基于旋量理论的机器人建模方法介绍
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4
基本概念
2. 刚体运动
刚体运动定义：
如图，A 表示固定的全局坐标系，B 表示与刚
体固定的物体坐标系，则刚体的位姿矩阵 g
可由刚体的位置矢量 p 和姿态矩阵 R 共同表
示，即：
g
R
0
p 1
44
注意：g 既能表示刚体的位姿状态，又能表示 刚体位姿由一个坐标系到另一个坐标系的坐 标变换关系。
位姿矩阵 g 具有如下性质：
2. 为什么要学习旋量理论？
机器人学研究的有两种主要工具：D-H参数法和旋量理论。相对于D-H参数法，基 于旋量理论的方法有两大优点：
1. 整体描述刚体运动 无需在每个关节处都建立坐标系，只需建立全局坐标系与工具坐标系；旋量坐标模 型蕴含各个刚体的空间绝对几何信息，从而可直接得到系统整体的模型。
2. 几何描述直观 旋量可直观描述刚体运动的几何特点，从而简化分析过程。
描述机器人的运动就是要描述由关节的运动
而带来的刚体(也就是连杆)之间的位置变化。
在如图所示的二自由度机器人，有四个连杆
L0, L1, L2及L3，两个关节1和2，其中0号
坐标系称为基坐标系，3号坐标系称为工具
坐标系。两关节转角分别为 1 和 2 ，关节
运动旋量坐标为 ξ1 和 ξ2 ，则工具坐标系相
可描述为矩阵指数的形式：
R的求解方式二： R eωˆ 33
其中，ωˆ 33是 ω 对应的反对称变换矩阵。
将所有的3X3反对称矩阵的矢量空间定义为so(3)。
即：
0
ωˆ
3
3 2
0
1
so
3
33
2 1 0
2) so(3)和SO(3)的关系？
指数映射 关系！
ωˆ so 3
33
R eωˆ SO 3
1. 计算机器人末端初始位姿 gst (0) ，
Rst (0) xst (0); yst (0); zst (0)
pst
(0)
xst
(0);
yst
(0);
zst
(0)
g st
(0)
Rst (0)
0
pst (0)
1
2. 计算关节对应的运动旋量坐标 ξˆi ，
ξi
i
i
qi
3. 代入POE公式：
基于旋量理论的机器人建模方法介绍
机器人运动学、动力学及其控制，本质上就是基 于对单刚体或者多刚体系统的运动问题研究!
1
旋量理论
1. 什么是旋量理论 (screw theory)？
旋量运动：刚体系统从一个位姿到另一个位姿的运动都可以用绕某直线的转动和沿 该直线的移动复合表示，通常称这种复合运动为旋量运动（screw motion）。
g eξˆ SE 3
其中，ξˆ 是 ξ 的运算关系为∧ (wedge) ，即： v ωˆ v
ω
0
0
ξ
ξˆ
所有 ξˆ 构成的空间定义为se(3)。即： ξˆ se系？
指数映射 关系！
ξˆ se3
33
g eξˆ SE 3
6
运动学分析准备工作——运动旋量坐标
gst (θ) e e ξˆ11 ξˆ22 eξˆnn gst (0)
9
正向运动学
SCARA机器人算例：
SCARA机器人共4个DOF，由三个转动关节和一个移动关节组成，如图为初始位姿 下的机器人状态，建立工具坐标系 T 和基坐标系 S ： 1. 计算SCARA机器人初始位姿 gst (0) ：
g st
2
基本概念
1. 旋转运动 旋转运动的定义： 如图，A 表示固定的全局坐标系，B 表示与刚体固 定的物体坐标系，则刚体的姿态可描述成一个如下 形式的旋转矩阵：
R的求解方式一： R xab ; yab ; zab 33
其中 xab , yab , zab 3 为物体坐标系主轴方向向量。
旋转矩阵 R 具有如下性质：
g SE 3 p, R p 31, R SO 3
SE(3)被称之为刚体变换群。
5
基本概念
刚体运动的矩阵指数表示法
1）Chasles 定理: 刚体运动的指数矩阵表示法 任意刚体运动都可用绕某一轴的转动加上平行于该轴的移动来实现。假设运动旋量
坐标为 ξ v;ω 61，运动量为 ，则刚体运动变换矩阵可表示为：
如何确定运动旋量坐标是完成基于POE公式的机器人建模 的关键一步！！
ξ
1) 转动关节： 其中q为转轴上任意一点的坐标，则 转动关节对应的运动旋量坐标：
v
ω
q,
ξ
v ω
61
