浙江工业大学2019-2020年高等数学A期中考试

浙江工业大学2019/2020学年第1学期期中考试《高等数学》试卷
一、填空题(共27分，每小题3分)1．函数x y 2ln 4-=的定义域为
．
2．2
sin 1lim 2
x x x ∞→＝．
3．设x
x
x f 3sin )(=，要使)(x f 在0=x 处连续，则补充)0(f ＝
．
4．设)2arctan()1()(--=x x x f ，则)1('f ＝．
5．设⎩
⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2，则22d d x y ＝
．
6．设x
x y 2
cos
e =，则
d d =x x
y ＝
．
7．设53)12()25(+=+x y 有个实根．
8．设2)
2(lim
,0)0(0
==→x
x f f x ，则)0('f ＝．
9．函数x x y -=e 2的单调增区间是．
二、选择题(共15分，每小题3分)
1．设x
x x f 11e 1e 2)(-
+=
，则0=x 是)(x f 的(
)．
A ．可去间断点
B ．跳跃间断点
C ．无穷间断点
D ．连续点
2．若)(lim 0
x f x x →存在，但)(lim 0
x g x x →不存在，则)()(lim 0
x g x f x x →(
)．
A ．存在
B ．可能存在，也可能不存在
C ．不存在
D ．为无穷大
3．若函数)(x f 在0=x 的一个领域内有定义，则h
h f h f h )
()(lim
--→存在是函数)(x f 在0=x 点可导的(
)
条件．
A ．充分
B ．充分必要
C ．必要
D ．既不是充分也不是必要
4．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(,)('d 000x f x x f y x x f y -∆+=∆∆=，则当0→∆x 时，y y d -∆是x ∆的()．
A ．等价无穷小
B ．高阶无穷小
C ．低阶的无穷小
D ．同阶无穷小5．)(x f 在0x x =的领域内可导，且1)
('lim 0
0=-→x x x f x x ，则0x x =是)(x f 的(
)．
A ．拐点
B ．极大值点
C ．极小值点
D ．上述都不对
三、求解下列各题(共18分，每小题6分)1．求极限x
x x x x sin tan lim
20
-→．
2．设)(x f 具有二阶连续导数且6)0('',0)0(')0(===f f f ，求4
20
)(lim
x x f x →．
3．设顶点在下的正圆锥型容器，高10米，容器口半径是5米，若在空的容器内以每分钟2立方米的速率
注入水。

