB =；当v B ∥时，0F =。

可知，洛伦兹力与电荷的运动状态有关。

3．洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力
电场力
性质 磁场对运动电荷的作用力 电场对电荷的作用力
产生条件 0v ≠，且v 与B 不平行
电场中的电荷一定．．受到电场力的作用 大小 当v B ⊥时，F qvB = F qE =
方向 左手定则，F B ⊥、F v ⊥
正电荷受电场力的方向与电场方向相同，负电荷与电场方向相反 作用效果 只改变速度的方向，不改变速度的大小，永远不做功
既可改变速度的大小，又可改变速度的方向
1．如图所示，带电粒子在匀强磁场中运动，试判定各粒子受洛伦兹力的方向、带电粒子的电性或运动方向。

9.1 洛伦兹力
例题精讲
【答案】 甲：洛伦兹力在纸面内，方向垂直于v 向下。

乙：瞬时速度在纸面内，垂直于F 斜向下。

丙：洛伦兹力方向垂直于纸面向里。

丁：粒子带负电。

【例1】 电子束以一定的初速度沿轴线进入螺线管内，螺线管中通以方向随时间而周期性变化的电流，
如图所示，则电子束在螺线管中做 A ．匀速直线运动 B ．匀速圆周运动
C ．加速减速交替的运动
D ．来回振动 【答案】 A
【例2】 带电粒子垂直匀强磁场方向运动时，会受到洛伦兹力的作用。

下列表述正确的是
A ．洛伦兹力对带电粒子做功
B ．洛伦兹力不改变带电粒子的动能
C ．洛伦兹力的大小与速度无关
D ．洛伦兹力不改变带电粒子的速度方向 【答案】 B
【例3】 有一匀强磁场，磁感应强度大小为1.2T ，方向由南指向北，如有一质子沿竖直向下的方向进入
磁场，磁场作用在质子上的力为149.610N -⨯，则质子射入速度为 ，质子在磁场中向 方向偏转。

【答案】 5510m/s ⨯，方向向东偏转。

【例4】 如图所示，两个带等量正电荷的小球与水平放置的光滑绝缘
杆相连，并固定在垂直纸面向外的匀强磁场中，杆上套有一个带正电的小环，带电小球和小环都可视为点电荷。

若将小环由静止从图示位置开始释放，在小环运动的过程中，下列说法正确的是
A ．小环的加速度的大小不断变化
B ．小环的速度将一直增大
C ．小环所受的洛伦兹力一直增大
D ．小环所受的洛伦兹力方向始终不变 【答案】 A
【例5】 如图所示，匀强磁场的方向竖直向下，磁场中有光滑的水平桌面，在桌面上平放着内壁光滑，
底部有带电小球的试管在水平拉力F 作用下，试管向右匀速运动。

带电小球能从试管口处飞出，则
A ．小球带正电
B ．小球的运动轨迹是一条抛物线
C ．洛伦兹力对小球做正功
D ．维持试管匀速运动的拉力F 是一个恒力
【答案】 A B
2．如图所示，光滑的水平桌面处在方向竖直向下的匀强磁场中，桌面上平放着 一根一端开口、内壁光滑的绝缘细管，细管封闭端有一带电小球，小球直径略小 于管的直径，细管的中心轴线沿y 轴方向。

在水平拉力F 作用下，细管沿x 轴方 向匀速运动，带电小球能从管口处飞出。

带电小球在离开细管前的运动过程中， 关于小球运动的加速度a 、沿y 轴方向的速度y v 、拉力F 以及管壁对小球的弹力 做功的功率P 随时间t 变化的图象分别如图所示，其中正确的是
【解析】 考虑小球的分运动，在x 方向，小球做匀速运动，故小球受到的沿y 方向的力y x F qv B =为恒力，
小球运动的加速度为x y qv B a a m ==
，是恒定不变的，小球沿y 轴方向的速度x y y qv B
v a t t m
==，故AB 错。

小球在x 方向受到洛伦兹力x f 和管壁对其的弹力N F ，由于22x
x y q B v f qv B t m
==，故管壁
对小球的弹力做功的功率222
x
N x x x q B v P F v f v t m
===，D 对。