2) 移动关节： 移动关节的运动旋量中 w 对应分量 为0，即移动关节旋量坐标为：
ω
0,
ξ
v 0
61
转动关节
移动关节
，ξ
v ω
对于基坐标系的正向运动学关系可表示为：
ξi
i qi
i
q1
g03 (1,2 ) eξˆ12 eξˆ22 g03 (0)
2
q2
其中的刚体变换矩阵 eξˆii 可看做关节运动对末端位姿的影响尺度。
8
正向运动学
串联开链机器人的正向运动学公式
对于n个转动/移动关节的串联机器人来说，设 base0 为基坐标系，Tool n+1 为工具 坐标系，则应用POE公式计算机器人的正向运动学模型仅需三步完成：
R SO 3 R RT R I, det R 1
SO(3)是包含旋转矩阵 R 的一种特殊正交群，我们 称之为三维旋转群。
3
基本概念
旋转运动的矩阵指数表示法
1）欧拉定理（欧拉角表示法同样可以描述 R）：
ω
任意的三维空间旋转运动都可以表示为绕某一单位
轴 3 的转动，设转动角度为 ，则旋转矩阵
(0)
I
3
X
3
0
0
l1
l2
l0
1
2. 计算关节对应的运动旋量坐标ξˆi ：
0 0
1
2 0
3ξi 010,i4iqi000
0
q1
• 运动旋量（twist）： 旋量运动的无穷小量即为运动旋量。 • 力旋量（wrench）： 作用在刚体上的任何力系都可以合成一个沿某直线的合力和绕该直线的合力矩。 ——有关运动旋量的规律同样适用于力旋量！ • *互易旋量（reciprocal screw）： 若力旋量F和运动旋量V具有互易关系，则 F V=0。
61 g eξˆ SE 3
7
正向运动学
正向运动学定义
大多数机器人都是由一组通过运动副（关节）联接而成的刚性连杆构成。由关节空 间运动量到末端任务空间的转化就是机器人的正向运动学建模过程，即在给定组成 运动副的相邻连杆的相对位置的情况下，确定机器人的末端位姿。
运动链描述：指数积公式(POE)
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基本概念
2. 刚体运动
刚体运动定义：
如图，A 表示固定的全局坐标系，B 表示与刚
体固定的物体坐标系，则刚体的位姿矩阵 g
可由刚体的位置矢量 p 和姿态矩阵 R 共同表
示，即：
g
R
0
p 1
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注意：g 既能表示刚体的位姿状态，又能表示 刚体位姿由一个坐标系到另一个坐标系的坐 标变换关系。
位姿矩阵 g 具有如下性质：
2. 为什么要学习旋量理论？
机器人学研究的有两种主要工具：D-H参数法和旋量理论。相对于D-H参数法，基 于旋量理论的方法有两大优点：
1. 整体描述刚体运动 无需在每个关节处都建立坐标系，只需建立全局坐标系与工具坐标系；旋量坐标模 型蕴含各个刚体的空间绝对几何信息，从而可直接得到系统整体的模型。
2. 几何描述直观 旋量可直观描述刚体运动的几何特点，从而简化分析过程。
描述机器人的运动就是要描述由关节的运动
而带来的刚体(也就是连杆)之间的位置变化。
在如图所示的二自由度机器人，有四个连杆
L0, L1, L2及L3，两个关节1和2，其中0号
坐标系称为基坐标系，3号坐标系称为工具
坐标系。两关节转角分别为 1 和 2 ，关节
运动旋量坐标为 ξ1 和 ξ2 ，则工具坐标系相
可描述为矩阵指数的形式：
R的求解方式二： R eωˆ 33
其中，ωˆ 33是 ω 对应的反对称变换矩阵。
将所有的3X3反对称矩阵的矢量空间定义为so(3)。
即：
0
ωˆ
3
3 2
0
1
so
3
33
2 1 0
2) so(3)和SO(3)的关系？
指数映射 关系！
ωˆ so 3
33
R eωˆ SO 3
1. 计算机器人末端初始位姿 gst (0) ，
Rst (0) xst (0); yst (0); zst (0)
pst
(0)
xst
(0);
yst
(0);
zst
(0)
g st
(0)
Rst (0)
0
pst (0)
1
2. 计算关节对应的运动旋量坐标 ξˆi ，
ξi
i
i
qi
3. 代入POE公式：
基于旋量理论的机器人建模方法介绍
机器人运动学、动力学及其控制，本质上就是基 于对单刚体或者多刚体系统的运动问题研究!