当水面高度为4米时，求：(1)水面上升的速率，(2)水的上表面面积的增长率。

四、求解下列各题(共24分，每小题8分)1．设x
x x y ⎪⎭
⎫
⎝⎛++=21，求：(1)y x ∞→lim ，(2)
x y d d ．2．设⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+≤<-
+=0
,e 021
),
1ln()(2x b x ax x f x ，确定b a ,使)(x f 在0=x 点连续、可导．3．函数33
6x x
x y -+
=的极大、极小值，最大、最小值是否存在？若存在请求出，若不存在请说明理由．五、求解下列各题(共8分，每小题4分)
1．求极限]ln sin )1ln([sin lim x x x -++∞
→．
2．设)(x f 在]e ,1[上可导，1)(0,1
)('<<<
x f x
x f ．证明：在)e ,1(内存在唯一的ξ，使ξξln )(=f ．六、(8分)设函数)(x f 有连续的三阶导数，且0)(''',0)('')('000≠==x f x f x f ．证明：(1)))(,(00x f x 是曲
线)(x f y =的一个拐点；(2)0x x =不是函数)(x f y =的极值点．
浙江工业大学2019/2020学年第1学期期中考试《高等数学》参考答案
一、填空选择题(共27分，每小题3分)1．]
e ,e [2
2-2．03．34．4
π-
5．
t
t 412+6．)
2sin 1(e 2
cos x x x -7．
3
28．19．(0,2)或[0,2]二、选择题(共15分，每小题3分)1．B 2．B
3．C
4．B
5．C
三、求解下列各题(共18分，每小题6分)1．原式＝3
131sec lim
tan lim 220
3
=
-=-→→x x x x
x x x ．2．原式＝3621)0(''21)0(')('lim 212)('lim
42)('lim
2
202
20
3
20
=⨯==-==⋅→→→f x f x f x x f x x x f x x x ．3．(1)t h h t v h h h V d d 3121d d ,121312232
⋅==⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛=πππ，当4=h 时，2d d =t v ，代入得π21d d =
t h (米/分钟)．(2)t h h t s h h S d d 24d d ,4222
⋅==⎪⎭
⎫
⎝⎛=πππ，当4=h 时，π21d d =t h ，代入得1d d =t s (平方米/分钟)．
四、求解下列各题(共24分，每小题8分)
1．(1)121
lim e e
lim ,211-+-⋅∞→==∴⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-+=∞→x x x x x y x y ．(2)⎦
⎤⎢⎣⎡+++++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++===⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭
⎫
⎝⎛++)2)(1(21ln 21d d ,e
e 21ln 21ln x x x
x x x x x y y x
x x x x x x
．2．)(x f 在点0=x 显然左连续，让其右连续，即0)(lim 0
=+→x f x ，01=+∴b ，得1-=b ．
2,21e lim )0(,0)1ln(lim )
0(20'
0'=∴=-==-+=+-→+→-a x
f a x ax f x x x ．3．013'),,0()0,(2
≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=+∞-∞∈x x y x ，∴函数在定义域内是单调递减，∴函数没有极大值，也没有
极小值．又+∞=-∞=-∞
→+∞
→y y x x lim ,lim ，∴函数在定义域内无最大值和最小值．
五、求解下列各题(共8分，每小题4分)
1．对函数x x f ln sin )(=，在]1,[+x x 上用拉格朗日中值定理(显然在]1,[+x x 上连续，在)1,(+x x 上可导)
有1,1ln cos ln sin )1ln(sin +<<⋅=
-+x x x x ξξ
ξ
．ξξ
ξ
ξ
ln cos 1
lim
ln cos lim
]ln sin )1ln([sin lim ⋅==-+∴+∞
→+∞
→+∞
→x x x x x ，当+∞→x 时，∴+∞→+∞→+,,1ξx 原
式＝0ln cos 1
lim
=⋅+∞
→ξξ
x (无穷小与有界量的乘积仍然是无穷小)．
2．证：令)(,ln )()(x f x x f x F -=在]e ,1[上可导，∴在)e ,1(内连续，)(x F ∴在]e ,1[上连续，)e ,1(内可
导．∴<-=,0)1)1()(1()e ()1(f f F F 满足零点定理，∴在)e ,1(内至少存在一个ξ，即ξξln )(=f ．
而)(,01
)(')('x F x
x f x F ∴<-
=在]e ,1[上单调递减，)(x F ∴在)e ,1(内最多有一个ξ使0)(=ξF ，∴在)e ,1(内存在唯一的ξ，使ξξln )(=f ．
六、(8分)
证：(1)0)('''0≠x f ，不妨设0)('''0>x f (0)('''0<x f 结论相同)．
0)(''lim )('')(''lim )('''000000>-=--=→→x x x f x x x f x f x f x x x x ，由极限保号性知，当)(0x U x ∈时，有0)
(''0
>-x x x f ，
当0x x >时，0)(''>x f ；当0x x <时，0)(''<x f ，而))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的点，
))(,(00x f x ∴是曲线)(x f y =的一个拐点．
(2)由(1)知，当0)('''0>x f 时(0)('''0<x f 也能得到)，当0x x >时，0)(''>x f ，即当0x x >时，)('x f 单调递增，0)(')('0=>∴x f x f ，即0)('>x f ；当0x x <时，0)(''<x f ，)('x f ∴单调递减，
当0x x <时，0)(')('0=>x f x f ，在0x x =领域内，0)('>x f ，)(x f 单调递增，0x x =∴不是函数)(x f y =的极值点．。