测不准关系与物理量大小的估算

测不准关系与物理量大小的估算
曹雪利
摘 要 测不准关系是量子力学的一个基本原理，这一原理建立的实验基础是微观粒子波粒二象性。

对于坐标与动量这对共轭量满足2
≥
∆∆p q ，其中q 为广义坐标，p 为广义动量。

通篇的核心是利用这一关系式对量子力学中的物理量进行估算，主要估算各种条件下的基态能量。

如：无限深势阱问题、线性谐振子问题、氢原子问题、氦原子与锂原子这些多电子问题。

本文重点放在氦原子与锂原子基态能量的估算上，最终证明测不准关系在物理量大小的估算问题上具有很强的应用意义和价值。

关键词 测不准关系 物理量大小 估算
1、
引言
测不准关系又名“测不准原理”、“不确定关系”,英文“Uncertainty principle ”，它是量子力学的一个基本原理。

这一原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。

测量一对共轭量的误差的乘积必然大于常数
2
（π2h = ，其中h 是普朗克常数）是德国物理学家海森伯在1927年首先提出的，用公式表示可有：2 ≥∆∆x p x ，2 ≥∆∆y p y ，
2 ≥∆∆z p z ，2 ≥∆∆t E ，该原理反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中又
一条重要原理。

在量子力学的学习中，我们可以运用这一原理解决一些相应的物理问题，从而完成对某些特定物理量大小得估算，比如我们会经常遇到的物理问题有：无限深势阱问题、线性谐振子问题、氢原子问题等。

相应地我们可以估算其基态能量、粒子寿命等的大小。

2、测不准关系的理论背景
微观粒子波粒二象性是测不准关系建立的实验基础。

我们可以以两个不同方面的例子来说明。

一是从粒子(电子)的波动性，二是从波(光)的粒子性。

2.1关于粒子的波动性
一束动量为p 的电子通过宽为x ∆的单缝后发生衍射，而在屏上形成衍射条纹。

对一个电子来说，它是从宽为x ∆的缝中通过的，因此它在x 方向上的位置不确定量为x ∆;忽略次级极大，认为电子都落在中央亮纹内，在x 方向有θ角偏转，表明电子通过缝时在x 方向的动量不确定量为
2
1
∆=x p θsin p ，第一级暗纹中心的角位置由下式决定:λθ=∆sin x ，根据德布罗意公式p h =
λ，得x
p h ∆=θsin ，则动量不确定量为
21∆x p =x
h
∆，考虑到衍射条纹的次级极大，可得h p x x ≥∆∆，这就是不确定关系[8]。

2.2关于波的粒子性
1923年康普顿及后来的吴有训进行的X 射线通过物质时的散射实验，不仅有力地证明了波(光)具有粒子性，而且还证明了光子和微观粒子的相互作用过程也是严格地遵守动量守恒定律和能量守恒定律的。

根据光子理论，X 射线的散射是单个光子和单个电子发生弹性碰撞的结果。

由于光子在空间至少要展开德布罗意波长λ的范围，在测定它与电子碰撞位置时的不准确度也就至少在λ的范围内。

这就是说，如果用x ∆来表示电子位置的不准确度，那 么，x ∆总是要不小于光子的波长λ，即x ∆λ≥。

在碰撞时，光子将动量传给电子，所传递动量的大小取决于碰撞是正碰还是斜碰。

一般来说，传给电子的动量不可能大于光子原有的动量，电子在碰撞后动量的不准确度∆x
p 约
x p ，则
有h p x x ≥∆∆。

海森伯对这一近似关系式进行了更仔细地数学分析后，发现
2 ≥
∆∆x p x ，π
2h = =1.0545887x 34
10-J ·S 。

海森伯曾写道：“在位置被测定的一瞬，即当光子正被电子偏转时，电子的动量发生一个不连续的变化，因此，在确知电子位置的瞬间，关于它的动量我们就只能知道相应于其不连续变化的大小的程度。

