微观经济学2012第三讲

( p1 , p2 , I )
2(0.5)
0.5
1
1.41 1.5
14
x
y
• 结果表明：开征消费税对于消费者的间接效用的 负面作用大于开征所得税的负面作用。 • 开征消费税既降低了消费者的实际购买能力，又 改变了商品的相对价格；而开征所得税只会降低 消费者的实际购买能力，其负面影响较小。
• 代入支出px得最小支出称为支出函数：记为 E(p,u)。 • 支出函数与间接效用函数互为反函数关系，它们 都取决于价格，但受到的约束不同（收入，效用。 当考察消费者对价格变动的反应时，这种关系是 非常有用的，它会影响消费者的福利水平。
23
二、 希克斯需求函数
h( p, u )
0 p1 0 p2
27
e( p, u ) min p x
S .t. u ( x) u 0
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消费者收入为I, x*=(x1*,x2*)为效用最大化的解， 那么当效用水平为U(x*)时，x*也是支出最小化的解， 而且最小支出正好为I。
Quantity of X2
x1 ( P, I )
h x1 ( P, u ( x*))
0
• 3、在财富上是严格递增的，而在价格上则是严 格递减的。 • 4、拟凸的。
8
间接效用函数在 (P,I)上零次齐次性
V ( P, I ) maxU ( X ) s.t.PX I 对t 0, 有 V ( Pt, It) maxU ( X ) V ( Pt, It) maxU ( X )
X1*
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当效用为U时，X*=(x1*,x2*)是支出最小化的解， 当收入为p1x1*+p2x2*时，X*也是效用最大化的解， 而且，此时的效用水平正好为U
* * h1( P, u ) x1( P, p1x1 p2 x2 ) x1( P, e( P, u )) * * h2( P, u ) x2 ( P, p1x1 p2 x2 ) x2 ( P, e( P, u ))
maxu( x) s.t. px I
• 求解可以获得：在满足消费预算约束的条件下， 消费者获得的最大的效用水平时的解，称为瓦尔 拉斯需求函数，又称为马歇尔需求函数。
x f(p,I)
X 1 d1 ( P 1 ,, P n, I)
X n d n (P 1 , , P n, I)
2
瓦尔拉斯需求函数的推导之一
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四、 对偶性问题
• 指在经济学中具有成对意义的一些概念和问题, 目标和约束条件的表达正好相反。 • 消费者最优的两种思路：相同支出下，追求效用 最大化；相同效用下，追求支出最小化。同一个 问题的两种思路，其实质是一样的。
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V ( P, I ) maxU ( X ), s.t.P * X I
h1( P,V ( P, I ))
h x2 ( P, I ) x2 ( P, u ( x*)) h 2( P,V ( P, I ))
I e( P, u( x*)) e( P,V ( P, I ))
X2* B
U(X*)=V(P,y) I=e(P,U(X*))
Quantity of x1
a b 1 2
a b u( x ) x1 x2
3
• 方程（1）（2）移项求比值
ax p1 bp1 * * x2 x1 bx p2 ap2
* 2 * 1
px p x I
* 1 1 * 2 2
•
a x ab b * x2 ab
* 1
I p1 I p2
4
瓦尔拉斯需求函数的性质
• 柯布道格拉斯效用函数
L I p1 x1 p2 x2 0
L u ( x ) p1 0 x1 x1 L u ( x ) p 2 0 x 2 x 2
L( x1, x2 , ) x x ( I p1 x1 p2 x2 )
5
二、间接效用函数
• 对于一个约束条件下的效用最大化问题，通常可 以通过一阶条件来求得各变量的最优解，这组最 优解取决于各商品的价格水平与消费者的收入， 代入效用函数中，可得间接效用函数。
U U ( X1, X 2 ...... , Xn )
* 1 * 2
s.t. px I
X X1 ( p1, , pn , I ) X X1 ( p1, , pn , I ) X n X n ( p1, , pn , IΒιβλιοθήκη Baidu)
tPX＝tI PX＝I
V ( P, I )
9
V(P1,P2,I)关于Ｉ是严格递增的
• 证明：
V ( P, I ) maxU ( X ), s.t.PX I
L( X , ) U ( X ) ( I PX )
最优值条件： L( X , ) U ( X ) - Pi 0 xi xi 根据包络定理：
L I p1 x1 p2 x2 0
x I 2 p1 x I 2 p2
13
2
将X1* , X2*代入直接效用U，得到间接效用 函数： ν(p1,p2 ,I) ( I 2 p1 )0.5( I 2 p2 )0.5 I 2 2 0 .5 0 .5 0.5 2 p1 p2 2(0.25) 1 •当政府征收0.5元所得税时，消费者收入I从2元下 降到1.5元，消费者间接效用也会从2下降到1.5。 •如果政府对商品1开征0.25元的消费税，则商品1 的价格会从0.25元上涨到0.5元。从而消费者的间 接效用为： 2
x2
h 0 0 x2 ( p1 , p2 , u) h 1 0 x2 ( p1 , p2 , u)

