高等数学 高斯公式

具有 一阶连续偏导数, 则有公式 高斯公式
Ω( P xQ yR z)dvP d yd z Q d zd xR d x d y
或 (P c o Q s c o R s co )d S s 这里 是的整个边界曲 外侧面 ,c的 os,cos, cos是上点 (x,y,z)处的法向量的.方向 3
高斯(Gauss)公式 通量与散度
的直即线边至界多面相交由 于1 两,点2,. 3
三部分组成:
1 :z z 1 (x ,y ) (取下侧)
2:z z 2 (x ,y ) (取上侧)
O
x D xy
n n y
3 :母线平行于z轴的柱面. (取外侧)
5
高斯(Gauss)公式 通量与散度
R zdvR (x,y,z)dxdy
由三重积分的计算法
P d yd zQ d zd xR d x d y
为向量场A (x,y,z)穿过曲面Σ这一侧的 通量.
上式即为通量的计算公式
25
高斯(Gauss)公式 通量与散度
2.散度 设有向量场
A (x,y,z)P ,(x,y,z)为场中任一点,
在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面
,它所围成的小区域及其体积记为 V,以
其 是 中 曲 zy线 1(1y 3 )绕y轴旋转
x 0
一周所成的曲面, 它的法向量与y轴正向的夹角
恒大于 .
2
z
解
z y 1 x 0
绕y轴旋转曲面方程为
O
n
y1z2x2(如图)
x
y
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高斯(Gauss)公式 通量与散度
高斯公式
欲 I ( 8 求 y 1 ) x d y d z 2 ( 1 y 2 ) d z d x 4 y d x d y z
Dxy
故所求积分为
dS 1 0 0dxdy dxdy
(x 2 co y s 2 co z s 2 co )d S s
z n
1h4h4
2
1 1
1 h
n
1h4.
2
1h4
1 2
O
x D xy
y
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高斯(Gauss)公式 通量与散度
利用高斯公式计算三重积分
I(x yy zz)x dv
自 己
Q y dvQ (x,y,z)dzdx 证
合并以上三式得
( P xQ y R z)dvP d y d z Q d zd x R d x d y 高斯公式
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高斯(Gauss)公式 通量与散度
若区域Ω的边界曲面 与任一平行于坐标轴 的直线的交点多于两点时, 可以引进几张辅助的 曲面把Ω分为有限个闭区域, 使得每个闭区域满 足假设条件, 并注意到沿辅助曲面相反两侧的两 个曲面积分的绝对值相等而符号相反, 相加时正 好抵消. 因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正 确的.
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高斯(Gauss)公式 通量与散度
例 计算曲面积分
(x 2 co y s 2 co z 2 s co )d S ,s其中 为
锥 x 2 面 y2z2 介于 z0 及 平 zh (h 面 0 )之间
部分的下侧. c o、 c so 、 c so是 s 在 (x,y,z)处
的法向量的方向余弦.
由高斯公式 I(x yy zz)xdv
[xy1 z(xy)z2]dxdy
外
2
由的侧 (外 面 )(母线平z行 轴于 的柱 ) 面
底1:面 z 0 (下 )和 , 上 2:z 面 1(上 )构,故成
I 2 d Dxy[ x1 y[ 12 s 12(xi c n y)o 121 ]dx( s dy s 极c i 坐标n ) o d ]s
1
由对称性
2 ((Pxx yQ yz)R zd)vd v2 (x d v y d v zd v )
先
二
2(zPdcvosQ c{ o( x s, y , Rz c) x o2 s 0)dy S2 z 2 , 0 0 z h } h
后 2 zdz dxdy
一
0 Dz
法 2 hzz2dz2 hz3dz h4
D xy
6
高斯(Gauss)公式 通量与散度
z
R dv R (x,y,z)dxdy 2:z z 2 (x ,y )
z
由曲面积分的计算法
1:z z 1 (x ,y ) O
n n
R(x,y,z)dxdy R(x,y,z)dxdyx Dxy n y
123
1 取下侧, 2 取上侧, 3 取外侧 一投,二代,三定号
高斯 Gauss,K.F. (1777–1855) 德国数学家、物理学家、天文学家
第六节 高斯 (Gauss)公式 通量与散度
flux divergence
高斯公式
物理意义---通量与散度
小结 思考题 作业
1
高斯(Gauss)公式 通量与散度
格林公式把平面上的闭曲线积分与 所围区域的二重积分联系起来.
使用Guass公式时易出的差错:
(1) 搞不清 P,Q,R是对什么变量求偏导; (2) 不满足高斯公式的条件, 用公式计算;
(3) 忽略了的取向, 注意是取闭曲面的
外侧.
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高斯(Gauss)公式 通量与散度
对有的非闭曲面 的曲面积分,有时可作 辅助面, 化为闭曲面的曲面积分, 然后利用 高斯公式.(将辅助面上的积分减去).
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高斯(Gauss)公式 通量与散度
由两类曲面积分之间的关系知
( P xQ yR z)dv (P c o Q s c o R s co )d S s
高斯Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其 边界曲面上的曲面积分之间的关系.
高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了 一个新途径,它能简化曲面积分的计算.
