结构可靠性分析中含交叉项的改进响应面法_常新龙

w = w 1 w 2 wn =
j= 1
i
i
i
i
wj
i
( 7)
式中, w j 为第 j个变量在第 i 个试验点上的权值; 3) 将上一步得到的 2n + 1组数据, 利用最小二乘法拟 合不带交叉项的响应面 :
n n
i
(X ) = a + ( 3)
i= 1
bi xi +
i= 1
ci xi
2
( 8)
4) 在没有进行响应面函数拟合的点上计算响应面拟 合重要度 ki; 5) 在对应着最大的响应面拟合重要度 ki 的试验点 , 计算功能函数值 g (X i ); 6) 利用上一步的结果, 更新 (X ), 添加一个新的交叉 项到 (X ) 中:
[ 5- 6] [ 4] [ 1] [ 2] [ 3]
人难以接受; 由于实际情况下的极限状态方程阶次是未知的, 因此有时采用高阶形式会导致完全错误的结果。 Sang和 Byung 提出的一种基于矩估计的响应面法 ( Response Surface augm entedM om entM ethod , RSMM ), 考虑响 应面函数的交叉项, 提高了计算精度。但 RS MM 引入响应面 函数 (X )的四阶统计矩以及经验分布, 不仅计算误差加大, 同时使计算更为复杂, 难以推广到大型结构的可靠度计算。 本文在文献 [ 10] 的基础上, 提出逐步增加交叉项的改进响应 面法, 该法通过计算响应面拟合重要度 ki, 逐步引入交叉项, 不断更新响应面函数的形式, 能有效地得到极限状态方程的 回归响应面函数。相比考虑全部交叉项的 RSM 可靠度评估 的计算量不仅大大降低, 而且其结果也比不考虑交叉项的 RSM 更为精确。
设计 研究 分析
文章编号: 1002- 6886( 2009) 05- 0021- 04
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结构可靠性分析中含交叉项的改进响应面法
常新龙, 陈嘉, 王若雨
( 中国人民解放军第二炮兵工程学院, 陕西 西安 710025) 摘要: 针对非线性隐式功能函数的可靠性分析问题, 提出一种基于试验设计技术含交叉项的改进响应面法。该方法首先采用基 于试验设计的矩估计得到试验点并拟合响应面函数, 然后通过计算拟合重要度得出最大贡献试验点并进行补充抽样, 选择最佳 交叉项, 获得了隐式功能函数的更好近似, 从而提高了失效概率的计算精度。算例表明该方法应用的广泛性和优越性。 关键词: 结构可靠性 改进响应面法 交叉项 试验设计 中图分类号: TU 473 . 2; TB12 文献标识码: A
相比 Sang 和 Byung
提出的计算 ki 的方法, 本文的
方法更加简单 , 节约了计算成本。 由 d d
g g g
= 1
g
g g
得: d d
g g
=
=-
g 2 g
3 2响应面函数的更新 ( 5) S ang 和 B yung 提出通过在最大贡献试验点计算得到 的功能函数值 g (X i ), 更新响应面函数。 在每一次响应面
An Improved Response SurfaceM ethod Contained C ross Product Ter m s for Structural R eliability Analysis
C HANG X inlong , C H EN J ia, WANG Ruoyu
Abstract : F or m i plic it nonlinear lm i it state function, an m i proved response surface method contains cross product ter m s based on the de sign of experm i ent techno logy is presented to ana lyze the reliab ility of the m i plic it lm i it state equation . T hism ethod obtain the exper m i enta l points w ith mo m ent estm i ation using design of experm i ents and fit the response surface function at firs, t then perfor m additiona l experm i ent at the po intw ith the most contr ibution using fitting sensitiveness and acquire the response surface function conta ins w ith the optm i al cross product ter ms . T he better approx m i ation of the m i plic it nonlinear lm i it state function has been achieved and the prec ision of the failure probability is m i proved for the m i plic it non linear lm i it state function . Exa mp les are carried out to sho w the w ide applicability and bene fit o f the presented me thod . K ey words : structural reliab ility ; m i proved response surface method ; cross product ter m; design of experm i ents
由式 ( 2) 得:
设计 研究 分析
函数的更新过程中 , 引入一个交叉项来逐步提高失效概率 的计算精度。 设对应 于最大 ki 的点坐 标为 Xm = {x1 m, x2 m , li 2 , li 3 }, 假定更新前的响应面为:
n n l
23
