电路邱关源第3章详解
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9
3.3 支路(branch)电流法
1. 概念
以支路电流为变量，根据基尔霍夫定律和VCR列 出电路方程，进而求解电路变量的方法。
2. 适用范围
原则上适用于各种复杂电路，但当支路数很多 时，方程数增加，计算量加大。因此，适用于支路 数较少的电路。
10
3. 应用步骤
（1）选定各支路电流的参考方向；
（2）根据KCL对（n-1）个独立结点列写电流方程。
2
线性电路的一般分析方法
(1) 普遍性：对任何线性电路都适用。 (2) 系统性：计算方法有规律可循。
方法的基础
（1）电路的连接关系—KCL、KVL定律。 （2）元件的电压、电流关系特性--VCR。
• 复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及
元件电压和电流关系列方程、解方程。 • 常用分析方法:根据所选变量的不同可分为支路电
I2 11
1
6A
I3 由于I2已知，故只列写两个方程
7 节点a：–I1+I3=6
避开电流源支路取回路：
b
7I1＋7I3=70
14
例3. 列写支路电流方程.(电路中含有受控源）
I1 7
+ 70V
–
a
I2
1
11
+
5U
_
2
解: 节点a：–I1–I2+I3=0
I3 回路1： 7I1–11I2=70-5U
+ 7
连通图：任意两个结点之间至少存在一条路 径的图G。
回路(loop)：闭合路径。
树：一个连通图G的树T包含G的全部结点和 部分支路，其本身是连通的，但不包含回路。
树支：树中包含的支路。
例如P54图3-4
7
任一个具有n个结点的连通图，它的任何 一个树的树支数为（n-1）。 连支：树中不包含的支路称为对应于该树的连 支。 基本回路（单连支回路）：图G的一个树加入 一个连支后形成的回路。
US2=6V
－Байду номын сангаас
对网孔Ⅰ：7I1+7I3=70
②
②
对网孔Ⅱ：11I2+7I3=6 ③
12
解① ② ③组成的方程组得：
I1=6A，I2=－2A， I3=4A
I2得负值，说明它的实际方向与参考方向相反。 求各元件上吸收的功率，进行功率平衡校验
R1上吸收的功率为：PR1=62×7=252W R2上吸收的功率为：PR2=(－2)2×11=44W R3上吸收的功率为：PR3=42×7=112W US1上发出的功率为：PS1=6×70=420W US2上吸收的功率为：PS2=2×6=12W 元件上吸收的总功率：P=252+44+112+12=420W 电路中吸收的功率等于发出的功率，计算结果正确
1
3 5 i1 i2 0 i2 i3 i4 0
i4 i5 0 i1 i3 i5 0
④
若把4个方程相加，等号两边
必然都为零，因为这4个方程
并非相互独立。
只有任意3个是独立的。
6
• 一个n结点和b条支路的电路，其独立的 KCL方程数为（n-1）。
二、KVL方程的独立方程数 1、几个概念：
13
例2.
I1 7
+ 70V
–
解2.
I1 7
+ 70V
–
列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）
a
I2
1
11 +
6A
U
_
2
b
解1. I3
7
(1) n–1=1个KCL方程：
节点a：–I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
7I1–11I2=70-U 11I2+7I3= U
a
增补方程：I2=6A
回路2： 11I2+7I3= 5U
U
_
增补方程：U=7I3
b
有受控源的电路，方程列写分两步：
(1) 先将受控源看作独立源列方程；
(2) 将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程， 消去中间变量。
例4（P24例1-4）. i1–i2+5i1=0 R1i1+R2i2= us
15
思考 回答
1. 说说对独立回路的看法，应用支路电流法 求解电路时，根据什么原则选取独立结点和 独立回路？
第3章 电阻电路的一般分析
3.1 电路的图
*3.2 KCL和 KVL的独 立方程数
3.3 支路电 流法
3.4 网孔电流法
3.6 结点电 压法
*3.5 回路电 流法
1
学习目的及要求
1、理解电路的图的概念； 2、熟练掌握支路电流法，它是直接应用 基尔霍夫定律求解电路的最基本方法； 3、理解网孔电流及结点电压的概念，掌 握网孔电流法和结点电压法的正确运用。
（3）选取b-(n-1)个独立回路，指定回路绕行方向， 按下式列出KVL方程。
Rkik usk
上式中，Rkik为回路中第k条支路的电阻上的电压， 和式遍及回路中的所有支路，且当ik参考方向与回路 方向一致时，前面取“+”号；不一致时，取“－” 号。usk 为第k支路的电源电压，包括电压源电压和等 效电压源电压，且当usk 与回路方向相反时，前面取 “+”号；反之，前面取“－”号。
