幂等矩阵的性质及其应用

幂等矩阵的性质及其应用

作者：刘嘉仑杨传胜

来源：《科技视界》2012年第31期

0 引言

幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其它课程中，如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。在代数学中，线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质，同时给出了一些相关的应用。

1 主要结果

首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。

定义1：若n阶方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。

下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。

定理1：幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。

证明：设A为任意一个幂等矩阵。

由A2=A，可得

λ2=λ

其中λ为A的特征值。于是有

λ=1或0，

命題得证。

推论：可逆的幂等矩阵的特征值均为1。

证明：设A为一可逆的幂等矩阵。由A2=A可得

A2A-1=AA-1

即

A=E。

此时有

λE-E=0

即

λ=1

其中，λ为A的特征值。命题得证。

定理2：任意的幂等矩阵A都相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得：

P-1AP=E■ 00 0，

其中r=R（A）。

证明：A为任意幂等矩阵，J为其Jordan标准型，即存在可逆矩阵P，使得

P-1AP=J=■，

其中Ji=■。

由此可得J 2=J。于是有，Ji 2=Ji。

此时，Ji只能为数量矩阵λ■E。

又因为A2=A，所以λ■=0或1，且r=R（A）。命题得证。

定理3：幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域，特征值为0的特征子空间为其零（核）空间。

证明：（i）A为一n阶幂等矩阵。？琢为其特征值1对应的特征向量。

则有，A？琢=？琢。由此可得？琢属于A的值域。

反之，对于任意一个A的值域中的向量？琢，总能找到一个向量β，使得

Aβ=？琢，

于是有A？琢=A2β=β，即？琢=β。

综上可知，幂等矩阵的特征值为1的特征子空间与其值域等价。

（ii）A为一n阶幂等矩阵。x为其特征值0对应的特征向量，则有

Ax=0，

即A特征值0对应的特征向量都属于A的核。

反之，对于任意的A的核中的向量y，也都满足Ay=0。

综上可知，幂等矩阵的特征值为0的特征子空间与其核等价。

由定理3我们可以得到一个有用的推论。

推论：若A为n维线性空间V上一n阶幂等矩阵，其秩为r，则有dimV0=n-r，

dimV1=r，其中V0为A特征值0对应的特征子空间，V1为A特征值1对应的特征子空间。

证明：由定理3可得，

dimV0=dimAV=R（A）=r，dimV1=dimA-1（0）。

又因为

R（A）+R（A-1（0））=n，

所以可得dimA-1（0）=n-r。命题得证。

下面给出两个例子说明幂等矩阵的应用。

例1：任意n阶矩阵A都可以分解成一个可逆阵与一个幂等矩阵的乘积。

证明：设R（A）=r，存在n阶可逆矩阵P，Q，使得

A=PEr 00 0Q

所以有

A=（PQ）（Q-1Er 00 0Q），

其中，PQ为可逆阵

而C2=Q-1Er 00 0QQ-1Er 00 0Q=Q-1Er 00 0Q=C

所以C为幂等矩阵。

例2：设A为n阶矩阵，且R（A）=r，证明：A2=A当且仅当A=CB，其中C为n×r矩阵，秩为r，B为r×n矩阵，秩也为r，且有BC=E。

证明：必要性：由于A2=A，由定理2可得，A相似于

Er 00 0，

即存在可逆矩阵P，使得

A=P-1Er 00 0P=P-1Er 00 0（Er 0）P。

记

C=P-1Er0B=（Er 0）P，

则R（C）=r，R（B）=r，并且A=CB，也有

BC=（Er 0）PP-1Er0=E。

充分性：设A=CB，且BC=E，那么

A2=（CB）（CB）=C（BC）=CEB=CB=A。

2 结论（下转第79页）

（上接第73页）综上，我们可以看出，幂等矩阵不仅在可对角化矩阵的分解中具有重要的作用，在线性变换的问题的解决上也有着广泛的应用。

【参考文献】

[1]北京大学数学系.高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003：273-311.

[2]侯君芳，黄丽莉.浅谈幂等矩阵的性质[J].科技风，Technology Trend， 2009（13）：6-13.

[3]朱军辉，程春蕊.幂等矩阵的性质[J].宜宾学院学报，2008（6）：26-27. [责任编辑：汤静]