以小球和细管作为研究对象，则
x F f =，故C 错。

【答案】 D
忽略重力，带电粒子以垂直于磁场方向的速度进入匀强磁场，由洛伦兹力的特点可知，粒子将做匀速．．
圆周运动．．．．。

由牛顿第二定律2
v qvB m r =得，轨道半径_____________r =，周期_____________T =。

周期T 与粒子的运动情况无关，它取决于磁场和电荷本身的性质。

1．磁场中匀速圆周运动问题的一般解题思路 ⑴ 圆心的确定
入射方向的垂线．．、出射方向的垂线．．、入射点与出射点连线的中垂线．．．
，这三条线中任意两条线的交点即为圆心．．。

9.2 带电粒子在磁场中的运动
⑵ 半径的确定
用勾股定理、三角函数等数学方法求半径。

⑶ 运动时间的确定
设圆周运动的周期为T ，则当粒子转过α弧度的圆心角对应的时间为___________t =。

这里我们还要灵活运用圆的一些对称规律。

如从某一平直边界射入的粒子，从该边界射出时，速度与边界的夹角．．不变．．；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出．．．．等。

2．带电粒子（不计重力）在匀强电场和匀强磁场中偏转的比较
垂直电场线进入匀强电场 垂直磁感线进入匀强磁场
受力情况 恒力F qE = 变力F qvB =，大小不变，方向始终垂直于速度方向 运动情况 类平抛运动
匀速圆周运动 求解方法
0x y v v qE v t m =⎧⎪⎨=⎪⎩，0212x v t qE y t m =⎧⎪⎨=⎪⎩
mv r qB =
，2πm T qB
=
【例6】
质量分别为1m 和2m 、电荷量分别为1q 和2q 的两粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，已知两粒子的动量大小相等。

下列说法正确的是 A ．若12q q =，则它们作圆周运动的半径一定相等 B ．若12m m =，则它们作圆周运动的周期一定相等 C ．若12q q ≠，则它们作圆周运动的半径一定不相等 D ．若12m m ≠，则它们作圆周运动的周期一定不相等
【答案】 A C
【例7】 质量和电量都相等的带电粒子M 和N ，以不同的速率经小孔S 垂直进入匀强磁场，运行的半圆
轨迹如图虚线所示，下列表述正确的是 A ．M 带负电，N 带正电 B ．M 的速度率小于N 的速率 C ．洛伦兹力对M 、N 做正功
D ．M 的运行时间大于N 的运行时间 【答案】 A
例题精讲
【例8】 带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹。

如图是在有匀强磁场的云室
中观察到的粒子的轨迹，a 和b 是轨迹上的两点，匀强磁场B 垂直纸面向里。

该粒子在运动时，其质量和电荷量不变，而动能逐渐减少，下列说法中正确的是
A ．粒子先经过a 点，再经过b 点
B ．粒子先经过b 点，再经过a 点
C ．粒子带负电
D ．粒子带正电 【解析】 由mv
r qB
=
可知，粒子的动能越小，圆周运动的半径越小。

结合粒子的运动轨迹，可知粒子先经过a 点，再经过b 点，选项A 正确。

再根据左手定则可判断出粒子带负电，选项C 正确。

【答案】 A C
【例9】 如图所示，
在x 轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，一带电粒子（不计重力）从坐标原点O 处以速度v 进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x 轴正方向成120︒角。

若粒子在磁场中运动时离开x 轴的最大距离为a ，则该粒子的电性和荷质比是
A ．正电荷，32v a
B B ．正电荷，2v
aB C ．负电荷，
32v aB D ．负电荷，2v
aB
【答案】 C
【例10】 利用如图所示的装置可以选择一定速度范围内的带电粒子。

图中板MN 上方是磁感应强度大小
为B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d 和d 的缝，两缝近端相距为L 。

一群质量为m 、电荷量为q ，具有不同速度的粒子从宽度为2d 的缝垂直于板MN 进
入磁场，对于能够从宽度为d 的缝射出的粒子，下列说法中正确的是
A ．粒子带正电
B ．射出粒子的最大速度为
(3)
2qB L d m
+
C ．保持d 和L 不变，增大B ，射出粒子的最大速度与最小速度之差将增大
D ．保持d 和B 不变，增大L ，射出粒子的最大速度与最小速度之差将增大 【答案】 B C
【例11】 在一个边界为等边三角形的区域内，存在着方向垂直于纸面向里的匀
强磁场，在磁场边界上的P 点处有一个粒子源，粒子源发出比荷相同的三个粒子a b c 、、（不计重力）沿同一方向进入磁场，三个粒子在
磁场中的运动轨迹如图所示。

