八.第一类曲线积分计算

注意 φ2(t) ψ2(t )连续
n

lim
λ0 k1
f [φ(τk ),ψ (τk )]
因此
13
注 1º sk 0, tk 0, 因此积分限必须满足下限小于上限：
α β ! 2º 注意到
ds (d x)2 (d y)2
φ2(t ) ψ2(t )d t
16
例1 计算 xds , 其中 L 是抛物线 y x2 上点
L
点O (0,0)与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解 L: y x2 (0 x 1)
1
0 x

1
x
1 4x2 dx
0


1 12
(1

4x
2
3
)
2

1 0
1 (5 5 1) 12
y B(1,1) y x2
O
x
D
在D内，x与 y 彼此独立.
8º如果L 是闭曲线 , 则记为
f (x, y)d s.
L
8
思考： 定积分
b
f (x)d x
a
O

ab
是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?

ab
x
否！ 对弧长的曲线积分
f (x, y)ds
L
要求 ds 0, 但定积分中dx 可能为负.
9
3. 性质
1º线性性质： α，β R1
Mk Mskk1
称为被积函数， 称为积分弧段 .

曲线形构件的质量 M (x, y, z) ds
4
如果 L 是 xOy 面上的曲线弧, 则定义对弧长的曲线积
分为
n
L
f
(x,
y) ds

lim
0 k 1
f
(k
,k
)sk
被积函数 弧微分
n
L
f
( x,
y)d s
目录
第五章：空间解析几何和向量代数式 第六章：多元函数微分学 第七章：重积分 第八章：曲线积分 曲面积分 向量分析初步 第九章：无穷级数 第十章：反常积分和含参变量积分
1
积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分 曲面积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域 曲面域
第一类曲线积分 曲线积分
第二类曲线积分 第一类曲面积分 曲面积分 第二类曲面积分
L
对空间曲线弧 有与平面曲线弧类似的重心公式
和转动惯量公式.
7
7º f ( x, y)d s与 f ( x, y)d 的区别：
L
D
y
f ( x, y)d s : 点( x, y) L
L
x与 y不独立.
L (x, y) (x, y)
f ( x, y)d : 点( x, y) D
)
2( ) 2( )d
15
3º 设空间曲线弧的参数方程为 : x φ(t), y ψ(t), z ω(t) (α t β )
则 f ( x, y, z)ds

β
f (φ(t) ,ψ(t),ω(t) ) α
φ2(t) ψ2(t) ω2(t) d t
R3
α sin2 θ dθ
α

2
R3
θ 2

sin 2θ 4

α 0
R3(α sin α cos α )
18
例3 计算曲线积分 ( x2 y2 z2 )ds, 其中为螺旋
f
(ξk
, ηk
)sk
将曲线L 任意分成 n 份，设各分点对应参数为
点 (ξk ,ηk )对应参数为
sk
tk tk 1
φ2(t ) ψ2(t ) d t
φ2(τk ) ψ2(τk ) tk ,
12
则
n

lim f
λ0 k1
[φ(τk
),ψ (τk
)]
y
ds dy dx
o xx
因此上述计算公式相当于“换元法”.
14
推广 1º如果曲线 L 的方程为
y ψ( x) (a x b ),
则
b
f ( x,ψ( x)) a
1 ψ2(x)dx
2º 如果L为极坐标形式
( ) ( ),
则


f (( )cos , ( )sin
L
o
1x
17
例2 计算半径为 R ,中心角为 2α 的圆弧 L 对于它 的对称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).
解 建立坐标系如图,则
y
I y2 ds
L
L:

x y

R cos R sin
θ θ
o
(α θ α )
L
Rx
α R2 sin2 θ ( Rsin θ)2 (Rcos θ )2dθ α
2
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量
B
假设曲线形细长构件在空间所占
弧段为AB , 其线密度为 为计算此构件的质量, 采用
(k ,k , k )
Mk Mskk1
采用分割，近似，求和，取极限的方
法来求曲线形构件的质量:
A
n
可得 M
k 1
3
2. 定义
设 是空间中一条有限长的光滑曲线,
L
L
10
二、第一类曲线积分的计算法
1. 直接法 基本思路: 求曲线积分 转 化
计算定积分
定理
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
f ( x, y)ds
β
f [φ(t ) ,ψ (t )]
φ2(t ) ψ2(t )d t
α
L
11
证 根据定义
n
Hale Waihona Puke Baidu
lim
λ0 k1

lim
0
i 1
f
(i ,i )si
积分和式
积分弧段 被积表达式
5
6
5º 曲线弧对x轴及 y轴的转动惯量,
I x y2 d s,
y
L
I y x2 d s.
L
O
6º曲线弧的质心坐标
L
(x, y) x
x d s
xL
,
ds
L
y d s
y L
.
ds
义在 上的一个有界函数,若通过对 的任意分割 和对
局部的任意取点, 下列“乘积和式极限” (k ,k , k )
n
记作
lim
0
k 1
f
(k ,k , k )sk
f (x, y, z) ds

都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
[α f ( x, y) β g( x, y)]ds α f ( x, y)ds β g( x, y)ds
L
L
L
2º可加性： L由L1和L2组成
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds
L
L1
L2
3º 保序性：
特别的有 | f ( x, y)ds | f ( x, y)ds