于是，位置测定得越准确，动量的测定就越不准确，反之亦然。

”
以上分析清楚地表明，有了微观粒子的波粒二象性，就有测不准关系，反之亦然。

因此，测不准关系的实质就是微观粒子波粒二象性，或者说，测不准关系的表达式是微观粒子波粒二象性最集中的数学概括。

此外，海森伯还通过对确定原子磁矩的斯特恩-盖拉赫实验的分析证明，原子穿过偏转
所费的时间t ∆越长，能量测量中的不确定性E ∆就越小。

再加上德布罗意关系p h =λ，海森伯得到2
≥
∆∆t E ，并且得出结论：“能量的准确测定如何，只有靠相应的对时间的测不准量才能得到。

”[7]
3、 测不准关系可以用来估计物质结构的不同层次的特征能量。

3.1 能量大小的估算 按照测不准关系
x p ∆=∆2
在非相对论情况（对原子，分子，原子核适用）， μμ2/)(222p p E ∆≈≈ 对于原子，cm x 8
10-≈∆m 10
10
-=，
用电子质量e m 代入，则有kg m e 311010908.9-⨯==μ， 得到
2
10312
3422)
102(1010908.92).100545887.1()2(2m kg s J x m E e ---⨯⨯⨯⨯⨯≈∆≈ eV J 41002465.619≈⨯≈-
对于中等原子核，cm x 13
10
6-⨯≈∆m 15106-⨯=，
用中子或质子质量代入，即取kg m n 271067482.1-⨯==μ， 同理有
2
15272
3422)
1062(1067482.12).100545887.1()2(2m kg s J x m E n ---⨯⨯⨯⨯⨯⨯≈∆≈ MeV J 1875.210305715.214≈⨯≈-
所以在分子或原子物理中常选用eV 为能量单位，而在核物理中则用MeV 或keV 比较方便。

对于相对论情况， x
c
p c pc E ∆≈
∆≈≈
在粒子物理中，粒子大小cm x 13
10
-≤∆，所以GeV E 2.0≈，所以，粒子物理中常用
GeV 或MeV 为能量单位[5]。

3.2 原子核的组成问题
在1923年Chadwick 发现中子以前，有人认为原子核是由质子和电子组成。

这种看法遇到了很多矛盾，例如，统计性上的矛盾。

此外，如测不准关系来估算一下β衰变粒子能量，就会发现与试验有明显矛盾。

因为原子核半径cm 12
10-<，若电子式原子核的一个组成
粒子，则其位置不确定度cm x 12
10
-≤∆，按测不准关系，s cm g x p /1015⋅≈∆≈∆- 。

从
数量级来考虑，p p ∆≈，因此电子能量（因为远大于电子2c μMeV 51.0≈，所以需用相对论力学来计算）
m
s m s J x c p c pc c c p E 148344
2
2
2
10100.3.100545887
.1--⨯⨯⨯≈∆≈∆≈≈+=
μ
MeV J 2010316≈⨯≈-
但所有原子核在β衰变中放出的电子的能量都差不多是MeV E 1≈β。

这与理论估计差几十倍。

在中子发现后，由于中子质量e n m m 1842≈，矛盾就完全解决了（β衰变中放出的电子，并非原子核的一个组成粒子，是在衰变过程中产生的）。

4、测不准关系在一些基本问题中的应用
4.1无限深势阱问题 粒子在宽为
2
a
的无限深方势阱中运动，估算其基态能量。

解：2a x =∆ 由测不准关系2
≥
∆∆x p x ，知： ∆x p a ≥ 由于在束缚态中，波函数为 x a
n a x n πϕsin 2)(=
粒子处于基态时，1=n ，即x a
a x πϕsin 2)(1=
xdx a
a x a a i dx x p a
a a a x π
πϕϕsin 2dx d sin 2)(p (x)22122
x 1⎰⎰
--∧
*
==
ai
2=x a xd a os x a a
a π
ππ⎰
-22
c sin x a
d ai a
a π
2cos 222⎰--= 0=
故得能量：
=E 221x p μ=)0(212-x p μ=)(2122x x p p -μ=2
)(21x p ∆μ2
22a μ ≥
即基态能量估计有下限：2
2
2a
μ 此即为估算结果。

4.2 线性谐振子问题 估算一维简谐振子的能量。

解：一维谐振子，
=∧
H 22
22
121∧∧+x p μωμ
波函数为)(x n ψ，由于∧
H 对称，有只存在束缚态，故知：
dx x dx
d
x i dx x p x p n n n n )()()()(ψψψψ*∧
*
⎰⎰=
= dx x n x n x i n n n )](1)([2
)(11+-*+-=⎰ψψα
ψ 由正交归一性可得
0=p
同理
=x dx x x x n n )()(ψψ∧
*
⎰
0)]()(1)[(21
11=++=
-+*⎰dx x n x n x n n n ψψψα
于是利用测不准关系：2
≥
∆∆p x 得 22
22
121∧∧∧
+==x p H E μωμ=
222)(21)(21x p ∆+∆μωμ ωωωμωμ 2
1
)()()(21)(212
22222≥∆⋅∆=∆⋅∆=∆⋅∆≥x p x p x p 于是估计谐振子的基态能量为
ω 2
1。

