中考数学 第一轮 系统复习 夯实基础 第二章 方程与不等式 第7讲 分式方程

1．(2016·湖州)方程2xx－－31＝1 的根是 x＝_－__2_． 【解析】两边都乘以 x－3，得 2x－1＝x－3，解得 x＝－2， 检验：当 x＝－2 时，x－3＝－5≠0，故方程的解为 x＝－2.
2．(2016·凉山)关于 x 的方程3xx＋－12＝2＋x＋m 1无解，则 m 的值为( A )
5．(2017·预测)若关于 x 的分式方程2xx－－2a＝12的解为非负数，则 a 的取值
范围是( C )
A．a≥1
B．a＞1
C．a≥1 且 a≠4 D．a＞1 且 a≠4
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据 解为非负数及分式方程分母不为 0 求出 a 的范围即可．
去分母得 2(2x－a)＝x－2，解得 x＝2a3－2， 由题意得2a3－2≥0 且2a3－2≠2，解得 a≥1 且 a≠4，故选 C.
(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数． (2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引 进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产 零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提 前两天完成24 000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
则方程 x
(－2)＝x－2 4－1 的解是( B )
A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7
【解析】依题意，得 x
(－2)＝x－1 4，
所以原方程可化为x－1 4＝x－2 4－1，即x－1 4＝1，解得 x＝5，故选 B.
4．(2015·湖州)某工厂计划在规定时间内生产24 000个零件，若每天比原计划 多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．
解：(1)设乙队单独施工，需要 x 天才能完成该项工程， ∵甲队单独施工 30 天完成该项工程的13，∴甲队单独施工 90 天完成该
项工程，根据题意可得13＋15(910＋1x)＝1，解得 x＝30，检验得，x＝30 是原 方程的根，
则乙队单独施工，需要 30 天才能完成该项工程 (2)设乙队参与施工 y 天才能完成该项工程，根据题意可得910×36＋
∴当 m＝3 时，原方程有增根 x＝1
10．若关于 x 的方程xx－－15＝10－m 2x无解，求 m 的值．
解：分式方程去分母，得2(x－1)＝－m，将x＝5代入，得m＝－8
利用增根求分式方程中字母的值： (1)先从分母为0确定增根的可能值； (2)去分母将原分式方程化成整式方程； (3)增根代入变形后的整式方程，求出字母的wk.baidu.com．
y×310≥1，解得 y≥18， 则乙队至少施工 18 天才能完成该项工程
列分式方程解决实际问题的关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方 程问题．求得结果后需要检验，一是检验求得的根是否是原分式方程的根；二是 根据具体问题的实际意义，检验其合理性．
2．解分式方程要验根，其方法是根据代入最简公分母中看分母是不是 为________．
3．解分式方程的基本解法： (1)去分母，把分式方程转化为________方程． (2)解这个整式方程，求得方程的根． (3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果 最简公分母为 0， 则它不是原方程的根，而是方程的________，必须舍去；如果使最简公分母 不为 0，则它是原分式方程的根． 答案：1.未知数 2.0 3.整式；增根
解：设原计划每小时种植 x 棵树，依题意得6x00＝12600%0 x＋2， 解得 x＝50.经检验 x＝50 是所列方程的根，并符合题意． 则原计划每小时种植 50 棵树
12．(原创题)早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘 在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校 ．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10 分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．
解：(1)设原计划每天生产零件 x 个，由题意得24 x000＝24 0x0＋0＋30300， 解得 x＝2 400，经检验，x＝2 400 是原方程的根，且符合题意， ∴规定的天数为 24 000÷2 400＝10(天)， 则原计划每天生产零件 2 400 个，规定的天数是 10 天
(2)设原计划安排的工人人数为 y 人， 由题意得，[5×20×(1＋20%)×2 4y00＋2 400]×(10－2)＝24 000， 解得 y＝480.经检验，y＝480 是原方程的根，且符合题意， 则原计划安排的工人人数为 480 人
4．(2016·台州)解方程：x－x 7－7－1 x＝2.
解：去分母得x＋1＝2x－14，解得x＝15， 经检验x＝15是分式方程的解
解分式方程的关键有两点： 一是把分式方程“转化”为整式方程，注意将最简公分母乘以每一个式子，不 要“漏乘”． 二是验根，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可，若使最简公分母为0 ，则该解是原方程的增根．
(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？ (2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过 36 天，则乙队至少施工多少天 才能完成该项工程？
【解析】(1)利用甲队单独施工 30 天完成该项工程的13，这时乙队加入， 两队还需同时施工 15 天，进而利用总工作量为 1 得出等式求出答案；
(2)利用甲队参与该项工程施工的时间不超过 36 天，得出不等式求出答案．
解：(1)设小明步行的速度是 x 米/分，由题意得90x0＝930x0＋10，解得 x＝ 60，经检验，x＝60 是原分式方程的解，则小明步行的速度是 60 米/分
(2)小明家与图书馆之间的路程最多是 y 米，根据题意可得6y0≤910800×2， 解得 y≤600，则小明家与图书馆之间的路程最多是 600 米
2．(2017·预测)解方程：x－1 2－3＝x2－－1x.
