考研数学：连续函数介值定理的种情形分析

考研数学：连续函数介值定理的四种情形分析
在考研数学中，关于连续函数在闭区间上的性质有4个经常用到的定理，它们分别是：最值定理，有界性定理，零点定理，介值定理。

其中关于连续函数的介值定理，在很多高等数学教材和考研复习资料上虽然都做了说明，但都不是很完整，导致很多学生在做这方面的习题时产生混乱，为了帮助广大考生完整透彻地理解介值定理，文都考研数学辅导老师在这里向大家做一个完整的阐述，供各位考生参考。

连续函数的介值定理按不同的条件和使用方法，可以分为4种情况，分别是：（m ，M)上的介值定理，[m ，M]上的介值定理，((),())f a f b 上的介值定理，[(),()]f a f b 上的介值定理，其中m ，M 分别为函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最小值和最大值，此处假设()()f a f b <。

若()()f a f b >，则相应地将区间改为((),())f b f a 和[(),()]f b f a 。

下面分别对这4种情况进行阐述。

定理一：（m ，M ）上的介值定理. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，m ，M 分别为函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最小值和最大值，则(,),(,)C m M a b ξ∀∈∃∈，使得()C f ξ=
证明：根据连续函数的最值定理得，12,[,]x x a b ∃∈，使12(),()f x m f x M ==，不妨设12x x <，
令()()x f x C ϕ=-，则12()0,()0x m C x M C ϕϕ=-<=->，12()()0x x ϕϕ<，由零点定理可得，
12(,)(,)x x a b ξ∃∈⊂，使得()()0f C ϕξξ=-=，即()C f ξ=
定理二：[m ，M]上的介值定理. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，m ，M 分别为函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最小值和最大值，则[,],[,]C m M a b ξ∀∈∃∈，使得()C f ξ=
证明：若(,)C m M ∈，则由定理一知结论成立。

若C m =，则根据连续函数的最值定理得，[,]a b ξ∃∈，使()f m C ξ==；对于C M =的情况，同理可知结论成立。

定理三：((),())f a f b 上的介值定理. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，若()()f a f b <，则((),()),(,)C f a f b a b ξ∀∈∃∈，使得()C f ξ=；若()()f a f b >，则((),()),(,)C f b f a a b ξ∀∈∃∈，使得()C f ξ=
证明：只证第一种情况即可。

令()()x f x C ϕ=-，则()()0,()()0a f a C b f b C ϕϕ=-<=->，
()()0a b ϕϕ<，由零点定理可得，(,)a b ξ∃∈，使得()()0f C ϕξξ=-=，即()C f ξ=
定理四：[(),()]f a f b 上的介值定理. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，若()()f a f b ≤，则[(),()],[,]C f a f b a b ξ∀∈∃∈，使得()C f ξ=；若()()f a f b ≥，则[(),()],[,]C f b f a a b ξ∀∈∃∈，使得()C f ξ=
证明：只证第一种情况即可。

若((),())C f a f b ∈，则由定理三得知结论成立。

若()C f a =或()C f b =，则取a ξ=或b ξ=即可。

上面就是考研数学中关于连续函数的介值定理的四种情形的完整分析，供考生们参考借鉴。

在以后的时间里，文都考研数学辅导老师还会陆续向考生们介绍考研数学中其它知识点和考点的分析，希望各位考生留意查看。

最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩。