逻辑函数的卡诺图化简

2. 卡诺图上最小项的相邻性
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1）几何相邻 2）相对相邻 3）重叠相邻
演示
3. 卡诺图的填写方法
1. 函数为最小项表达式
因为构成函数的每一个最小项，其逻辑取值都是使函数值为1的 最小项，所以填写卡诺图时，在构成函数的每个最小项相应的小方 格中填上1，而其它方格填上0即可。也就是说，任何一个逻辑函数 都等于它的卡诺图中填1的那些最小项之和。
解：作出逻辑函数F(A,B,C,D)的卡诺图如下。若将任意项全部看 作为1来处理，卡诺圈构成如图a）所示，函数化简为：
F(A, B,C, D) A BC BD A B(C D)
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a）
b）
若将任意项全部看作为0来处理，卡诺圈构成如图b）所示，函数化简 为：
复习（提问）： 逻辑函数的几种表示方法的相互转换。
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逻辑函数卡诺图化简
卡诺图适合于化简变量数小于5的逻辑函数。 1 卡诺图的结构
2变量逻辑函数的方格表示 卡诺图：每个小方格表示了函数的一个最小项，每相邻小方格的变量 组合之间只有一个变量不同。 演示
在画卡诺图时，通常将原变量用“1”表示，反变量用“0”表示， 将变量组合标注在大方格的左上角，在大方格的左边和上边标注变量 组合的取值，小方格中只需标出对应最小项的编号就行了。
相个
加圈
3 最简与或表达式
Y (A, B,C, D) BD CD AC D
两点说明：
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① 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成 的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。
AB
CD
00 01 11 10
00 1 1 0 1
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用卡诺图化简逻辑函数举例
例1. 化简函数F(A,B,C,D)=∑m(3,4,5,7,9,13,14,15)。 解：首先作出逻辑函数F的卡诺图如下：
F ( A, B,C, D) ABC ABC ACD ACD
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卡诺图化简逻辑函数的步骤
用卡诺图化简逻辑函数可按下列步骤进行：
①将逻辑函数用卡诺图表示出来。
②首先圈出没有相邻最小项的孤立的值为1的最小项方格，这是一 个主要项。
③找出只有一种合并可能的值为1的最小项方格，从它出发将所有 为1的相邻最小项按2的整数次幂为一组构成卡诺圈，所有圈中必须至 少有一个为1的最小项方格没有被圈过，并使所有的圈尽可能大。
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AB CD 00 01 11 10
00 1 1 0 0 01 1 1 1 0
11 0 0 1 0 10 1 0 1 0
AB CD 00 01 11 10
00 1 1 0 0
01 1 1 1 0
11 0 0 1 0 10 1 0 1 0
ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤ ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ
④写出最简的函数表达式。
演示1
演示2
基本步骤图示
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逻辑表达式 或真值表
Y(A, B,C, D) m(3,5,7,8,11,12,13,15)
1 1
卡诺图
AB
CD
00
01
11
10
00
0
0
1
101 011011 1
1
1
1
10
0
0
0
0
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例1. 作出逻辑函数F（A,B,C,D）=∑m（1,3,6,7）对应的卡诺图。
解：先作一个4变量的卡诺图，在编号为1、3、6、7的小方格中 填 写 1 ， 其 余 小 方 格 中 填 写 0 ， 得 到 逻 辑 函 数 F（A,B,C,D）=∑m （1,3,6,7）的卡诺图如下。
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F(A, B,C, D) AB C ABC ABD AB C AB(C D)
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6. 多输出逻辑函数的化简
关键：充分利用各函数间可供共享的部分。 衡量多输出逻辑函数最简的标准： • 逻辑表达式中包含的不同的“与项”总数最少。 • 在“与项”总数最少的前提下，各不同“与项”中所包含的变量总数最 少。
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逻辑函数的卡诺图化简
课时授课计划 课程内容
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内容：逻辑函数的卡诺图化简法
目的与要求： 掌握卡诺图的填写方法； 掌握最小项的卡诺图表示； 熟练运用卡诺图化简逻辑函数。
重点与难点： 重点：用卡诺图表示逻辑函数； 用卡诺图化简逻辑函数； 具有无关项的逻辑函数的化简。 难点：卡诺图填写； 具有无关项的逻辑函数的化简。
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1~5变量逻辑函数的卡诺图