【解析】分式方程同乘(x－2)去分母转化为整式方程．
解：方程两边同乘x－2，1－3(x－2)＝－(x－1)， 即1－3x＋6＝－x＋1，则－2x＝－6，得x＝3. 检验，当x＝3时，x－2≠0，所以原方程的解为x＝3
1．分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有________的 方程叫做分式方程．
数学
第7讲 分式方程
1．理解分式方程的概念． 2．会解可化为一元一次方程的分式方程，知道解分式方程的基本思想是把分式 方程化为整式方程． 3．了解解分式方程产生增根的原因． 4．会列分式方程解决实际问题．
中考中多以选择题、填空题、解答题的形式考查以下几点： 1．直接考查分式方程的概念，以及解可化为一元一次方程的分式方程． 2．找分式方程中各分式的最简公分母，将分式方程化成整式方程． 3．主要的思想方法： 化归思想、转化思想．
解：设乙每小时做 x 面彩旗，则甲每小时做(x＋5)面彩旗． 根据题意，得x6＋05＝5x0，解得 x＝25.经检验，x＝25 是所列方程的解， ∴x＋5＝30，则甲每小时做 30 面彩旗，乙每小时做 25 面彩旗
14．(原创题)在某段高速铁路的建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项
工程建设，甲队单独施工 30 天完成该项工程的13，这时乙队加入，两队还需 同时施工 15 天，才能完成该项工程．
(1)求小明步行速度(单位：米/分)是多少； (2)下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车 和步行的 速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍 ，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 【解析】(1)根据等量关系：小明步行回家的时间＝骑车返回时间＋10分钟，列 分式方程求解即可；(2)根据(1)中计算的速度列出不等式解答即可．
11．(2017·预测)某学校为绿化环境，计划种植 600 棵树，实际劳动中每 小时植树的数量比原计划多 20%，结果提前 2 小时完成任务，求原计划每小 时种植多少棵树？
【解析】设原计划每小时种植 x 棵树，则实际劳动中每小时植树的数量 是 120%x 棵，根据“结果提前 2 小时完成任务”列出方程并求解．
9．分式方程x－x 1－1＝（x－1）m（x＋2）有增根，求 m 的值．
解：增根可能是 x＝1 或 x＝－2，去分母得 x(x＋2)－(x－1)·(x＋2)＝m， 当 x＝1 时，得 m＝3，当 x＝－2 时，得 m＝0，此时方程变为x－x 1－1＝0， 即 x＝x－1，此时方程无解，故 m＝0 舍去，
3．分式方程x－4 3－1x＝0 的根是 x＝－1 ．
【解析】把分式方程乘以最简公分母 x(x－3)转化成整式方程， 求出整式方程的解，再代入 x(x－3)进行检验即可． 方程两边都乘 x(x－3)得 4x－(x－3)＝0，解得 x＝－1， 经检验，x＝－1 是原分式方程的解，故答案为：x＝－1.
列分式方程解应用题关键在于用分式表示一些基本数量关系，其步骤跟解其他应 用题不一样的是要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验 是否符合题意．
13．甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙 多做 5 面彩旗，甲做 60 面彩旗与乙做 50 面彩旗所用时间相等，问甲、乙每 小时各做多少面彩旗？
6．关于 x 的分式方程x2m－4－x＋1 2＝0 无解，则 m＝ 0或－4 .
7．若解分式方程mxx－＋11＝1 时产生增根，求 m 的值． 解析：第 5 题分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出 x，根据方程的解为非负数求出 a 的范围即可，同时需要考虑解不为 2；第 6 题 先两边同乘以 x2－4，解出方程，若方程无解，说明该方程的增根为 2 或－2， 转化为关于 m 的方程求解；第 7 题使分母为 0 的未知数的值即为增根 x＝1.
A．－5
B．－8
C．－2
D．5
【解析】去分母得 3x－2＝2x＋2＋m，由分式方程无解，得到 x＋1＝0，
即 x＝－1，代入整式方程得－5＝－2＋2＋m，解得 m＝－5，故选 A.
3．(2016·梅州)对于实数 a，b，定义一种新运算“ ”为：
A
b＝a－1b2，这里等式右边是实数运算．例如：1 3＝1－132＝－18，
解：mxx－＋11＝1 有增根 x＝1，∴mx＋1＝x－1.当 x＝1 时，m ＝－1
增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中 的分母为________．
答案：0
8．当 m＝_－__6_时，关于 x 的分式方程2xx－＋3m＝－1 无解.
【解析】2xx－＋3m＝－1 无解(注：分式有意义的条件为 x－3≠0 即 x≠3). 3x＝3－m，即 x＝3－3 m，原方程无解， 即此时存在 x＝3－3 m＝3，m＝－6.
1．(2017·预测)方程2xx－＋11＝3 的解是( D )
A．－45
B.45
C．－4
D．4
【解析】分式方程同乘(x－1)去分母转化为整式方程，求出整式方程的解 得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
去分母得 2x＋1＝3x－3，解得 x＝4，经检验 x＝4 是分式方程的解， 故选 D.