狭义相对论的动力学基础3

粒子） 试验测得两个氦原子核 （ α 粒子）的总动能 17 .3 MeV ， 这个总动能就是核反应 后两 α 粒子所具有的动能之和 ∆ E k 由质能方程得：两 α 粒子的质量就应比其静 质量增加了 ∆ m 由质能方程得： ∆E k , 且 ∆ m = 2 = 3 .08 × 10 − 29 kg = 0 .01855 u（其中 u = 1 .66 × 10 − 27 kg ） c 这正是反应前后的质量 之差。 之差。
1 − 2
v2 γ = 1− 2 c
1 v2 3 v4 ≈1+ + +L 2 4 2c 8c
5、 E = E k + E 0 、
∆E = ∆m⋅ c = ∆Ek
2
量纲和性质不同的两种物 （1）质量和能量是量纲和性质不同的两种物 ）质量和能量是量纲和性质不同 理量。但质能方程把两者联系起来。 理量。但质能方程把两者联系起来。 （2）能量的改变与质量的改变同时发生，并 改变同时发生， ）能量的改变与质量的改变同时发生 且这两种改变在数量上永远成正比。 且这两种改变在数量上永远成正比。 分别守恒， （3）质量和能量分别守恒，并且质量守恒和 ）质量和能量分别守恒 能量守恒必同时成立 这是质能关系的推论。 必同时成立—这是质能关系的推论 能量守恒必同时成立 这是质能关系的推论。
加速的质子的动能一般远远小于 质子的静能(10 质子的静能(109eV=10-10J)
数量级举例说明 1、一克煤的内能约为 1014 J 、 其燃烧后放出的能量约为 104 J
∆m ≈ 10
– 10
克（百亿分之一） 百亿分之一）
2、一个电子的静能约为 、
10 ev ≈ 10
6
−13
JHale Waihona Puke 当电子动能<< 当电子动能 1Mev 时，为非相对论效应 3、一个质子的静能约为 10 9 ev ≈ 10 −10 J 、 当质子动能<< 1Gev 时，为非相对论效应 当质子动能
四、动量和能量的关系
Q E = mc =
2
m0 c
2 2
p = mv =
m0 v 1− v
2
v 1− 2 c
2
c
2
E 0 = m0 c
2 2 0
E =E +pc
2 2
相对论性动量和 能量关系式
关系可用右图表示： 关系可用右图表示： 当 E >> E0 时：
E
pc
E0
E ≈ pc
E hν h p= = = c c λ
的动能为： 形成一个氦核时所放出 的动能为： ∆E = ∆Mc = [( 2 M P + 2 M n ) − M A ]c
2 2
= 0.03038 × 1.660 × 10 − 27 × ( 3 × 108 ) 2 J = 0.4539 × 10 −11 J
的粒子，以大小相同、 例2 设有两个静止质量都是 m 0 的粒子，以大小相同、 方向相反的速度相撞，反应合成一个复合粒子。 方向相反的速度相撞，反应合成一个复合粒子。试求 这个复合粒子的静止质量和运动速度。 这个复合粒子的静止质量和运动速度。 例3 一束具有能量为
——还原为经典力学理论 还原为经典力学理论 另外一种情况下，也可有 另外一种情况下，
r r F = ma
r r (F ⊥ V )
三、质量和能量的关系
一质点在变力作用下由静止沿 r 时动能 Ek 为 当速度为 v
= 利用d ( pv） vdp + pdv和p = m0 v 1− v
2
x
轴作一维运动， 轴作一维运动，
i ( vi )
二、相对论力学的基本方程
1、牛顿定律： 牛顿定律：
r 当有外力 F 作用于质点时 r r mv r dp d r d 0 F= = (m v ) = 1 dt dt dt (1 − β 2 ) 2 r r 时 r d (m0v ) v << c dv r F= = m0 = m0 a dt dt
得： c2
v dp Ek = ∫ Fx dx = ∫ dx = ∫ vdp = pv − ∫ pdv 0 dt v m0 v 2 m0 v m0 v 2 2 v2 2 − m c2 dv = = −∫ + m0 c 1 − 0 2 2 2 c 1− v 2 0 1− v 2 1− v 2 c c c
用高速质子轰击锂核可 以得到如下的聚变核反 应
7 3 1 4 Li + 1 H →2 2 He
