高等光学课件cxr__第13讲资料.
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光学工程硕士研究生课程
高等光学
第十三讲
2012.12.17
第六章 光的吸收、色散和散射
§6-1 光与物质相互作用的经典理论
理论 对电磁场的处理 对粒子的处理
适应范围
经典理论 麦克斯韦方程组 经典力学
物质对光的吸收和色散现象， 自发辐射及谱线宽度
半经典 麦克斯韦方程组 量子力学 理论
量子理论 对电磁场和物质原子都做量子化 处理
电子运动方程为：
••
m x Kx 0
其解为：
x t x0ei0t
无阻尼振荡
其中 0为谐振频率，并且
0
K m
1
2
2.原子经典简谐振子模型
原子中的束缚电子受原子核和周围原子的共同作用，围绕其平 衡位置振动。
位能曲线
位能
建立运动方程：
斥力 平衡
位置
外场不大，只在平衡位置附近振动；
ro
简化：一维，平衡位置在 x 0 处；
三、电介质的极化率、复折射率和亥姆霍兹方程
一、原子自发辐射的经典模型
1.简谐振子模型
经典力学描述原子内部电子运动的物理模型——按简谐振动或阻 尼振动规律运动的电偶极子，称为简谐振子。
简谐振子模型认为：原子中的电子被与位移成正比的弹性恢复力 束缚在某一平衡位置，当电子偏离平衡位置而具有位移x时，就 将受到一个f=-Kx 恢复力的作用
通过求解有源波动方程，得电偶极子辐射
电磁波解为：
E(r , t)
eikr
4 oC 2r
d
2
p
dt 2
s in
e
H (r,t)
eikr
4 oCr
d 2 p dt 2
s in
e
z
EH
H
p
r
y
E
x
二者同相
平均坡印廷矢量不为零，有能量向远方辐射，称为自由电磁 波；
90 处辐射最大， 0 处辐射最小，关于 对称。
吸收造成光波振幅衰减，平面光波传播有：
1x
2 nx
nx
A E0e 2 E0e E0e c
平面波函数可表为：
nx (t n x)
E E0e c e c
将指数写到一起，有：
i (t n(1i ) x)
i (t n~ x)
E E0e
c
E0e
c
复数n称为介质的复折射率，其实部表示介质的折射率，虚部n表示 电磁波产生衰减
02 2 2)2
2 2
]
i
Ne2 [
0m
(02
2 )2
2 2
]
由复折射率的公式有：
~
n2 [n(1 i )]2 n2 (1 2 ) i2n2
故有：
n2 (1
2)
1
Ne2
0m
(02
02 2 2)2
2 2
2n2
Ne2
0m
(02
2 )2
2 2
以上两式（又称亥姆霍兹方程）： 实部反映了介质中感生电偶极子电矩所产生的附加场的效果； 虚部反映了感生电偶极子对外电磁波能量的吸收。
• 当 o，忽略阻尼，振幅 x ，过程为 ：
电子吸收光子跃迁到高能态，放出光子回到低能态，称为吸收、发射 过程，或称共振相互作用 特点：电子本征能量发生改变（参见半导体材料中量子力学理论相关内容）
二、电偶极子物理模型及其辐射场
一对等值异号电荷，简谐振动形式
（取球坐标，沿z方向振动）
p
po
eit
即：实部对的依赖关系称为色散，虚部引起电磁波的吸收。
亥姆霍兹方程讨论：
1. 当00时，吸收很小，阻尼忽略不记：
n2
1
Nzq 2
0m
02
1
2
——正常色散区域，Seilmeier方程
2. 当＝0时，n最大，共振吸收，n随增大而减小——反常色散区域
3. 当0时，n<1；但仍然属于正常色散区域，0
亥姆霍兹方程通过复折射率将光的色散和吸收联系在一起
U 1 Kx 2
K ：弹性常数
引力
2
弹性恢复力： F(x) U (x) Kx
x
运动方程：
m d 2 x Kx dt 2
m：电子质量
电子核距离
此外，要考虑：
辐射阻尼 (
电子运动速度)：
dx
dt
受迫振动，入射光波的电场力： eE
最终得到运动方程： （牛顿第二定律 F ma ）
d2x dt 2
dx dt
o2x
e m
E
电子加速度 阻尼力 弹性恢复力 外场力
方程求解：
设：外场是简谐场：
电子作简谐运动：
E Re E0 eit x Re xeit
问题：x ~ E 的关系是什么？
将
E, x
代入运动方程，得：
x
e m
o
2
E0
2
i
电偶极矩：
