这就是你需要的

6.17 图示桁架,杆BC 的实际长度比设计尺寸稍短,误差为 ｡如使杆端B 与节点G 强制地连接在一起,试计算各杆的轴力｡设各杆各截面的拉压刚度均为EA ｡

题6.17图

解:

1. 平衡方程｡由于l ∆<<,所以装配后的变形对整体构型尺寸的影响可以忽略不计,即变形后各杆的夹角仍可认为保持不变,杆GD ､GE ､BC 受拉,杆CD ､CE 受压,受力分析如下图所示｡

平衡方程为

GD GE BC DC EC F F F === (a) 2. 变形协调方程｡结构变形图如下图所示

由几何关系可得

sin 30cos30GB BB GB GE GD BB CC BC

CC DC EC

''''''∆+∆=∆∆=∆=∆∆-∆=∆∆=∆=∆ (b)

由以上各式可推出

F D

E

F

2GD DC BC ∆-∆=∆ (c) 3. 物理方程｡由拉压杆的胡克定律有

,,,,BC GD GE DC EC BC GD GE DC EC F l F l F l l l

EA EA EA EA EA

∆=

∆=∆=∆=∆=

(d) 将物理方程(d)代入几何变形协调方程(c),得

2GD BC F l F l

EA EA ∆-=

再将平衡方程(a)代入上式得

∆=

可求得

()

223DC

EA F l

∆=

再代入平衡方程(a)有

()l

EA F F F GE GD BC 23329∆-=

==,()

l

EA F F

CE CD

23233

∆

-=

=

6.20 图示结构的AB 杆为刚性杆,A 处为铰接,AB 杆由钢杆BE 与铜杆CD 吊起｡已知CD 杆的长度为m 1,横截面面积为2m m 500,铜的弹性模量

GPa 100=E ;BE 杆的长度为m 2,横截面面积为2m m 250,钢的弹性模量GPa

200=E ｡试求CD 杆和BE 杆中的应力以及BE 杆的伸长｡

题6.20图

解:取刚性杆AB 进行受力分析,根据水平方向力的平衡可知A 点的水平向约束反力为零｡刚性杆共有三个铅垂向的约束力,而独立的平衡方程个数为2个,因此是1次超静定问题｡受力图如下图所示｡

N2

F F A

F

列平衡方程,有

0iy

F =∑,1A N N2=F F F F ++ 0A

M

=∑,12 1.5N N2=F F F +

物理方程为

1

111N1F l l E A ∆= 2

222

N2F l l E A ∆=

因为AB 为刚性杆,只能绕A 点转动,变形协调关系为

212l l ∆=∆

考虑到已知条件1212l l =,122A A =,121

2

E E =,将物理方程代入变形协调方程得

到

N1N2F F =

代入静力平衡方程,得到

0.5N1N2F F F ==,0A F =

CD 杆和BE 杆中的应力为

31113

2220.50.520010200500

0.50.520010400250

N1N2MPa

MPa F F A A F F A A σσ⨯⨯====⨯⨯=

===

BE 杆的伸长量为

3223220.5200102000420010250

N2==mm F l l E A ⨯⨯⨯∆=⨯⨯

6.21 由两种材料粘结成的阶梯形杆如图所示,上端固定,下端与地面留有空隙m m 08.0=∆｡铜杆的21cm 40=A ,GPa 1001=E ,161C 105.16--⨯= α;钢杆的

22cm 20=A ,GPa 2002=E ,162C 105.12--⨯= α,在两段交界处作用有力F ｡试求:

(1) F 为多大时空隙消失; (2) 当kN 500=F 时,各段内的应力;

(3) 当kN 500=F 且温度再上升C 20 时,各段内的应力｡

题6.21图

解:

(1)若要空隙消失,需铜杆的伸长量为1

11

0.08mm Fl E A ∆=

=,因此 39431110.0810100104010=3210N=32kN 1

E A

F l --∆⨯⨯⨯⨯⨯==⨯

(2)当500 kN>32kN F =时,空隙消失,此时结构处于超静定状态,设上下端的约束反力分别为A R ､B R ,静力平衡方程为

R R F += (a)

对杆1和杆2N1N2,A B F R F R ==- (b)

变形协调方程为

12∆+∆=∆ (c)

物理方程为

N11N22121122

,F l F l

E A E A ∆=

∆= (d) 将(b)和(d)代入(c)得

12

1122

A B R l R l E A E A -=∆ (e) 联立(a)､(e)可解得

1222211

122211

394394949494

35001012001020100.08102001020101001040101200102010210010401015610N 156kN

B Fl E A E A E A R l E A l E A -------∆=

+⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=

⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯=344kN A R =

杆1､2的应力为

36

N114

13

6

N2242344108610Pa=86MPa 4010

156107810Pa=-78MPa 2010

F A F A σσ--⨯===⨯⨯-⨯=

==-⨯⨯

(3)当温度升高时,物理方程(d)变为

N11N221112221122

,F l F l

l T l T E A E A αα∆=

+∆=+ (f) 将(b)和(f)代入(c)得

12

11221122

A B R l R l l T l T E A E A αα-++=∆ (g) 联立(a)､(g)可解得

()()12211222211

122211

394394949494

35001012001020100.080.831020010201010010401012001020102100104010266.6710N 266.67kN

B Fl E A l T l T E A E A R l E A l E A αα-------∆--=

+⨯⨯⨯⨯⨯⨯--⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=

⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯=233.33kN A R =

杆1､2的应力为

36

N114

13

6

N2242233.331058.3310Pa=58.33MPa 4010

266.6710133.33510Pa=-133.335MPa 2010

F A F A σσ--⨯===⨯⨯-⨯=

==-⨯⨯