4.3 氢原子问题
估计氢原子的基态能量[3]。

解：氢原子
∧∧∧
-=r
e p H 2
221μ 如果只考虑基态，它可写为
∧∧∧
-=r
e p H r 2221μ ，)1
(r dr d i p r +-=∧ ∧r p 与∧
r 共轭，于是 ~r p r ∆∆
r r ~∆，所以r
p r
~
∆ r e r
r e p E r 2
22222~21--=
μμ （1） 求极值则有 0=∂∂r
E
即
02
23
2
=+
-r
e r
μ
由此得
02
2
a e
r ==μ （玻尔半径） （2） 将（2）式代入（1）式得基态能量
24022222~
e a e a E μμ-=-02
2a e -
= （3） 这里用数学分析的方法求极值，运算中作了一些不严格的代换如：r
r r 1
1~1=等，这在估计中是允许的。

通过上述三个例题的解答，我们发现测不准关系应用于物理量大小的估算是很方便，通过理论比较，其估计值与理论值是非常接近的。

那么现在我们提供给出例2的另外一种接法来印证测不准关系原理解题的简便之处。

附：例题2的另外解 由递推公式：
]111[21+++-=n n n n n x α
]2)2)(1()12(2)1([212
2++++++--=
n n n n n n n n n x α
可得
1210α
=
x ，)220(2102
2+=
α
x
由n 的正交归一性可知，对基态，
0=x ，2
221α
=
x
又由导数的递推公式关系：
]111[2
++--=n n n n n dx d α
)2)(1()12(2)1([22
2
2n n n n n n n n n dx
d ++++---=α
则
12
0α i dx d i =- ， )220(20222
2
2-=- αdx d 所以
0=p ，2
2
22
α=p
所以
2)()(2
2
=∆⋅∆=∆∆p x p x ，ωμωμ 2
1
212~222=+x p E
这一方法与第一种方法比较，我们不难看出法一的简便易懂，而方法二虽然思路清晰，但公式记忆较繁，若有记忆不牢不清现象很易算错。

因此我们尽量采用测不准关系对其类似问题进行求解。

5、测不准关系在氦原子问题中的应用
用测不准关系估算氦原子的基态能量。

解：氦原子中有两个电子，电荷各为-e ，核电荷2e ，总能量算符为
∧∧∧∧∧∧
++-+=
12
22122221)11(2)(21r e r r e p p H μ （4） 设原子的最可几半径为R r ~，则在式（4）的基态平均值中可取
R r r 1112
1
≈
=
∧
∧
，R
r 21
1
12
≈
∧ （5）
根据测不准关系可取
2
2
2
2
2
1R p p
≈=∧∧ （6）
因此基态能量约为
R
e R R e R R H E 2)11(2)(21222222++-+≈=∧
μ R e R
2
2
227-=μ （7） R 的取值应使E 为极小，有极值条件
0=∂∂R
E
即有
02722
2
32=+-R
e R μ 求得
R 02
274
74a e =⋅=μ （8） 其中0a 2
2
e μ =为玻尔半径。

将（8）代入（7）即得
02
022*******.3)47(7
427)74(a e a e a e a E -=-=-≈μ （9） 氦原子基态能量的试验值为：0
2
9035.2a e -
通过查阅相关文献，没有查到测不准原理对于多电子问题的解决方案，于是，我按照氦原子的基态能量估算方法，自己推导了一下具有三个电子的锂原子的基态能量，并得到了相应的估算值，下面加以讨论。

6. 测不准关系在锂原子问题中的应用
用测不准关系估算锂原子的基态能量。

根据锂原子的外层电子排列方式，作图如下：
方法与例4相类似可以有
解：氦原子中有三个电子，电荷各为'
e -，核电荷'
3e ，总能量算符为
)111()111(3)(21'
13'23'122''3'2'12'2
'
32
'22
'1∧∧∧∧∧∧∧
∧∧∧
+++++-++=r r r e r r r e p p p H μ （10）
设原子的最可几半径为'
'~R r ，则在式（10）的基态平均值中可取
'
'23
'13
'2
'1
11111R r
r
r
r
≈
=
=
=
∧∧∧∧
， ''12
'3
21
11R
r
r
≈
=
∧∧ （11） 根据测不准关系可取 2
'2
2'2
2'1
R
p
p
≈=∧∧，
2
'2
2'3
4R
p
≈∧ （12）
因此基态能量约为
)1121()2111(3)4(21'''2
''''2'2'22'22'2R R R e R R R e R
R R H E +++++-++≈=∧
μ '2
'
2'2
589R e R
-=μ （13）
'R 的取值应使E 为极小，有极值条件
0'
=∂∂R E
即有
05
8922
'2'3
'2=+-R
e R
μ
求得
R 02'220
9
209a e =⋅=μ （14）
其中0a 2
'2
e
μ =
为玻尔半径。

将（14）代入（13）即得
2
'
2'2025556.520
95)209(89a e a e a E -=-≈
μ （15） 由于查阅不到锂原子基态能量的试验值，而通过查阅由白玉林、杨向东在《大学物理》里发
表的“锂原子基态能级的近似计算”，可以得知其较为精确的计算值[2]
为：-3.6872 0
2
'a e 。