一个电偶极子的极矩： p ex
复数形式：
p Re p0 eit
实际上，原子中存在多种振子情况，其固有圆频率和阻尼系数分别 不同，亥姆霍兹方程将化为：
n2 (1 2 ) 1 Nzq2
0m
f j (02 2 )
j
(02 j
2 )2
2 2
j
2n2 Nzq2
0m
f j j
j
(02 j
2 )2
2 2
j
共振频率 0j 对应于能级跃迁的光子频率，振子数 fj 对应于跃迁概率
（参见陈军编著《光学电磁理论》Chap.1相关内容）
入射光波 其它场
极化波
束缚波（与波源同相） 自由波（相位迟后）
极化波：偶极子振动的传播
平均辐射能流为：
S
1 2
0
E
2
e4 E02
32 2 0c3m2r 2
sin 2
0cE02
2
re2 r2
s in
e2
re 4 0c2m ,
Hale Waihona Puke Baidu
经典电子半径
三、电介质的极化率、复折射率和亥姆霍兹方程
电介质为一个带电粒子系统，其内部存在不规则、迅速变化的微观电磁场 设介质单位体积内有N个电子，则介质的极化强度等有：
P Ner
P 0E
r 1
n v 1 c 1 00
rr
r
~
n2
r
1
P 1( )
0E
1
Ne2
0m(02 2
i)
上式右端的实部和虚部分开为：
'i
''
[1
Ne2
0m
(02
强度特性、增益饱和效应，多 模耦合与竞争效应，模的相位 锁定效应等
在严格的确定激光的相干性和 噪声以及线宽极限这些特性时 才是必要的
速率方程 量子理论简化形式 理论
只能给出激光强度特性，不能 解释色散效应
一、原子自发辐射的经典模型 1.简谐振子模型 2.原子经典简谐振子模型
二、电偶极子物理模型及其辐射场
其中复振幅
p0
e2 m
o 2
E0
2 i
• 讨论：
x
e m
o2
E0
2
i
电子受迫振动 x 与驱动光波 E 频率相同； 分母中有虚因子 i ，说明受迫振动和驱动场之间有相位差； 当 o ，电子位移 x 为有限值，过程为 ：
过程开始，电子吸收能量 振动 发射次波； 达到稳态后，吸收与发射平衡，形成稳态振荡，称为散射过程 特点：电子本征能量不发生改变，只是入射光与散射光之间发生能量 交换（参见介质中电磁场理论相关内容）
高等光学
第十三讲
2012.12.17
第六章 光的吸收、色散和散射
§6-1 光与物质相互作用的经典理论
理论 对电磁场的处理 对粒子的处理
适应范围
经典理论 麦克斯韦方程组 经典力学
物质对光的吸收和色散现象， 自发辐射及谱线宽度
半经典 麦克斯韦方程组 量子力学 理论
量子理论 对电磁场和物质原子都做量子化 处理
电子运动方程为：
••
m x Kx 0
其解为：
x t x0ei0t
无阻尼振荡
其中 0为谐振频率，并且
0
K m
1
2
2.原子经典简谐振子模型
原子中的束缚电子受原子核和周围原子的共同作用，围绕其平 衡位置振动。
位能曲线
位能
建立运动方程：
斥力 平衡
位置
外场不大，只在平衡位置附近振动；
ro
简化：一维，平衡位置在 x 0 处；
三、电介质的极化率、复折射率和亥姆霍兹方程
一、原子自发辐射的经典模型
1.简谐振子模型
经典力学描述原子内部电子运动的物理模型——按简谐振动或阻 尼振动规律运动的电偶极子，称为简谐振子。
简谐振子模型认为：原子中的电子被与位移成正比的弹性恢复力 束缚在某一平衡位置，当电子偏离平衡位置而具有位移x时，就 将受到一个f=-Kx 恢复力的作用
通过求解有源波动方程，得电偶极子辐射
电磁波解为：
E(r , t)
eikr
4 oC 2r
d
2
p
dt 2
s in
e
H (r,t)
eikr
4 oCr
d 2 p dt 2
s in
e
z
EH
H
p
r
y
E
x
二者同相
平均坡印廷矢量不为零，有能量向远方辐射，称为自由电磁 波；
90 处辐射最大， 0 处辐射最小，关于 对称。
吸收造成光波振幅衰减，平面光波传播有：
1x
2 nx
nx
A E0e 2 E0e E0e c
平面波函数可表为：
nx (t n x)
E E0e c e c
将指数写到一起，有：
i (t n(1i ) x)
i (t n~ x)
E E0e
c
E0e
c
复数n称为介质的复折射率，其实部表示介质的折射率，虚部n表示 电磁波产生衰减