11
（4）联立求解方程，求出b个支路 电流及其他变量。
4. 应用举例
例1
用支路电流法求解下图所求电路中各支路 电流，用功率平衡校验求解结果。
①
图示电路结点n=2，支路b=3
I1
R1=7Ω ＋Ⅰ
US1=70V
－
I3
I2
选取结点①列写KCL方程式：
R2=11Ω
I1+I2－I3=0 ①
R3=7ΩⅡ ＋ 选取两个网孔列写KVL方程：
流法、网孔电流法、回路电流法和结点电压法。
3
3.1 电路的图（Graph）
• 电路实体对应的电路图— circuit diagram(或称schematic diagram)
• 图论—电路的图（Graph,简称G） • 电路的图G：把电路中的每一条支路画成抽
象的线段（直线或曲线）形成的一个结点和 支路的集合。 • 元件的串联组合可以作为一条支路，但并联 组合一般不能作为一条支路看待。
4
1 • 电路的图G分两类： 2 有向图1 （与支路电2 流或电压的2 参考方向相3 同） 无向图
i6 R6
i2 R2
i1
R1
+
us1
-
R4 i4
i5 i3
R3
R5 i s5
无向图
有向图
5
*3.2 KCL和KVL的独立方程数
① 2 ② 4 ③ 一、KCL方程的独立方程数
对4个结点可列出4个KCL方程。
例如P57图3-5
每一个基本回路仅含有一个连支，且这一连 支并不出现在其他基本回路中。
全部基本回路是一组独立回路。
8
对于一个n结点和b条支路的连通图，其独 立回路数为〔 b-（n-1)〕。
网孔：回路内不再包含有其他的支路。
（网孔数与独立回路数相等）
2、一个n结点、b条支路的电路，其独 立的KVL方程数为其基本回路数，即： 〔 b-（n-1)〕。
3.3 支路(branch)电流法
1. 概念
以支路电流为变量，根据基尔霍夫定律和VCR列 出电路方程，进而求解电路变量的方法。
2. 适用范围
原则上适用于各种复杂电路，但当支路数很多 时，方程数增加，计算量加大。因此，适用于支路 数较少的电路。
10
3. 应用步骤
（1）选定各支路电流的参考方向；
（2）根据KCL对（n-1）个独立结点列写电流方程。
2
线性电路的一般分析方法
(1) 普遍性：对任何线性电路都适用。 (2) 系统性：计算方法有规律可循。
方法的基础
（1）电路的连接关系—KCL、KVL定律。 （2）元件的电压、电流关系特性--VCR。
• 复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及
元件电压和电流关系列方程、解方程。 • 常用分析方法:根据所选变量的不同可分为支路电
I2 11
1
6A
I3 由于I2已知，故只列写两个方程
7 节点a：–I1+I3=6
避开电流源支路取回路：
b
7I1＋7I3=70
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例3. 列写支路电流方程.(电路中含有受控源）
I1 7
+ 70V
–
a
I2
1
11
+
5U
_
2
解: 节点a：–I1–I2+I3=0
I3 回路1： 7I1–11I2=70-5U
+ 7
连通图：任意两个结点之间至少存在一条路 径的图G。
回路(loop)：闭合路径。
树：一个连通图G的树T包含G的全部结点和 部分支路，其本身是连通的，但不包含回路。
树支：树中包含的支路。
例如P54图3-4
7
任一个具有n个结点的连通图，它的任何 一个树的树支数为（n-1）。 连支：树中不包含的支路称为对应于该树的连 支。 基本回路（单连支回路）：图G的一个树加入 一个连支后形成的回路。
US2=6V
－Байду номын сангаас
对网孔Ⅰ：7I1+7I3=70
②
②
对网孔Ⅱ：11I2+7I3=6 ③
12
解① ② ③组成的方程组得：
I1=6A，I2=－2A， I3=4A
I2得负值，说明它的实际方向与参考方向相反。 求各元件上吸收的功率，进行功率平衡校验
R1上吸收的功率为：PR1=62×7=252W R2上吸收的功率为：PR2=(－2)2×11=44W R3上吸收的功率为：PR3=42×7=112W US1上发出的功率为：PS1=6×70=420W US2上吸收的功率为：PS2=2×6=12W 元件上吸收的总功率：P=252+44+112+12=420W 电路中吸收的功率等于发出的功率，计算结果正确
1
3 5 i1 i2 0 i2 i3 i4 0
i4 i5 0 i1 i3 i5 0
④
若把4个方程相加，等号两边
必然都为零，因为这4个方程
并非相互独立。
只有任意3个是独立的。
6
• 一个n结点和b条支路的电路，其独立的 KCL方程数为（n-1）。
二、KVL方程的独立方程数 1、几个概念：
13
例2.