若用m0 ( Li )、m0 ( H )、m0 ( He )分别表示 Li 、H及He 核的静止质量， 核的静止质量，由于 m0 ( Li ) = 7.016005u m0 ( H ) = 1.007825u m0 ( He ) = 4.002603u 显然 m0 ( Li ) + m0 ( H ) > 2m0 ( He ) 是否表示体系质量不守 恒，有一部分质量纯粹 消失了呢？ 消失了呢？
hν ν c
hν 0 hν 0 、动量为 ν c
的光子流， 的光子流，与一
个静止的电子作弹性碰撞， 个静止的电子作弹性碰撞，散射光子的能量成为 hν ， 动量成为 满足下式： 。试证光子的散射角 ϕ 满足下式：
c c h (1 − cos ϕ) − = ν ν 0 m 0c
此处m 是电子的静止质量， 是普朗克常量 此处 0是电子的静止质量，h是普朗克常量
（1） ） （2）v ）
≈ v << c m≈ m0 → c , β → 1, γ → ∞ , m → ∞
光速是物体速度的极限
在加速器中被加 速的质子， 速的质子，其速度
v = 2.7 × 10 8 m / s
其质量已达m=2.3m0 其质量已达 高能质子和电子 加速器的m(v)/m0 加速器的 已达200 已达 质量的相对性 1901年W.Kaufmann 证明了高速粒子的荷质（q/m) 年 证明了高速粒子的荷质（ 比随速率增大而减小。 比随速率增大而减小。 1908年，德国物理学家布雪勒（A.H.Bucherer)从试 年 德国物理学家布雪勒（ 从试 验中得到的质量与速度的关系与理论值符合得非常好。 验中得到的质量与速度的关系与理论值符合得非常好。
基本关系：
质量 动量 牛顿方程 动能 静能 总能
质能关系
能量动量关系
五、实物粒子和非实物粒子 1、实物粒子以光速运动是不可能的 、 2、只有静止质量为零的非实物粒子——光子以光速运动 、只有静止质量为零的非实物粒子 光子以光速运动 光子 才有可能。 才有可能。
E0 = 0, E = EK = pc
（2）遵循伽利略变换 ）
2、狭义相对论中的质量和动量 、
前提： 、 前提：1、遵从洛伦兹变换 2、v<< c,还原为经典物理 、 还原为经典物理
相对论质量
运动质量增大,v是 运动质量增大 是 物体的速度
m= m0 1− v
( c)
2
= γm 0
相对论性质量
m0 是质点相对某惯性系静止时的质量，称为静质量 是质点相对某惯性系静止时的质量，
相对论动量
r r p = mv
r p=
r m0 v r = γm 0 v 1 − ( v )2 c
相对论性动量表达式
3、 相对论中， 3、 相对论中，质量守恒定律和动量守恒定律 在洛仑兹变换下不变， 在洛仑兹变换下不变，应具有如下形式
∑m ∑m
= ∑ mi ( vi 0 ) r r i ( vi )v i = ∑ mi ( vi 0 )v i 0
即为： 即为： Ek = mc 2 − m0c 2
mc = Ek + m 0c
2
2
—相对论质能关系式 相对论质能关系式
1、静止能量 E0 = m0c2 2、总能量 3、动能
E = mc2 = γ m0c2 = γ E0 EK =mc2(γ −1) 0
4、在非相对论近似下
E
K
v << c
2
mv = E 0 (γ − 1 ) ≈ 2
18－6 狭义相对论动力学基础
一、相对论中的质量和动 量 1、牛顿力学 经典力学） 经典力学） 、牛顿力学(经典力学 质点的动量
r r p = mv
r r r p = ∑ pi = ∑ mi vi 质点系的动量 i i r r 质点系的动量守恒 ∑ m i v i = ∑ m i v i 0
（1）质量是恒量 ）
E 2 p = E / c = hν / c = h / λ m = 2 = hν / c c 反映了光的波动性、粒子性
原子核的结合能。 例1 原子核的结合能。已知质子和中子的质量分别 为：
M p = 1.00728u M n = 1.00866u
两个质子和两个中子组成一个氦核 4 He, 实验室测 2 得它的质量为 M A = 4.00150u, 试计算形成一个氦核时 放出的能量。（ 放出的能量。（ 1u = 1.660 × 10 −27 kg ）