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高斯(Gauss)公式 通量与散度
例 计 I算 x 3 d y d z y 3 d z d x z 3 d x d y ,
P d y 为 d z Q d x zd 球 2 x y R 2d x 面 z d 2 y R 2 的 ( 外P x 侧 .Q y R z)dv
解 P x 3 ,Q 因 Σy 是3 ,闭R 曲 z 面3,可
R(x, y,z)dxdy R[x,y,z1(x,y)d ]xdy
1
Dxy
R(x, y,z)dxdyR[x,y,z2(x,y)d ]xdy
2
Dxy
R(x, y,z)dxdy0
3
7
高斯(Gauss)公式 通量与散度
Rdv z
{ R [x ,y ,z 2 (x ,y ) ] R [x ,y ,z 1 (x ,y )d ] x d y }
补1:y3, 取右侧.
z
有 I 1 1
1 P x Q y R z d xd yd z
n
O
x
n
y
y1z2x2
( 8 y 1 4 y 4 y)d x d y d z
D zx:x2z2( 2)2
dv
3
2
dxdz dy d
1z2x2
0
2 0
d
13 2dy柱 坐
Dxz
本节的高斯公式表达了空间闭曲面 上的曲面积分与曲面所围空间区域上的 三重积分的关系.
它有明确的物理背景— 通量与散度.
2
高斯(Gauss)公式 通量与散度
一高、斯公高式称斯为奥公高公式式,或奥斯特洛格拉斯基 公式.(俄)1801 –1861
设空间 闭 由区 分域 片光滑 围 的,成 闭
函 P ( x , y , z ) 、 数 Q ( x , y , z ) 、 R ( x , y , z ) 在 上
x2y2z24所围立体的表面外侧.
如直接计算
z
y
分析 被积函数中有抽象函数,
O
故无法直接计算. 用高斯公式.
x
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高斯(Gauss)公式 通量与散度
解 由于P x3, Q1 f yy3, R1 f yz3,
z z
y z
P3x2, x
Q yz12 fzy3y2, R zz12fzy3z2
故由高斯公式
00
2
11 .
24
19
高斯(Gauss)公式 通量与散度
例 计算设f(u)是有连续的导数,计算
I x 3 d y d z 1 z f z y y 3 d z d x 1 y f z y z 3 d x d y ,
Σ是锥面 x y2z2 和球面 x2y2z21及
其 是 中 x 由 0 ,y 0 平 ,z 0 ,z 面 1 以及
圆柱面 x2 y2 1围在第一挂限内的. 立体
提示 由于 P,Q,R选取相当自由，考虑到 x y z
的边界面 , 取
PQ0, Rxyz1y2z1x2z
则 Rxyyzzx
22
z
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高斯(Gauss)公式 通量与散度 PQ0,Rxyz1y2z1x2z 22
P 利3x用2,高Q斯公3式y2计, 算R. 3z2
z
x
y
z
I3 (x 2y2z2)d x d y d z
球 3r2r2sin drdd
O
y
x
32 ddR r4sid n r 12 R5
0 00
5
12
高斯(Gauss)公式 通量与散度
( P xQ y R z)dvP d yd zQ d z 高d x 斯 公R 式d x d y
0
0
2
z n
1 h
n
O
x D xy
y
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高斯(Gauss)公式 通量与散度
1 :z h ,( x 2 y 2 h 2 )
(x 2 co y s 2 co z s 2 co )d S s z2dS
1
1
h2dxdy h4 co 0 s ,co 0 s ,co 1 s
解 空间曲面Σ在xOy面上的
z n
投影域为 Dxy ,曲面 不是
封闭曲面, 为利用高斯公式.
1 h
n
补 1 : z h ,( x 2 y 2 h 2 )
1取上,侧 1构成封闭曲面,
O
x
D xy
y
1围成空间区 .在域 上使用高斯公式.
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高斯(Gauss)公式 通量与散度
(x 2 c o y s 2 c o z s 2 co )d S s
D xy
于是 R(x,y,z)dxdy { R [x ,y ,z 2 (x ,y ) ] R [x ,y ,z 1 (x ,y )d ] x d y } D xy
R zd v R (x,y,z)d x d y
8
高斯(Gauss)公式 通量与散度
R zdvR (x,y,z)dxdy
同理 P x dvP (x,y,z)dydz
故 I 2 ( 32 )34 1 1 2 1 24
高斯(Gauss)公式 通量与散度
二、物理意义 通量与散度
flux divergence
1. 通量
设有一向量场 A P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k
则称沿场中有向曲面Σ某一侧的曲面积分:
( P xQ yR z)dvP d yd zQ d zd xR d x d y
证 设空间区域Ω 在xoy面上的投影域 Dxy为
假设 : z 1 ( 域 x 的 , y ) 边 z 界 z 2 ( 曲 x , y ) 面 ( x , 与 , y ) 坐 任 D 标 x 一 柱 轴 zy 平 面 行 n
标
202(23)d2.
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高斯(Gauss)公式 通量与散度
求 I ( 8 y 1 ) x d y d z 2 ( 1 y 2 ) d z d x 4 y d x d z y
1
0
0
2(13 2)dzdx 补 1:y3,取右侧
1
Dzx
D zx:x2z2( 2)2
16dzdx
Dzx
16( 2)232
( P xQ yR z)dvP d yd z Q d zd xR d x d y
证明思路 分别证明以下三式,从而完成定理证明.
P x dvP (x,y,z)dydz
Q y dvQ (x,y,z)dzdx R zdvR (x,y,z)dxdy
只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明.
4
高斯(Gauss)公式 通量与散度
投影法(先一后二法)
R dv
z Dxy
z2(x,y)Rdz dxdy
z1(x,y) z
R(x,y,z)zz1 2((x x,,yy))dxdy
Dxy
z
O
x D xy
n
n
n y
{ R [x ,y ,z 2 Baidu Nhomakorabeax ,y ) ] R [x ,y ,z 1 (x ,y )d ] x d y }
I3(x2y2z2)dv
z
y
球 3r4 sindrdd
2
= 3 d
4 sind
2 r 4dr
0
0
1
O
x
93(2 2).
5
21
高斯(Gauss)公式 通量与散度
计算曲面积分
I ( 8 y 1 ) x d y d z 2 ( 1 y 2 ) d z d x 4 y d x d z y