n变量的函数有2n个最小项，卡诺图上有2n个小方格，每个最小项有 n个最小项与之相邻。由于两个相邻最小项只有一个变量不同且互为反 变量，因而两个相邻最小项合并后可以消去一个变量。也就是说卡诺图 上两个相邻的小方格合并可以消去一个变量；四个相邻的小方格合并可 以消去二个变量；八个相邻的小方格合并可以消去三个变量；十六个相 邻的小方格合并可以消去四个变量；……。这就是用卡诺图化简逻辑函 数的原理。
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2. 函数为最大项表达式
因为相同编号的最小项和最大项之间存在互补关系，所以使函数值 为0的那些最小项的编号与构成函数的最大项表达式中的那些最大项编号 相同，按这些最大项的编号向卡诺图的相应小方格中填上0，其余方格上 填上1即可。
例2.作出函数F（A,B,C,D）=∏M（3,4,8,9,11,15）对应的卡诺图。 解：先作一个4变量的卡诺图，在编号为3、4、8、9、11、15的小方 格中填写0，其余小方格中填写1，得到逻辑函数F（A,B,C,D）=∏M （3,4,8,9,11,15）的卡诺图如下。
3. 函数为任意与或表达式
首先分别将每个与项的原变量用1表示，反变量用0表示，在卡诺 图上找出交叉小方格并填写1，没有交叉点的小方格填写0即可。
例3. 作出函数F(A,B,C,D)=AB+BC+CD对应的卡诺图。
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4. 卡诺图化简逻辑函数
一般规则：2n个相邻最小项构成的一个矩形框可合并为一项，该项仅含有这 些最小项中的公共因子，其余n对以原变量和反变量形式出现的因子均可消去。 卡诺圈包含值为1的最小项的数目必须是2n（n=1，2，3…）。
主要项：把2n个为1的相邻最小项进行合并，若卡诺圈不能再扩大，则圈得的合 并与项称为主要项。 必要项：若主要项圈中至少有一个为1的“特定”最小项没有被其它主要项所覆 盖，则称此主要项为必要项或实质主要项。最简逻辑函数中的与项都是必要项。 冗余项：若主要项圈中不包含有为1的“特定”最小项，或者说它所包含为1的最 小项均已被其它的主要项圈所覆盖，则称其为冗余项或多余项。
01 0 1 1 1
11 0 0 1 1
10 0 0 0 0
AB
CD
00 01 11 10
00 1 1 0 1
01 0 1 1 1
11 0 0 1 1
10 0 0 0 0
ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ 不是最简
ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ 最简
② 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。 即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。
例1. 化简下列两输出的逻辑函数
F1 AB C ABC ABC F2 ABC ABC ABC
解：① 若按单个函数分别化简，则：
F1 AB AC F2 AB BC
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两个表达式中共有4个不同的与项，变量总数为8个。
② 若将函数F1和F2 中的公共与项“ABC”公用，则两个输出函数分 别化简为：
例2. 化简函数F(A,B,C,D)=∑m(2,3,5,7,8,10,12,13)。 解：首先作出逻辑函数F的卡诺图如下：
F(A, B,C, D) AC D BCD ACD BCD F(A, B,C, D) AB D ABC ABD A BC
可见，函数的化简结果不具有唯一性，函数表示的唯一性仅在最大项 表达式或最小表达式中才具有。
①画出函数对应的卡诺图，任意项对应的小方格填上φ或d或×。 ②按2的整数次幂为一组构成卡诺圈，如果任意项方格为1时可以圈得 更大，则将任意项当作1来处理，否则当0处理。未被圈过的任意项一律当 作0处理。 ③写出化简的表达式。
演示
例1 化简函数 F(A,B,C,D)=∑m(5,6,7,8,9)+∑φ(10,11,12,13,14,15)
4.函数为任意或与表达式
对于任意的或与表达式，只要当任意一项的或项为0时，函数 的取值就为0。要使或项为0，只须将组成该或项的原变量用0、反 变量用1代入即可。故填写方法是：首先将每个或项的原变量用0、 反变量用1代入，在卡诺图上找出交叉小方格并填写0；然后在其余 小方格上填写1即可。
例4. 作出函数 F ( A, B,C, D) ( A C)(B D)(C D) 对应的卡诺图。
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5. 具有任意项的逻辑函数的化简
任意项（无关最小项）：不决定函数的值的最小项。 从定义可以看出，与任意项对应的逻辑函数值既可以看成1，也可以看
成0。因此在卡诺图或真值表中，任意项常用φ或d或×来表示；在函数表 达式中常用φ或d来表示任意项。如：
F(A,B,C)=∑m(0,1,5,7)+∑d(4,6) 化简具有任意项的逻辑函数的步骤是：
１则几目①
的它个必圈
方就圈须越
格是内为大
。多 ， 2i 越
余但个好
AB CD
的每。，
2
。个②但 ③圈同每
00 01
不都一个 能要个圈
11
漏有方中 掉新格标
10
任的可１
何方同的
一格时方
个，画格
标否在数
合并最小项
2 ＡＣＤ
00
01
11
10
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1 ＣＤ
0
0
0
0
ＢＤ
冗余项
的将
乘代
3
积表
项每
F1 AB ABC F2 BC ABC
两个表达式中共有3个不同的与项，变量总数为7个。虽然单个函数不 是最简，但充分利用了函数的公共“与项”，使总体效果达到了最佳。