I1 7
+ 70V
–
解2.
I1 7
+ 70V
–
列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）
a
I2
1
11 +
6A
U
_
2
b
解1. I3
7
(1) n–1=1个KCL方程：
节点a：–I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
7I1–11I2=70-U 11I2+7I3= U
a
增补方程：I2=6A
回路2： 11I2+7I3= 5U
U
_
增补方程：U=7I3
b
有受控源的电路，方程列写分两步：
(1) 先将受控源看作独立源列方程；
(2) 将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程， 消去中间变量。
例4（P24例1-4）. i1–i2+5i1=0 R1i1+R2i2= us
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思考 回答
1. 说说对独立回路的看法，应用支路电流法 求解电路时，根据什么原则选取独立结点和 独立回路？
第3章 电阻电路的一般分析
3.1 电路的图
*3.2 KCL和 KVL的独 立方程数
3.3 支路电 流法
3.4 网孔电流法
3.6 结点电 压法
*3.5 回路电 流法
1
学习目的及要求
1、理解电路的图的概念； 2、熟练掌握支路电流法，它是直接应用 基尔霍夫定律求解电路的最基本方法； 3、理解网孔电流及结点电压的概念，掌 握网孔电流法和结点电压法的正确运用。
（3）选取b-(n-1)个独立回路，指定回路绕行方向， 按下式列出KVL方程。
Rkik usk
上式中，Rkik为回路中第k条支路的电阻上的电压， 和式遍及回路中的所有支路，且当ik参考方向与回路 方向一致时，前面取“+”号；不一致时，取“－” 号。usk 为第k支路的电源电压，包括电压源电压和等 效电压源电压，且当usk 与回路方向相反时，前面取 “+”号；反之，前面取“－”号。
11
（4）联立求解方程，求出b个支路 电流及其他变量。
4. 应用举例
例1
用支路电流法求解下图所求电路中各支路 电流，用功率平衡校验求解结果。
①
图示电路结点n=2，支路b=3
I1
R1=7Ω ＋Ⅰ
US1=70V
－
I3
I2
选取结点①列写KCL方程式：
R2=11Ω
I1+I2－I3=0 ①
R3=7ΩⅡ ＋ 选取两个网孔列写KVL方程：
流法、网孔电流法、回路电流法和结点电压法。
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3.1 电路的图（Graph）
• 电路实体对应的电路图— circuit diagram(或称schematic diagram)
• 图论—电路的图（Graph,简称G） • 电路的图G：把电路中的每一条支路画成抽
象的线段（直线或曲线）形成的一个结点和 支路的集合。 • 元件的串联组合可以作为一条支路，但并联 组合一般不能作为一条支路看待。
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1 • 电路的图G分两类： 2 有向图1 （与支路电2 流或电压的2 参考方向相3 同） 无向图
i6 R6
i2 R2
i1
R1
+
us1
-
R4 i4
i5 i3
R3
R5 i s5
无向图
有向图
5
*3.2 KCL和KVL的独立方程数
① 2 ② 4 ③ 一、KCL方程的独立方程数
对4个结点可列出4个KCL方程。
例如P57图3-5
每一个基本回路仅含有一个连支，且这一连 支并不出现在其他基本回路中。
全部基本回路是一组独立回路。
8
对于一个n结点和b条支路的连通图，其独 立回路数为〔 b-（n-1)〕。
网孔：回路内不再包含有其他的支路。
（网孔数与独立回路数相等）
2、一个n结点、b条支路的电路，其独 立的KVL方程数为其基本回路数，即： 〔 b-（n-1)〕。