苏州大学《概率论与数理统计》期末复习提纲2015

概率论与数理统计复习提纲

Ch1

一、事件的关系及运算

利用事件的交，并，补的关系来表示事件

二、古典概型求概率

三、加法法则与乘法法则

)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃

若A 与B 互不相容，则P (A +B )=P (A )+P (B )

若A 与B 相互独立，则)()()()()(B P A P B P A P B A P -+=⋃

)()()(AB P A P B A P -=也是常用式子；)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P ==

四、事件的独立性

对事件A 与B,若)()()(B P A P AB P =或 ()()()()P A B P A P B A P B ==

则称A 与B 相互独立。

若A 与B 相互独立，则,A B A B A B 与与，与也相互独立。

五、全概率公式和贝叶斯公式

∑=i

i i A B P A P B P )|()()(——全概率公式 及,...)2,1(,)

|()()|()()|(==∑m A B P A P A B P A P B A P i

i i m m m ——贝叶斯公式（逆概公式） 其中, 最常用的是：任给事件A ，B 有

)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=

)

|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=

Ch2（一维随机变量）

一、离散型随机变量的分布律P (X = x k ) = p k (k =1,2,…)

① 性质：1=∑k

k p （注：由此可确定分布律中的未知常数）

② 如何求分布律：先确定r.v.的可能取值，再求取相应值的概率值；

③ 根据分布律求分布函数及离散型r.v.落在某个区间的概率；

二、连续型随机变量的概率密度函数)(x f

①性质：

1)(=⎰+∞

∞-dx x f （注：由此可确定密度函数中的未知常数）

②由)(x f 求分布函数：⎰∞-=

≤=x

dt t f x X P x F )()()(（要注意对x 的分段讨论）

③由)(x f 求连续型r.v.落在某个区间的概率：⎰=<

a

dx x f b X a P )()(；

（注： 连续型r.v.取任一常值的概率等于0，即0)(==x X P ）

三、分布函数)(x F

①分布函数的性质：1)(0≤≤x F ，0)(=-∞F ，1)(=+∞F ，（右）连续，单

调不减（注：由此可确定分布函数中的未知常数）

②分布函数与分布律、概率密度的关系：相互求解（注：)()(x f x F ='）； ③由)(x F 求r.v.落在某个区间的概率：)()()(a F b F b X a P -=≤<。

四、随机变量函数的分布

①离散型随机变量函数的分布

②连续型随机变量函数的分布（注：先求分布函数，再求密度函数）

Ch2（二维随机变量）

一、二维离散型随机向量（X ，Y ）

① 如何求联合分布律：（注：往往用二维的表格来表示）

先分别确定r.v.X ，Y 的可能取值，再求ij j i p y Y x X P ===),( (i ,j =1,2,…)

② 如何求边缘分布律：在联合分布律表格中分别求行和、列和

∙===∑i j ij i p p x X P ){，j i

ij j p p y Y P ∙===∑){

如何求条件分布律？（类似于求条件概率）

③ X ，Y 相互独立j i ij p p p ∙∙⋅=⇔ (i ,j =1,2,…)

（注：联合分布律与边缘分布律的关系；如何判断两个离散型r.v.相互独立？)

二、 二维连续型随机向量（X ，Y ）

① 求联合密度函数中的未知常数：

② 由联合密度函数求联合分布函数、边缘分布函数、边缘概率密度；

③ 由联合密度函数求二维连续型r.v.（X ，Y ）落在某个区域内的概率；

④ X ，Y 相互独立)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=⇔；

⑤ 二维均匀分布、二维正态分布

三、 两个离散型（连续型）随机变量的函数的分布

和(X+Y)，最大max(X,Y)，最小min(X,Y)的分布

Ch3

一、数字期望（均值）

①公式：离散型：∑∞==1)(k k k p x X E ，连续型：⎰+∞∞-=

dx x f x X E )()(

②随机变量的函数的期望公式；（注：)(2X E ）

③性质：如X ，Y 相互独立，则)()()(Y E X E XY E =（注：反之未必成立）

二、方差

①计算公式：22)()()(EX X E X D -=

②性质：如X ，Y 相互独立，则)()()(Y D X D Y X D +=±

（注：有时利用性质求期望和方差更简便）

三、几种常用的分布

①分布名称、分布律或密度函数、参数要求、期望、方差

②正态分布（性质、概率计算）

（注：自己总结归纳，包括数理统计中有关正态总体的结论）

四、协方差和相关系数（计算公式、性质）

22()()()2cov(,)D aX bY a D X b D Y ab X Y ±=+±

五、切比雪夫不等式

Ch4 大数定律的结论和用中心极限定理作近似计算