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旋量理论
1. 什么是旋量理论 (screw theory)？
旋量运动：刚体系统从一个位姿到另一个位姿的运动都可以用绕某直线的转动和沿 该直线的移动复合表示，通常称这种复合运动为旋量运动（screw motion）。
g eξˆ SE 3
其中，ξˆ 是 ξ 的运算关系为∧ (wedge) ，即： v ωˆ v
ω
0
0
ξ
ξˆ
所有 ξˆ 构成的空间定义为se(3)。即： ξˆ se系？
指数映射 关系！
ξˆ se3
33
g eξˆ SE 3
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运动学分析准备工作——运动旋量坐标
gst (θ) e e ξˆ11 ξˆ22 eξˆnn gst (0)
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正向运动学
SCARA机器人算例：
SCARA机器人共4个DOF，由三个转动关节和一个移动关节组成，如图为初始位姿 下的机器人状态，建立工具坐标系 T 和基坐标系 S ： 1. 计算SCARA机器人初始位姿 gst (0) ：
g st
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基本概念
1. 旋转运动 旋转运动的定义： 如图，A 表示固定的全局坐标系，B 表示与刚体固 定的物体坐标系，则刚体的姿态可描述成一个如下 形式的旋转矩阵：
R的求解方式一： R xab ; yab ; zab 33
其中 xab , yab , zab 3 为物体坐标系主轴方向向量。
旋转矩阵 R 具有如下性质：
g SE 3 p, R p 31, R SO 3
SE(3)被称之为刚体变换群。
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基本概念
刚体运动的矩阵指数表示法
1）Chasles 定理: 刚体运动的指数矩阵表示法 任意刚体运动都可用绕某一轴的转动加上平行于该轴的移动来实现。假设运动旋量
坐标为 ξ v;ω 61，运动量为 ，则刚体运动变换矩阵可表示为：
如何确定运动旋量坐标是完成基于POE公式的机器人建模 的关键一步！！
ξ
1) 转动关节： 其中q为转轴上任意一点的坐标，则 转动关节对应的运动旋量坐标：
v
ω
q,
ξ
v ω
61
2) 移动关节： 移动关节的运动旋量中 w 对应分量 为0，即移动关节旋量坐标为：
ω
0,
ξ
v 0
61
转动关节
移动关节
，ξ
v ω
对于基坐标系的正向运动学关系可表示为：
ξi
i qi
i
q1
g03 (1,2 ) eξˆ12 eξˆ22 g03 (0)
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q2
其中的刚体变换矩阵 eξˆii 可看做关节运动对末端位姿的影响尺度。
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正向运动学
串联开链机器人的正向运动学公式
对于n个转动/移动关节的串联机器人来说，设 base0 为基坐标系，Tool n+1 为工具 坐标系，则应用POE公式计算机器人的正向运动学模型仅需三步完成：
R SO 3 R RT R I, det R 1
SO(3)是包含旋转矩阵 R 的一种特殊正交群，我们 称之为三维旋转群。
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基本概念
旋转运动的矩阵指数表示法
1）欧拉定理（欧拉角表示法同样可以描述 R）：
ω
任意的三维空间旋转运动都可以表示为绕某一单位
轴 3 的转动，设转动角度为 ，则旋转矩阵
(0)
I
3
X
3
0
0
l1
l2
l0
1
2. 计算关节对应的运动旋量坐标ξˆi ：
0 0
1
2 0
3ξi 010,i4iqi000
0
q1
• 运动旋量（twist）： 旋量运动的无穷小量即为运动旋量。 • 力旋量（wrench）： 作用在刚体上的任何力系都可以合成一个沿某直线的合力和绕该直线的合力矩。 ——有关运动旋量的规律同样适用于力旋量！ • *互易旋量（reciprocal screw）： 若力旋量F和运动旋量V具有互易关系，则 F V=0。
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正向运动学
正向运动学定义
大多数机器人都是由一组通过运动副（关节）联接而成的刚性连杆构成。由关节空 间运动量到末端任务空间的转化就是机器人的正向运动学建模过程，即在给定组成 运动副的相邻连杆的相对位置的情况下，确定机器人的末端位姿。
运动链描述：指数积公式(POE)
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