圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一)

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一)

教学目标1．使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；2．使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题；3．培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律．教学重点和难点圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点．教学过程设计一、创设情景，引入新课圆是轴对称图形．圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题．今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性．1．动态演示，发现规律投影出示图7－47，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转180°后．问：(1)结果怎样？学生答：和原来的平行四边形重合．(2)这样的图形叫做什么图形？学生答：中心对称图形．投影出示图7－48，并动态显示：⊙O绕圆心O旋转180°．由学生观察后，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．

投影继续演示如图7－49，让直径AB两个端点A，B绕圆心旋转30°，

45°，90°，让学生观察发现什么结论？

得出：不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合．进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度α，你发现什么？学生答：仍然与原来的图形重合．于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性．即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合．2．圆心角，弦心距的概念．我们在研究圆的旋转不变性时，⊙O绕圆心O旋转任意角度α后，出现一个角∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图7－50．(如有条件可电脑闪动显示图形．)在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上．在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书．顶点在圆心的角叫做圆心角．再进一步观察，AB是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是AB所对的弦．请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么？学生答：过圆心O作弦AB的垂线．在学生回答的基础上，教师指出：点O到AB的垂直线段OM的长度，即圆心到弦的距离叫做弦心距．如图7－51．(教师板书定义)最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系．(引出课题)

二、大胆猜想，发现定理在图7－52中，再画一圆心角∠A′OB′，

如果∠AOB=∠A′OB′，(变化显示两角相等)再作出它们所对的弦AB，A′B′和弦的弦心距OM，OM′，请大家大胆猜想，其余三组量与，弦AB与A′B′，弦心距OM与OM′的大小关系如何？

学生很容易猜出：=，AB=A′B′，OM=OM′．教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢？学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到=，怎样证明弧相等呢？让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么？学生：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．请同学们想一想，你用什么方法让和重合呢？学生：旋转．下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明=．把∠AOB连同旋转，使OA与OA′重合，电脑开始显示旋转过程．教师边演示边提问．我们发现射线OB与射线OB′也会重合，为什么？学生：因为∠AOB=∠A′OB′，所以射线OB与射线OB′重合．要证明与重合，关键在于点A与点A′，点B与点B′是否分别重合．这两对点分别重合吗？学生：重合．你能说明理由吗？学生：因为OA=OA′，OB=OB′，所以点A与点A′重合，点B与点B′重合．当两段孤的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢？学生：与重合，弦AB与A′B′重合，OM与OM′重合．为什么OM也与OM′重合呢？学生：根据垂线的唯一性．于

是有结论：=，AB=A′B′，OM＝OM′．以上证明运用了圆的旋转不变性．得到结论后，教师板书证明过程，并引导学生用简洁的文字叙述这个真命题．教师板书定理．定理：在同圆____中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．教师引导学生补全定理内容．投影显示如图7－53，⊙O与⊙O′为等圆，∠AOB=∠A′O′B′，OM与O′M′分别为AB与A′B′的弦心距，请学生回答与．AB与A′B′，OM与O′M′还相等吗？为什么？在学生回答的基础上，教师指出：以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同圆．(投影显示叠合过程)这样通过叠合，把等圆转化成了同圆，教师把定理补充完整．然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：

定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得出其余三组量相等．请同学们思考，在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗？如何证明？在学生讨论的基础上，简单地说明证明方法．最后，教师把这四个真命题概括起来，得到定理的推论．请学生归纳，教师板书．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分

别相等．三、巩固应用、变式练习例 1 判断题，下列说法正确吗？为什么？(1)如图7－54：因为∠AOB=∠A′OB′，所以AB=．(2)在⊙O和⊙O′中，如果弦AB=A′B′，那么=．分析：(1)、(2)都是不对的．在图7－54中，因为和不在同圆或等圆中，不能用定理．对于(2)也缺少了等圆的条件．可让学生举反例说明．例2 如图7－55，点P在⊙O上，点O在∠EPF的角平分线上，∠EPF的两边交⊙O于点A和B．求证：PA=PB．

让学生先思考，再叙述思路，教师板书示范．证明：作OM⊥PA，ON ⊥PB，垂足为M，N．

把P点当做运动的点，将例2演变如下：变式1(投影打出)已知：如图7－56，点O在∠EPF的平分线上，⊙O和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D．求证：AB=CD．

师生共同分析之后，由学生口述证明过程．变式2(投影打出)已知：如图7－57，⊙O的弦AB，CD相交于点P，∠APO=∠CPO，求证：AB=CD．

由学生口述证题思路．说明：这组例题均是利用弦心距相等来证明弦相等的问题，当然，也可利用其它方法来证，只不过前者较为简便．练习1 已知：如图7－58，AD=BC．求证：AB=CD．