夫琅禾费衍射

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2
光的衍射 习题课
一、基本要求
1．了解惠更斯—菲涅耳原理
2．掌握单缝夫琅禾费衍射的条纹分布，以 及缝宽，波长等对衍射条纹的影响
3．理解光栅衍射方程，会分析光栅常数，
光栅缝数N等对条纹的影响
二、基本内容
1．单缝夫琅禾费衍射
（1）半波带法的基本原理
（2）明暗条纹的条件
（3）缺级条件，当
(b b)sin k k 0,1,2,
bsin k k' 1,2,
同时成立时，衍射光第 k 级缺
级且 k b b' k' b
3．光学仪器的分辩率
最小分辨角 0
1,22
D
三、讨论 1．由下列光强分布曲线，回答下列问题 （1）各图分别表示几缝衍射 （2）入射波长相同，哪一个图对应 的缝最宽
可见到17条（实际15条）
（3）此时屏上条纹不再对称， 在一侧有
(b b) sin 30 (b b) sin k
当 90时，k 15
另一侧有 (b b)(sin 30 sin ) k
90时，k 5
考虑到第4，8，12及-4
i
为缺级以及实际效果，共
观察到15条明纹，全部级
Nd
由图，有： k Nk 1 ( )
d
Nd
得 R Nk 1 Nk，(k 0)
(N >>1)
N k
R
例如：
N = 4 I 0级 1级
sin -2(/d)-(/d) 0 /d 2/d
3
4d 2d 4d
N 4, k 1 : 设
sin Nk 1 ( )
a
5000
2 104
0
A
0 25
（3）由光栅公式
I
d sin k
k 4 sin 0 25 0
d
4 5000
8 104
0
A
0 25
或由缺级条件： d 4 a
0
d 4a 8104 A
sin 0.25
[例] 一平面衍射光栅，每厘米刻1000条，用可见光 垂直入射，缝后透镜焦距 f =100 cm。求：
f
可允许在屏上x=1.5mm处的明纹为波长
600nm的第二级衍射和波长为420nm的第三
级衍射
（2）此时单缝可分成的波带数 分别是 k 2,时 为 2k 1 5
k 3,时 为 2k 1 7
讨论：当单缝平行于透镜（屏）上下微小 平移时，屏上的条纹位置是否也随之移动.
位置不变！为什么？
2．双缝干涉实验中，缝距b b 0.4mm ，
1、光栅衍射第一级完整可见光谱所占宽度
2、证明第二、三级光谱重叠
3、用红光 7000A 入射，b 3a,
最多看到主明纹条数
解：1. d sin k
d a b 105m k 1:
1 4 107 m
sin1
1
d
0 04
2 7 107 m
s in 2
2
d
0 07
x f (tg2 tg1 ) f (sin2 sin1 ) 3(cm)
中心位置 因为sin xk
f
xk b b fk
条纹间距
x
xk 1
xk
b
b'
f
24 103 m
（2）欲求在单缝中央
x
明纹范围内有多少条明 纹，需知单缝衍射中央
明纹宽度 l 2 f
b
x o
f
（由 b sin 求得）
所以该范围内有明条纹为
2f
l x
b
f
2 b b 10 b
0
[例] 入射光 5000A ，由图中衍射光强分布确定
(1) 缝数 N = ?
I
(2) 缝宽 a = ?
(3) 光栅常数 d = a+b = ? 0
sin 0.25
解： （1）由相邻主极大之间有N-1条暗纹，N-2条 次极大可知：N＝5。
（2）由单缝衍射暗纹公式 a sin k k 1 sin 0 25
x o
f
讨论：
（1）由于受到单缝衍射效应 的影响，只有在单缝衍射中央 明纹区内的各级主极大光强度较大，通常 我们观察到光栅衍射图样就是在单缝中央 明纹区域邻近的干涉条纹
（2）若取 b b b ，使单缝衍射中央
明纹宽，那么，在中央明纹区域内，观察 到主极大数目愈多，且各明条纹强度也愈 接近（如图）
2. 红光
k2
sin 21 014 d
紫光
k 3 sin 32 012 014
d
二、三级光谱重迭
d
3. km 14 2
kmax 14
缺级 d a b 4a d sin k
a sin k
k 4k
k 1,2,3
第 12、8、4、-4、-8、-12 级主明纹缺级
最多可见主明纹： 214 1 6 23条
b sin k
b sin (2k b sin
1)
2
（3） 条纹宽度
k 1,2暗纹中心 k 1,2明纹中心 中央明纹
中央明条宽度：角宽度
0
2b
线宽度 x0
2 b
f
明条纹宽度 x f
b
2．衍射光栅
（1）光栅衍射是单缝衍射和各缝干涉的总 效果
（2）光栅方程
(b b)sin k k 0,1,2,
已知 (b b) sin 2 2
(b b) sin 3 3
得 b b 6 104 m
又因第4级缺级，则由 k
b
b
k
，
得
b b 4
b
b 1.5104 m
b
（2）设 90，则 (b b) sin k
可以见到 2k 1 21 （k=10条)，包括零
级明纹，但是：由于有缺级，(4,8) ，则
缝宽b 0.08mm，即双缝（N=2）的衍射，
透镜焦距f=2.0m，求当 480nm 光垂直
入射时，
（1）条纹的间距
（2）单缝中央亮纹范围内的
明纹数目（为什么要讨论这一
问题？）
x
解：分析
双缝干涉却又受 到每一缝（单缝） 衍射的制约，成为 一个双缝衍射， (图示衍射图样)
x o
f
（1）由 (b b) sin k 得明纹
Nd
41 1 ( ) 3( )
4d
4d
光栅的色分辨本领：
R Nk，(k 0)
例如，对波长靠得很近的Na双线：
1 = = 589 nm 2 = + = 589.6nm R 589 982 Nk
0.6 若 k = 2，则 N = 491 都可分辨出Na双线 若 k =3， 则 N = 327
色散本领只反映谱线主极大中心分离的程度， 但不能说明谱线是否重叠， 因为谱线本身是有
宽度的，为此引入色分辨本领。
设入射波长为 和 + 时，两谱线刚能分辨。
定义： 光栅的色分辨本领 R
按瑞利判据：
的k级主极大
sin k
d
+的k级主极大
sin
对应k Nk 1的（ ）的暗纹，sin k( )
（3）各图的 b b 等于多少？有 哪些缺级? b
I
图（a）双缝衍射
I0
N2
b b
o
2
sin
b
图（a）
k 2,4,6 ……缺级
中央明纹中有3个主极大
（1）各图分别表示几缝衍射
（2）入射波长相同，哪一个
图对应的缝最宽
（3）各图的 b b 等于多少？有哪些缺级?
