浅谈初中平面几何常见添加辅助线的方法

浅谈初中平面几何常见添加辅助线的方法

当今社会，数学作为一门基础学科，发挥着越来越来越重要的作用，学好数学尤为重要。作为新世纪的教师，教学要坚持“以人为本，以学生的发展为本”，要能真正展现学生是数学学习的主人，使学生积极地参与教学活动，探索知识的形成过程，学得并掌握获取知识的方法和途径，使思维的能力在探索过程不断升华和发展。因此我在教学过程中，相应地采用各种教学方法去启发和促进他们的求知和探索欲，引导学生归纳知识点之间的内在联系，总结解题规律，使数学的学习更有时效性。

初中数学包括代数与平面几何两大部分。代数部分的学习，一般都有公式可套，题型较为集中，学生学习起来比较轻松。而平面几何是一门提高学生逻辑思维和分析能力的学科。对于大部分学生来说学习起来比较困难。往往学生最为头痛的就是如何在这些错综复杂的几何图形去添加合适的辅助线，其实添加辅助线也是有规律可循，教师在教学的过程中，不但要引导学生对知识进行系统的整理，同时也要引导学生对教材（包括例、习题）深入挖掘、提炼总结其思想实质，揭示归纳方法因素，以其更好地发挥思想方法的整体功效，从而提高解题技巧。这里介绍几种常见的添加辅助线的方法。

一、过分点添平行线

相似形是初中数学的重要内容，由于近年来各地的中考试题向重视学生能力方面快速倾斜，我们在学习相似形内容时，不仅需要掌握相似形的一些基本概念、性质和基本题形，还需要灵活运用所学相似形的基本知识进行补充、延伸、拓宽。这里，笔者通过大量的习题研究证明一些线段成比例的题型中，发现了过分点添平行线的一种比较好的添线方法，现说明如下：在证明一些线段成比例的题型中，若图形中未出现相似三角形中的基本题型：A字型与X型，通常需要通过找一些分点添平行线去构造这些基本题

型。而且找分点还是有规律可循。通常可把条件中出现的已知比例或分点的线段和结论中所要证明的线段所在的直线称为热线，把几条热线的交点称为热点。那么过分点添平行线即可实际操作为过热点添热线的平行线。以下举一道例题加以说明：

例：点D 是三角形ABC 边AC 上的中点，过D 的直线交AB 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：。BF

CF EB AE = 分析：条件中出现已知中点的线段是AC 、结论中有关的线段落在AB 和BF 上，所以本题中的热线为AC 、AB 和BF ，这三条线段的交点分别为A 点、B 点和C 点，此三点即为三个热点。所以本题的证明方法主要有三种。

解法一：过热点A 作热线BF 的平

行线，交FE 的延长线于点G ，那么就有。BF

AG EB AE = 只要证得AG=CF 即可。 证明：过点A 作BF 的平行线，交

FE 的延长线于点G 。∵AG ∥BF ∴BF AG EB AE = DC

AD CF AG = 又 ∵D 为AC 的中点，∴AD=DC

∴AG=CF ∴BF

CF EB AE = 解法二：过热点B 作热线AC 的平

行线，交FE 的延长线于点H ，那么就有

BH AD EB AE =及BH

DC BF CF =,只要证得AD=CD ，本题即可得证。

解法三：过热点作C 热线AB 的平

行线，交FE 的延长线于点H ，那么就有

F

BF

CF EB CH ,只要证得CH=AE ，本题即可得证。

F

一题本来比较复杂的几何题型，通过热线热点这些较为通俗易懂的字眼，使题目简单化，既能提高学生学习几何的兴趣，引导了学生归纳知识点之间的内在联系，总结解题规律，从而提高学生归纳及解题能力。 二、 在梯形中常添的辅助线

初二几何中梯形面积公式的教学，教材中给出作对角线、把梯形分成两个三角形的解法，教学中不应该停留在这种表层的认识上，应引导学生这种方法的深层次含义，既通过“分解与组合”思想，实现把未知问题转化为已知问题，并进而引导学生运用这种思想方法去探求问题的其他解法，培养学生思维的灵活性。在梯形中常见的有以下六种题型：

（1） 已知两底之差或求两底之差的题型，常过上底的一个端点添一腰

的平行线与下底相交；达到把梯形分解成一个平行四边形与三角

形的目的；求（图1）；

（2） 已知梯形的上底和底，求面积，常过上底的两个端点向下底作垂

线，添高；（图2）；

（3） 延长两腰交于一点，可得到一对相似三角形 （图3）；

（4） 已知梯形对角线相等或互相垂直的题型，常过上底的一个端点作

一对角线的平行线，与下底的延长线相交，体现组合的思想（图

4）；

（5） 有中点时，常过一腰的中点作另一腰的平行线，分别与上底的延

长线、下底相交（图5）；

（6） 有中点时，也常连接上底的一端点与另一腰的中点并延长，与下

底的延长线相交（图6）。

(6)

(5)(4)(3)

(2)(1)

例 已知等腰梯形ABCD 的高是9㎝，AB ∥CD ，A C ⊥BD ，求它的面积。

三 、连接两点法

三角形包括三条边、三个角这六个元素，若已知或需证明某些边、角的等量关系时，若不能直接从已知的条件中进行证明，那么此时可以考虑连接两点构造新的三角形，使所证的元素在所构造的新的三角形中。可通过证所构造的三角形全等或相似来证明结论。

分析：本题中，既有梯形对角线相等又有互相垂直的条件，可过上底的一个端点添一对角线的平行线，可得 ACE 是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，求得AE 是18㎝，梯形的面积就能得解。

四、在圆中常添弦心距

在与圆有关的题目中，已知弦、弦所对的弧、圆心角、半径等条件时，常添加弦心距，利用垂径定理或圆的有关性质解题。

例 已知：以点O 为圆心画两个不等的圆，大圆的弦AB 交小圆与C 、分析：∠A 与∠C 分别在∆ABO 和

∆CDO 中，

若通过直接证明这两个三角形全

等，根据已知条件显然不够，观察

已知条件中的四条边正好组成

∆ABD 和∆CDB ，而BD 正好又是两

个三角形的公共边，发现只要证明

∆ABD 和∆CDB 全等，本题结论即

可得证。

例 已知AB=CD ，AD=BC ，求证：∠A= ∠C

证明：连接BD

在∆ABD 和∆CDB 中， AB=CD （已知）

AD=CB （已知）

BD=DB （公共边） ∴∆ABD ≅∆CDB （S 。S 。S ） ∴∠ A= ∠ C （全等三角形的对应角相等） 证毕

{ A B C D o