用a t 、b t 、c t 分别表示a 、b 、c 通过磁场的时间，用a r 、b r 、c r 分别表示a 、b 、c 在磁场中的运动半径，下列判断正确的是
A ．a b c t t t =>
B ．c b a t t t >>
C ．c b a r r r >>
D ．b a c r r r >>
【答案】 A C
3．如图所示，一束电子以不同的速率由同一位置沿图示方向飞入横截面为一正方形的匀强磁场区域，在从ab 边离开磁场的电子中，下列判断中正确的是 A ．从a 点离开的电子速度最大 B ．从b 点离开的电子速度最大
C ．从a 点离开的电子在磁场中运动时间最长
D ．从b 点离开的电子在磁场中运动时间最长 【答案】 B C
【答案】 B
4．在半径为r 的圆形空间内有一匀强磁场，一带电粒子以速度v 从A 沿半径方向入射，并从C 点射出，如图所示（O 为圆心）。

已知120AOC ∠=︒。

若在磁场中，粒子只受洛伦兹力作用，则粒子在磁场中运行的时间 A ．2π3r
v
B ．23π3v
C ．
π3r
v
D ．3π3r v
【解析】首先找出粒子做圆周运动的圆心O '，对应圆心角为60︒，设该粒子圆周运动的周期为T ，半径为R ，则tan603R r r =︒=，112π3π663R r
t T v v
==⋅
= 【答案】D
【例13】 如图所示，
圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过t ∆时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60角。

现将带电粒子的速度变为3
v
，
仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为
A ．1
2
t ∆ B ．2t ∆
C ．1
3
t ∆ D ．3t ∆
【例12】 如图所示，比荷为e
m
的电子从左侧垂直于界面、垂直于磁场射入宽度为d 、磁感应
强度为B 的匀强磁场区域，要从右侧面穿出这个磁场区域，电子的速度至少应为
A ．2Bed m
B ．Bed m
C ．2Bed m
D ．2Bed m
【解析】 设带电子粒子以速度v 进入磁场做圆周运动，圆心为1O ，半径为1r ，则根据2
=mv qvB r
，得1=mv r qB ，
根据几何关系得11tan 2
=R
r ϕ，且160=︒ϕ。

当带电粒子以13
v 的速度进入时，轨道半径21
1
1333⋅===m v
mv r r qB qB ，圆心在2O ，则
22tan 2=R
r ϕ。

即21213tan 3tan 322==
==R R r r ϕϕ。

故2602
=︒ϕ，2120=︒ϕ；
带电粒子在磁场中运动的时间360=︒
t T ϕ
，
所以22112
1
∆==∆t t ϕϕ，即2122∆=∆=∆t t t ，故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误。

【答案】 B
【例14】
如图所示，在03x a ≤≤区域内存在与xOy 平面垂直的匀强磁场，磁
感应强度的大小为B 。

一位于坐标原点的粒子源，沿y 轴的正方向发射带电粒子，在0t 时刻粒子刚好从磁场边界上的(3)P a a ，点离开磁场。

求粒子在磁场中做圆周运动的半径R 及粒子的比荷
q m。

【解析】 粒子沿y 轴的正方向进入磁场，从P 点离开磁场。

做OP 的垂直平分线，垂直平分线与x 轴的交
点即为粒子运动轨迹的圆心。

由几何关系得，(
)
2
223R a a R =+-，解得23
3
R a =。

又3
sin 2
a R θ=
=
，故粒子做圆周运动的圆心角为120︒， 即周期03T t =。

又2πm T qB
=
，所以02π3q m Bt =。

【答案】 23
3R a =，0
2π3q m Bt =
【例15】 如图所示，在磁感应强度为B 的匀强磁场中，有一无限长挡板MN ，距离该
挡板h 处有一个电子源S ，它向垂直磁场的各个方向等速率地发射电子。