I
b
I0
N 4 b b 4
R 1 D
1.22
D
R
二、光栅光谱， 光栅的色散本领 sin k，k 0，1，2，
k 一定时， ，不同颜色光的
主极大位置也不同，形成同一级光谱。
白光（350770nm）的光栅光谱是连续谱：
-3级
3级
-2级 -1级 0级 1级 2级 (白)
2、光栅的色分辨本领 （resolving power of grating）
f
x
x o f
由式（1），式（2）得，
(x) 处波长为 2bx
f (2k 1)
在可见光范围内，满足上式的光波：
k 1, 1 1000nm
(x 1.5mm, f 50cm) x
k 2, 2 600nm (符合)
k 3, 3 420nm (符合)
x o
k 4, 4 333nm
[例] 已知： 5000A
30o d 2.5a 2μ m
求： 1. 中央主极大位置
2. 屏中心 F 处条纹级次
3. 屏上可见到哪几级主明纹？
解：由 d sin d sin k
1. 中央主极大 0
sin sin 30o
2. 屏中心 F 处 0
d sin k
k
d sin
3．x=600nm单色光垂直入射光 栅，已知第二级，第三级明纹 分别位于sin 2 0.2与sin 3 0.3 处，且第4级缺级，求
（1）光栅常数（ b b）和缝宽b
（2）在屏上实际显示的全部级数为多少？
（3）若以 i 30角倾斜入射光栅，在屏上
显示的全部级数为多少
解（1）由光栅方程，有
(b b) sin k
数为 0,±1,±2,±3,4,5,6,7,9,10,11,13,14
几何光学：
（经透镜）
物点 象点
物（物点集合） 象（象点集合）
波动光学 ： （ 经透镜） 物点 象斑
物（物点集合） 象 （象斑集合）
衍射限制了透镜的分辨能力。
瑞利判据（Rayleigh criterion）： 对于两个等光强的非相干的物点，如果
一个象斑的中心恰好落在另一象斑的边缘 （第一暗纹处），则此两物点被认为是刚刚
b
k 4,8,12缺级
o
sin
图（b）
中央明纹中有7个主极大
（1）各图分别表示几缝衍射
（2）入射波长相同，哪一个
图对应的缝最宽
（3）各图的 b b 等于多少？有哪些缺级?
b
I
I0
N 1单缝衍射
缝最宽
o
sin
图（c）
(因为x0
2f
b
）
I I0
o
sin
图（d）
N 3
b b 3 b
k 3,6,9
可以分辨的。若象斑再靠近就不能分辨了。
非相干叠加
两个光点 刚可分辨
瑞利判据
两个光点 不可分辨
小孔（直径D）对两个靠近的遥远的点光源的分辨 离得远 可分辨
瑞利判据 刚能分辨
离得太近 不能分辨
S1
D
*
0
*
I
S2
最小分辨角（angle of minimum resolution）：
1
1.22
D
分辨本领（resolving power）：
缺级
中央明纹中有5个主极大
四、计算
1．单缝衍射，缝宽b=0.5mm， 透镜焦距f=50cm，以白光垂直 入射，观察到屏上 x=1.5mm明纹中心
求：（1）该处光波的波长
（2）此时对应的单缝所在处的波阵面分成
的波带数为多少？ 解（1）由单缝衍射明 纹条件得b sin (2k 1)
k 1,2（1） 2 又因为 sin x （2）
b b
或者从中央明纹半（角）宽
x
度来考虑，则有明纹
l f
2 x
b
f
b b 5 b
b b
x o
f
即总共可以看到11条（包括
零级明条）的明条纹，但是
因为 b b 5，即出现缺级现象
b
(5, 10)
所以，在单缝中央明级范围内可以看到9
条明纹(-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4) x
光学仪器的分辨本领 光栅光谱
一、透镜的分辨本领 1、圆孔的夫琅禾费衍射
I / I0
相对光 强曲线
1
衍射屏 L 观察屏
1
中央亮斑
（爱里斑）
圆孔孔径为D f
（Airy disk）
sin
0
1.22(/D)
爱里斑
D sin1 1.22
【演示】圆孔衍射
D 爱里斑变小
集中了约 84% 的 衍 射光能。
2、透镜的分辩本领