表 1所示。 表 1 例 1的计算结果
失效概率 有限元计算次数 0 . 000 308 0 . 000 228 15 相对误差 (% )
[ 10]
法得到较大的发
展。响应面法用一个简单的显式函数逐步逼近隐式的极限 状态函数, 极大地简化了可靠度的计算。 影响响应面法精度的一个重要因素是响应面函数的形 式 。响应面函数的形式除了一次线性响应面外, Irfan 和 Chris 提出了不含交叉项的二次加权响应面, H enri和 S iu
[ 8] [ 9] [ 7]
M =w1 (
k
(x k 1
) f (x ) dx ) + w2 (
2
k
) + w3(
k
3
)
k
( 1)
作者简介: 常新龙 ( 1965- ), 男 (汉 ), 河南南阳人, 教授, 博士生导师, 研究方向为失效物理与可靠性。 陈嘉 (1985- ), 男 (汉 ), 湖南常德人, 在读硕士研究生, 研究方向为失效物理与可靠性。 收稿日期: 2009- 4- 20
如果 i点为试验点, 则 g (X i ) 在该点取值为通过结构 有限元等数值方法计算的 g (X i ); 否则, g (X i ) 在该点取 值为响应面函数值 (X i )。 联合式 ( 4) - ( 6) 即可求得 k i。
l3 , w 1 , w 2 , w3 }。用数值方法直接求解方程 ( 1) 就得到所需 的试验验算点。 对于 n个随机变量, 该试验设计为 3水平完全析因试 验 ( 3 Fu ll Factorial DOE) , 且状态方程的统计矩为:
i
( 6) )
, i= 1, 2 , 3 。 +
i
验点的位置和相应的权重。 在试验设计 ( D esign of Experm i ents , DOE ) 技术中, 将 +
i
计算
g
,
g
时 g (X i ) 的取值有如下定义 :
用水平 li 替换 , 则式 ( 1) 的待定系数为 { l1 , l2,
1 基于试验设计的矩估计
影响响应面法精度的另一个重要因素是试验点的选取, 好的试验点能够包含更多的信息, 提高可靠性计算的精度。 Engels 提出变量 x 的 k 阶中心矩的近似式:
+ [ 11]
提出了使用高阶极限状态方程的响应面。分析现有的文献 可知, 一次线性响应面形式简单、 易于实现, 但其最大的弱点 是不适合非线性隐式极限状态方程; 不含交叉项的二次加权 响应面只是在设计点处有较好近似, 在大部分情况下精度与 线性响应面法相当, 并且由于没有加入交叉项而降低了精度, 随着变量数目的增加, 含全部交叉项的响应面的计算量又令
n n l
显然, 只有选择最大的响应面拟合重要度 ki 所对应的 试验点进行补充抽样计算 , 才可能有效地减少试验次数, 降低计算成本。 失效概率 P f 可表示为可靠性指标 Pf = 而
g g
的函数 :
(-
g
)
在每一轮计算 ki 的过程中不变, 所以 P f 对于 (X ) 的 d g = d (X i ) dg + d (X i )
n ex
n
3
逐步增加交叉项的改进响应面法
为了减少计算量, 传统响应面法在拟合响应面函数的
g
=
i= 1
w g (x i )
n ex
i
( 2) w ( g (xi ) i g
过程中没有考虑交叉乘积项的影响 , 但是这也降低了可靠 度计算的精度; 而考虑全部交叉项的响应面法随着变量的 增加又有着难以接受的巨大计算量。 逐步增加交叉项的改 进响应面法克服了上述问题。 3 1改进响应面法计算步骤 1) 用求解方程 ( 1) 得到的水平值和权值建立 3水平 完全析因试验; 2) 抽取权值 w 最大的 2n + 1个试验点计算功能函数 值 g (X )。 因为试验点权值大 , 包含着更多的试验信息。 第 i 个试验点上的权值为:
Leabharlann Baidu0 引言
结构可靠性理论中一个最基本的问题是失效概率的计 算, 由于变量联合分布的复杂性, 当变量数目较大时, 很难得 到失效概率的精确解析解。因此人们提出了大量的数值近似 方法 , 包括一次二阶矩法 , 二次二阶矩法 以及蒙特卡罗 法 等。但二阶矩法及蒙特卡罗法等近似解析方法无法对 隐式极限状态进行可靠性分析。因此, 计算量小、 易于实现的 响应面 ( Response SurfaceM ethod , RSM )
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现代机械
, 5, 、 分别为变量 x 的均值、 标准差, 以及 w i 分别对应第 i 个试 dg i = w d (X i )
i d g w = (g (X i ) d (X i ) g g
2009 年第 5 期
式中, k = 0, 1, 2 , 点 +
f ( x)表示概率密度函数。从上式即可得变量 x 的三试验
[ 15 ]
(X ) = a +
i= 1
导数可以简化表示 :
g g g g
bi xi +
i= 1
ci xi +
2
k= 1
dk x i (k ) xj (k ) ( 9)
d g d (X i )
( 4)
式中, l 为响应面函数中交叉项的数目, i( k)、 j( k) 分别为 第 k 个交叉项的两个变量对应的下标且有 i( k) < j( k)。 关 于响应面函数的更新方法见下节; 7) 利用更新后的响应面函数 (X ) 计算失效概率 Pf 。 8) 重复步骤 ( 4) - ( 7), 直到失效概率值收敛。
n
g
=
i= 1
)
2
1 /2
式中, nex 为试验点数目, n ex = 3 。
n
2
响应面拟合重要度
本文所提出的方法是在不含交叉乘积项的响应面函
数的基础上, 选取合适的试验点进行补充计算 , 利用得到 的试验数据逐步增加响应面函数的交叉项 , 对响应面函数 进行更新 , 从而提高可靠性分析的精度。 但在不同的试验 点上, 响应面函数对失效概率计算的贡献是不一样的, 只 有在那些应用了响应面函数而导致失效概率变化最大的 点上进行抽样计算 , 才可能有效地减少试验数目, 得到最 佳的交叉项, 提高可靠性评估的精度。 把可靠度计算中试验点的响应值对失效概率的贡献 程度定义为响应面拟合重要度 k i: ki = d Pf d (X i )