02 2 2)2
2 2
]
i
Ne2 [
0m
(02
2 )2
2 2
]
由复折射率的公式有：
~
n2 [n(1 i )]2 n2 (1 2 ) i2n2
故有：
n2 (1
2)
1
Ne2
0m
(02
02 2 2)2
2 2
2n2
Ne2
0m
(02
2 )2
2 2
以上两式（又称亥姆霍兹方程）： 实部反映了介质中感生电偶极子电矩所产生的附加场的效果； 虚部反映了感生电偶极子对外电磁波能量的吸收。
• 当 o，忽略阻尼，振幅 x ，过程为 ：
电子吸收光子跃迁到高能态，放出光子回到低能态，称为吸收、发射 过程，或称共振相互作用 特点：电子本征能量发生改变（参见半导体材料中量子力学理论相关内容）
二、电偶极子物理模型及其辐射场
一对等值异号电荷，简谐振动形式
（取球坐标，沿z方向振动）
p
po
eit
即：实部对的依赖关系称为色散，虚部引起电磁波的吸收。
亥姆霍兹方程讨论：
1. 当00时，吸收很小，阻尼忽略不记：
n2
1
Nzq 2
0m
02
1
2
——正常色散区域，Seilmeier方程
2. 当＝0时，n最大，共振吸收，n随增大而减小——反常色散区域
3. 当0时，n<1；但仍然属于正常色散区域，0
亥姆霍兹方程通过复折射率将光的色散和吸收联系在一起
U 1 Kx 2
K ：弹性常数
引力
2
弹性恢复力： F(x) U (x) Kx
x
运动方程：
m d 2 x Kx dt 2
m：电子质量
电子核距离
此外，要考虑：
辐射阻尼 (
电子运动速度)：
dx
dt
受迫振动，入射光波的电场力： eE
最终得到运动方程： （牛顿第二定律 F ma ）
d2x dt 2
dx dt
o2x
e m
E
电子加速度 阻尼力 弹性恢复力 外场力
方程求解：
设：外场是简谐场：
电子作简谐运动：
E Re E0 eit x Re xeit
问题：x ~ E 的关系是什么？
将
E, x
代入运动方程，得：
x
e m
o
2
E0
2
i
电偶极矩：
一个电偶极子的极矩： p ex
复数形式：
p Re p0 eit
实际上，原子中存在多种振子情况，其固有圆频率和阻尼系数分别 不同，亥姆霍兹方程将化为：
n2 (1 2 ) 1 Nzq2
0m
f j (02 2 )
j
(02 j
2 )2
2 2
j
2n2 Nzq2
0m
f j j
j
(02 j
2 )2
2 2
j
共振频率 0j 对应于能级跃迁的光子频率，振子数 fj 对应于跃迁概率
（参见陈军编著《光学电磁理论》Chap.1相关内容）
入射光波 其它场
极化波
束缚波（与波源同相） 自由波（相位迟后）
极化波：偶极子振动的传播
平均辐射能流为：
S
1 2
0
E
2
e4 E02
32 2 0c3m2r 2
sin 2
0cE02
2
re2 r2
s in
e2
re 4 0c2m ,
Hale Waihona Puke Baidu
经典电子半径
三、电介质的极化率、复折射率和亥姆霍兹方程
电介质为一个带电粒子系统，其内部存在不规则、迅速变化的微观电磁场 设介质单位体积内有N个电子，则介质的极化强度等有：
P Ner
P 0E
r 1
n v 1 c 1 00
rr
r
~
n2
r
1
P 1( )
0E
1
Ne2
0m(02 2
i)
上式右端的实部和虚部分开为：
'i
''
[1
Ne2
0m
(02
强度特性、增益饱和效应，多 模耦合与竞争效应，模的相位 锁定效应等
在严格的确定激光的相干性和 噪声以及线宽极限这些特性时 才是必要的
速率方程 量子理论简化形式 理论
只能给出激光强度特性，不能 解释色散效应
一、原子自发辐射的经典模型 1.简谐振子模型 2.原子经典简谐振子模型
二、电偶极子物理模型及其辐射场
其中复振幅
p0
e2 m
o 2
E0
2 i
• 讨论：
x
e m
o2
E0
2
i
电子受迫振动 x 与驱动光波 E 频率相同； 分母中有虚因子 i ，说明受迫振动和驱动场之间有相位差； 当 o ，电子位移 x 为有限值，过程为 ：
过程开始，电子吸收能量 振动 发射次波； 达到稳态后，吸收与发射平衡，形成稳态振荡，称为散射过程 特点：电子本征能量不发生改变，只是入射光与散射光之间发生能量 交换（参见介质中电磁场理论相关内容）