由此可见，我上述的估算结果误差很大，但是我认为可以通过改变上述的（11）式（12）式中各段径向数值和动量值，可以对这个估算结果进行相应的完善，使估算结果较为接近这个参考值。

分析其误差较大的原因，应该是与锂原子不同于氦原子的电子结构，其间存在相对论效应、全同粒子等原因。

通过大量的尝试计算，还是不能使估算值接近参考值，于是发现我的估算方法里采用的哈密顿量存在较大误差，我使用的哈密顿量为：
)111()111(3)(2'
13'23'122''3'2'12'2
'32'22'12∧∧∧∧∧∧∧
+++++-∇+∇+∇-=r r r e r r r e H μ
而近似能级计算方法中使用的则是：
∧
∧
∧+='0H H H ，即：
-∇-+++-∇+∇-=∧∧∧∧
2'32'
122''2'12'2'22'122(]1)11(3)(2{[μμ r e r r e H )'
32
'∧r e }
+)211(
'3
'23
'13
2
'∧∧∧
+
+
r
r
r
e
其中，
∧
H由两部分组成，第一部分为核电荷数3
=
Z的类氢理离子的哈密顿量，第二部分
为氢原子的哈密顿量。

余下的
∧
'
H部分为微扰量。

尽管我们发现这种估算方法具有较大的误差，但是其数量级是正确的，比起精确结果所用的计算方法要简便许多，对于某种情况下需要有大概参考这个基态能量时，我们可以采用这种估算方法得到的数值，做到心中有数，因此我认为这种估算也是一种有意义的方法。

7.结束语
在进一步学习测不准关系的过程中，我们总结了这一原理的由来，这一原理的具体公式表达式，其在量子力学中的作用是很巨大的，通过上述多个例题，我们发现这一原理应用于物理量大小的估算问题简捷、方便、易懂。

同时，我们可以类比已学知识，进行思维创新，制造新的问题，并找出其相应的便利解决方法。

达到对测不准关系原理认识程度的一次质的飞跃。

参考文献：
[1] David J ．Griffiths．Introduction to Quantum Mechanics [M]．China machine press．2005．8
[2] 白玉林，杨向东．锂原子基态能级的近似计算[J].大学物理.2004，4
[3] 史守华．量子力学——考研辅导教材[M] ．清华大学出版社．2003,3
[4] R．埃斯伯格，R．瑞斯尼克．量子物理学上册[M] ．北京工业学院出版社．1985,12
[5] 周宙安，万芳．广义测不准关系与位置的最小不确定度[J].湖南科技学院学报．2007，12
[6] 厚宇德．不确定关系的确立及相关争论[J].台州学院学报.2005，6
[7] 关洪．测不准关系的意义(上)[J] ．大学物理．1983，3
[8] 曾谨言．量子力学[M] ．北京：科学出版社．1986，（34）
致谢
伴随论文的完稿，紧张而又充实的大学生活也将随之结束，回忆在唐山师院的学习生活，感触颇深。

可以说，唐山的学习经历使我学到了许多更加珍贵的东西，这对我今后的学习工作和人生道路的选择很有意义。

特别要感谢我的指导教师石凤良老师，老师的严谨治学态度、渊博的知识、高尚的人格魅力让我倍受感动，使我深受启迪。

老师长期从事理论研究和教学工作，在研究问题的前瞻性和深度上都值得我学习；在和老师探讨问题过程中，老师的谆谆教导使我受益匪浅。

在论文的写作过程中，老师提出了许多宝贵的意见，并不辞辛苦加以修改。

从他身上，我不仅学到了科学的学习方式，还培养了不断追求创新的思维方式，同时教育了我要耐心的去干任何一件事，而不是急于求成。

在此，我要向我的老师致以最衷心的感谢和深深的敬意。

衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位老师。

Uncertainty principle and Estimating the size of the physical quantity
Cao xue-li Directed by Vice Prof. Shi Feng-liang Abstract Uncertainty principle is one of the basic principles in the quantum mechanics, The experimental principle is based on the establishment of micro-particle wave-particle duality. For the coordinates and conjugate momentum which meet , for the generalized coordinates and for the generalized momentum. Throughout the core of this relationship is to use quantum mechanics to estimate the physical quantities, mainly under the conditions of the estimation of the ground state energy. such as : the problem of the infinite potential well, the problem of the linear harmonic oscillator, and the problem of the hydrogen atom, and Helium atoms and lithium atoms of these many-electron problem. This article focused on the helium atom with the lithium atom ground-state energy estimates, The ultimate proof of the relationship between uncertainty in the estimation of physical quantities on the size of the application has a strong meaning and value. Keywords Uncertainty principle the size of the physical quantity estimate。