经典：第七章-伪投影与多圆锥投影

上图是正弦曲线等面积伪圆柱投影略图。由图可见，在该投
影中远离中央经线和纬度愈高之处变形愈大。故该投影最适宜于
沿赤道或沿中央经线伸展的地区。
16
等面积，即P=1，所有纬线无长度变形，即n=1，中 央经线保持等长，即m0=1。
由这些条件，推得投影公式(推导从略)如下：
17
2）极点投影成线的等面积伪圆柱投影—— 爱凯特投影(Eckert Projection)
2
一 伪投影的共同特点
1 纬线投影与原投影一致 2 经线投影均将过去的直经线改为对称于中
央直经线的曲线 3 均无等角性质的投影
3
二 伪圆锥投影
伪圆锥投影的定义是：纬线投影为一组同心 圆圆弧，经线为对称于中央直经线的曲线。 由此可见，纬线的投影仅是纬度φ的函数， 而经线的投影则是纬度φ和经度λ的函数。
x=f1(φ)
y=f2(φ，λ)
本投影中通常以中央经线为x轴，赤道为y轴。
11
变形公式为：
通常伪圆柱投影用于小比例尺制图，故可把地球视为正 球体。这时，上式中的M、N均可以用R代之。
12
等面积伪圆柱投影的一般公式
伪圆柱投影中以等面积投影较多，为此我们先推导出等 面积伪圆柱投影的一般公式，以便于探求具体的投影公式。
第七章 伪投影与多圆锥投影
1
学习指导 • 学习目标与要求
1．掌握伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的投影表象 2．了解伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的一般公式 3．掌握伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的特点 4．掌握多圆锥投影的几何构成及一般公式 5．掌握几种多圆锥投影的应用及变形特点 • 学习重点 1．掌握伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的投影表象 2．掌握伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的特点 3．了解掌握伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的应用 4．掌握几种多圆锥投影的应用及变形特点 • 学习难点 1．伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的投影的特点 2．多圆锥投影的几何构成
1）正弦曲线等面积伪圆柱投影——桑逊投影 (Sanson-Flamsteed Projection)
本投影纬线投影后为间隔相等且互相平行的直线，中央 经线为垂直于各纬线的直线，其他经线投影后为正弦曲 线，并对称于中央经线。 该投影有以下特性： – n=1， P=1，m0=1， – 纬线投影为间隔相等的平行直线 – 经线投影为对称于中央直经线的正弦曲线 – 适合沿中央经线和赤道延伸的区域的地图投影，高纬
7
彭纳投影是保持纬线长度不变的等面积伪圆锥投影，即n=1， P=1。有
积分后得
此处C为积分常数，如以中央经线作为0°起算，则λ=0时 δ=0，故
以n=1代入之得
积分后得 ρ=C—s
式中C为积分常数，s为赤道到纬线φ的经线弧长。
8
变形公式如下：
因中央经线与一切纬线正交，故其上θ′=90°，即ε=0，故按中央经线长9 度比m0=1，由此可知，彭纳投影中央经线无长度变形。
由上述桑逊投影可见，高纬度处角度变形甚大。为使 角度变形改善一些，有一种设想使各经线不是交于一点 而是终止于两条线上，称为极线。这就是本投影的特点，
变形线，对称于中央经线。
彭纳投影曾以用于法国地形图而著名。其后因
发现它由于不是等角投影而不适宜于军事方面使用，
故现很少用于地形图。现在一般用于小比例尺地图。
例如地图出版社出版的《世界地图集》中的亚洲政
区图，单幅的亚洲地图，英国《太晤士世界地图集》
中澳洲与西南太平洋图，均用此投影。在其他国家
出版的地图和地图集中，也常可看到用该投影编制
在等面积条件下P=1，故有：
移项积分后 式中C为积分常数，因中央经线为直线，λ由中央经线
起算，当λ=0时，y=0，故C=0，则
13
规定伪圆柱投影经线形状的一般公式
在研究伪圆柱投影时，通常可规定投影中经线的形状，为
此我们先导出实践中应用较多的经线为正弦曲线与椭圆曲线的
一般公式。
14
2 几种等面积伪圆柱投影
• 按变形性质来分析伪圆锥投影，因为伪圆 锥投影的经纬线不正交，故不可能有等角 投影，而只能有等面积和任意投影。在伪 圆锥投影的实际应用中，最常见的是彭纳 等面积伪圆锥投影。下面我们仅介绍这种 投影。
6
纬线长度保持不变的等面积伪圆锥投影—— 彭纳投影（Bonne Projection）
1）中央经线投影为直线，并保持长度无变形，即m0=1 2）纬线投影为同心圆 圆弧且保持长度无变形， 即n=1 3）中央经线与所有纬线 正交，而中间纬线 （切纬线）则与所有 经线正交 4）面积比P=1
由此可写出伪圆锥投影的一般公式：
4
• 式中q为圆心纵坐标，因为纬线为同心圆，所以q在一个投 影中是常数。
• 伪圆锥投影的变形公式，注意到q为常数，因此q′=0，可 得：
5
• 在伪圆锥投影中，除中央经线外，其余经 线均为曲线。如若经线成为交于纬线共同 圆心的直线束，则就成为圆锥投影。另一 方面，若纬线半径无穷大，则纬线变成一 组平行直线，这时所得到的是伪圆柱投影。 可见，不论圆锥投影或伪圆柱投影都可说 是伪圆锥投影的特例。
度地区变形大
15
6 0°
6 0°
3 0°
3 0°
0°
160° 140° 120° 100° 80° 60° 40° 20°
0°
20° 40° 60° 80° 100° 120° 140° 160°
0°
3 0°
3Hale Waihona Puke Baidu0°
6 0°
6 0°
图 04-24 正 弦 曲 线 经 线 等 面 积 伪 圆 柱 投 影 （ 桑 逊 投 影 ）
为了决定常数C，令指定的某一纬线φ0上没有变形，即与 所有经线正交，即ε=0，则有
即
ρ0=N0ctgφ0
由此得
C=N0ctgφ0+s0
通常取投影区域中部纬度作为φ0，其上n0=1并ε=0。
因为彭纳投影的中央经线λ0及指定的纬线φ0上没有变 形，所以它的等变形线在中心点λ0、φ0附近是“双曲线”。 彭纳投影的经纬线网如图所示。图中另一组曲线是角度等
的欧洲、亚洲、北美洲和南美洲以及个别地区的地
10
图。
三 伪圆柱投影
伪圆柱投影中纬线投影为平行直线，经线投
影为对称于中央直经线的曲线。伪圆柱投影可视 为伪圆锥投影的特例，当后者的纬圈半径为无穷 大时，即成为伪圆柱投影。根据经纬线形状可知， 伪圆柱投影中不可能有等角投影，而只能有等面 积和任意投影。
在伪圆柱投影，纬线的投影仅为纬度φ的函数， 而经线的投影是经、纬度的函数。故可写出。