沪科版数学七年级下册解题技巧专题：分式化简求值的方法与技巧

解题技巧专题：分式化简求值的方法与技巧 ◆类型一 着眼全局，整体代入

1．已知1a －1b ＝13，则ab 6a －6b

的值为( ) A .12 B ．－12

C ．2

D ．－2 2．若a 2＋b 2＝3ab ，求分式⎝⎛⎭⎫1＋2b 2

a 2－

b 2⎝⎛⎭⎫1＋2b a －b 的值．

◆类型二 巧妙变形，构造代入

3．已知x 2－3x ＋1＝0，则x x 2－x ＋1

的值是( ) A .12 B ．2 C .13

D ．3 4．★若x －1x ＝4，则x 4＋x 2＋1x 2

＝________． 5．★★已知a ，b ，c 不等于0，且a ＋b ＋c ＝0，求a(1b ＋1c )＋b(1a ＋1c )＋c(1a ＋1b

)的值．

◆类型三 参数辅助，多元归一

6．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2的值．

7．已知a ＋b a －b ＝32

，求分式a 2－b 2ab 的值．

◆类型四 打破常规，倒数代入

8．★已知x x 2＋x ＋1＝13，求x 2

2x 4－3x 2＋2

的值．

9．★★已知ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ac a ＋c ＝15，求abc ab ＋ac ＋bc

的值．

参考答案与解析

1．B 解析：因为1a －1b ＝13，所以ab ＝－3(a －b )，所以原式＝ab 6（a －b ）＝－3（a －b ）6（a －b ）

＝－12. 2．解：⎝⎛⎭⎫1＋2b 2

a 2－

b 2⎝⎛⎭⎫1＋2b a －b ＝a 2－b 2＋2b 2a 2－b 2·a －b ＋2b a －b ＝a 2＋b 2a 2－b 2·a ＋b a －b ＝a 2＋b 2（a －b ）2＝a 2＋b 2a 2＋b 2－2ab .因为a 2＋b 2＝3ab ，所以原式＝3ab 3ab －2ab

＝3. 3．A 解析：因为x 2－3x ＋1＝0，所以x 2＝3x －1，所以原式＝x 3x －1－x ＋1＝12

. 4．19 解析：已知等式两边同时平方得⎝⎛⎭⎫x －1x 2＝x 2－2＋1x 2＝16，即x 2＋1x 2＝18，则x 4＋x 2＋1x 2

＝x 2＋1＋1x 2＝18＋1＝19. 5．解：因为a ＋b ＋c ＝0，所以a ⎝⎛⎭⎫1b ＋1c ＋b ⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＋c ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a ⎝⎛⎭⎫1b ＋1c ＋1a －1＋b (1a ＋1c ＋1b

)－1＋c ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c －1＝(1a ＋1c ＋1b

)(a ＋b ＋c )－3＝－3. 6．解：设x 2＝y 3＝z 4＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，所以xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2＝2k ·3k ＋3k ·4k ＋2k ·4k （2k ）2＋（3k ）2＋（4k ）2

＝6k 2＋12k 2＋8k 24k 2＋9k 2＋16k 2＝2629

. 7．解：设a ＋b ＝3k ，a －b ＝2k ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3k ，a －b ＝2k ，解得⎩

⎨⎧a ＝52k ，b ＝12k ，所以a 2－b 2ab ＝245. 8．解：因为x x 2＋x ＋1＝13

，所以x 2＋x ＋1x ＝3，x ＋1＋1x ＝3，x ＋1x ＝2.所以x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2

－2＝4－2＝2.所以2x 4－3x 2＋2x 2＝2x 2－3＋2x 2＝2⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－3＝2×2－3＝1，所以x 22x 4－3x 2＋2

＝1. 9．解：因为ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ac a ＋c ＝15

，所以a ＋b ab ＝3，b ＋c bc ＝4，a ＋c ac ＝5，所以1b ＋1a ＝3，1b ＋1c ＝4，1a ＋1c ＝5，所以2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＝3＋4＋5，所以1a ＋1b ＋1c ＝6，abc ab ＋ac ＋bc ＝11a ＋1b ＋1c

＝16.