已知电子质量为m ，电荷量为e 。

⑴ 为使电子能击中O 点，电子的最小速率是多大？
⑵ 为使电子的速率为⑴中最小速率的2倍后，仍能击中O 点，电子从S 射出的方向与SO 的夹角为多大？ 【解析】 ⑴ 由题意得，
2h mv eB =
，所以2eBh
v m
=。

⑵ 根据题意找到圆心，画出电子的轨迹如图，由几何关系求得夹角为30︒。

【答案】 ⑴ 2eBh
v m
=
；⑵ 30︒
5．如图，在区域I （0x d ≤≤）和区域II （2d x d ≤≤）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B 和2B ，方向相反，且都垂直于Oxy 平面。

一质量为m 、带电荷量q ()0q >的粒子a 于某时刻从y 轴上的P 点射入区域I ，其速度方向沿x 轴正向。

已知a 在离开区域I 时，速度方向与x 轴正方向的夹角为30︒；此时，另一质量和电荷量均与a 相同的粒子b 也从P 点沿x 轴正向射入区域I ，其速度大小是a 的1/3。

不计重力和两粒子之间的相互作用力。

求 ⑴ 粒子a 射入区域I 时速度的大小；
⑵ 当a 离开区域II 时，a 、b 两粒子的y 坐标之差。

【解析】 ⑴ 设粒子a 在Ⅰ内做匀速圆周运动的圆心为C （在y 轴上），半径为
1a R ，粒子速率为a v ，运动轨迹与两磁场边界的交点为P '，如图，由
洛仑兹力公式和牛顿第二定律得
2
1
a
a a v qv B m R = ①
由几何关系得PCP θ'∠= ②
1sin a d
R θ
=
③ 式中，30θ=︒，由①②③式得2a qBd
v m
=
④ ⑵ 设粒子a 在Ⅱ内做圆周运动的圆心为a O ,半径为2a R ，射出点为a P （图中未画出轨迹），
a a P O P θ''∠=。

由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得
()2
2
2a
a a v qv B m R = ⑤
由①⑤式得1
22
a a R R =
⑥ C 、P '和a O 三点共线，且由⑥式知a O 点必位于3
2
x d = ⑦的平面上。

由对称性知，a P 点与
P '点纵坐标相同，即1cos Pa a y R h θ=+ ⑧，式中h 是C 点的y 坐标。

设b 在I 中运动的轨道半径为1b R ，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得 2
133a a b v v m q B R ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ ⑨ 设a 到达a P 点时，b 位于b P 点，转过的角度为α。

如果b 没有飞出Ⅰ，则22π
a t T θ'
=
⑩ 12π
b t T α= ○
11
式中，t 是a 在区域Ⅱ中运动的时间，而2
22πa a R T v
=
○12 1
12π/3
b b R T v =
○13 由⑤⑨⑩○11○12○13式得30α=︒ ○14
由①③⑨○14式可见，b 没有飞出Ｉ区域。

b P 点的y 坐标为()12cos b P b y R h α=++ ○15
由①③⑧⑨○14○15式及题给条件得，a 、b 两粒子的y 坐标之差为
(
)
2
323
a b P P y y d -=
- ○
16 【答案】 ⑴ 2a qBd v m =
⑵2
(32)3
d -
6．如图所示，半径分别为a 、b 的两同心虚线圆所围的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，在小圆内沿径向存在电场，电场方向指向圆心O ，在O 处固定一个半径很小（可忽略不计）的金属球，小圆周与金属球间的电势差为U 。

设有一个带负电的粒子从金属球表面沿x 轴正方向以很小的初速度逸出，粒子质量为m ，电荷量为q 。

不计粒子的重力，忽略粒子逸出时的速度，求： ⑴ 粒子到达小圆周上时的速度；
⑵ 粒子进入两圆间的磁场中，当磁感应强度超过某一临界值时， 粒子将不能到达大圆周，求此临界值。

【解析】 ⑴ 粒子在电场中加速，由动能定理得，21
2
qU mv =，所以2qU v m =。

⑵ 粒子进入磁场后，受洛伦兹力做匀速圆周运动，2
v qvB m r
=。

要使粒子不能到达大圆周，其最大的圆半径为轨迹圆与大圆周相切。

从而，2
2
2
()a r b r +=-，所以22
2b a r b
-=，故2
222b mU
B b a q
=-。

【答案】 ⑴ 2qU
m ；⑵ 2
222b mU
b a q
-。