A B
1 p1 0 p2

o
p1
p
0 1
x1
A

B
x ( p , p , u)
h 1
1 1
0 2
1 p1
x ( p , p , u)
o

h 1
0 1
0 2
x ( p1 , p , u) x1
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第二节 支出函数与对偶性问题
一、支出函数 二、希克斯需求函数(Hicksian Demand Function) 三、谢泼德引理(Shephard) 四、对偶性问题
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一、支出函数
• 效用最大化问题的另一出发点，支出最小化问 题（EMP） ：消费者为达到某一效用水平 ， 如何选择商品 ，使所需要的财富支出最小。 • 支出函数：在一组特定的商品价格条件下，要 达到某一既定效用水平所必须的最小支出。记 为：
6
*
* 最大效用＝U ( X 1* ,, X n )
U [ X 1 ( p1 , pn , I ), X 2( p1 , pn , I ), X n ( p1 , pn , I )] V ( p1 , pn , I )
• 间接效用函数表明消费者最大效用水平间接取决 于商品的价格和消费者的收入。 • 有了间接效用函数，控制消费者的行为实质上可 以通过控制价格p和收入I来实现。间接效用函数 对于说明政府政策的福利影响有比较便利的条件。
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间接效用函数的应用
若效用函数为U=X10.5X20.5 ，求当p1=0.25
元,p2=1元,I=2元时的间接效用函数。并分析
当政府征收0.5元所得税（直接税）时以及对X1 征收0.25元消费税（间接税）时的消费者效用 变化情况。 解：最大化问题为：
0 .5 max x10.5 x2 s.t. p1 x1 p2 x2 I
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间接效用函数的性质
• 若直接效用函数u(x)在 Rn+ 上是连续且严格递 增的，间接效用函数v(P,I)满足如下性质： • 1、在价格和财富上是连续的。 • 2、对于P和I是零次齐次的，价格和财富的同比 例变化并不影响效用水平。
V (tp, tI ) t V ( p, I ) V ( p, I )
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罗伊恒等式的证明
V ( P, I ) max U ( X ), s.t.PX I
L( X , ) U ( X ) ( I PX )
根据包络定理：
V ( P, I ) L( x, ) I I V ( P, I ) L( x, ) -xi Pi Pi
故 0
V ( P, I ) L( X , ) 0 I I
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V(P1,P2,I)对于p是严格递减的
证明：
V ( P, I ) maxU ( X ), s.t.PX I
L( X , ) U ( X ) ( I PX )
根据包络定理：
V ( P, I ) L( X , ) xi 0 pi pi
第三讲 需求分析及其扩展
• 第一节 需求函数与间接效用函数 • 第二节 支出函数与对偶性问题 • 第三节 价格变化对消费者的配置效应 与福利效应 • 第四节 商品间的需求关系 • 第五节 市场需求与弹性
1
第一节 需求函数与间接效用函数
一、瓦尔拉斯需求函数
• 消费者在给定价格和财富水平约束下，选择最为 偏好的消费束，即效用最大化（UMP）问题：
h 1
0 2
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三、谢泼德引理
• 谢泼德引理：用于反映希克斯需求函数 h( p, u ) 与为达到效用u的最小支出函数E(p,u)之间关系 的公理，记为
x i*
e( p, u ) hi ( p , u ) p i
i 1,2, , n
* * e ( p , u ) L ( x , ) 由包络定理得： xi* h( p, u ) p i p i
• 1、在价格和收入上，需求函数是零次齐次的。 即对于任意给定的p、I，都有t>0，使得
X di (P 1 ,, P n , I ) d i (tP 1 ,, tP n , tI )
* i
• 2、瓦尔拉斯定律：任给x有px=I，即由瓦尔拉 斯需求函数决定的消费束都是位于预算集上界的 最优解。(不饱和性) • 3、凸性和唯一性：若u(.)拟凹的，则x(p,I)是 一个凸集，若u(.)严格拟凹的，则x(p.I)只包含 单一的元素，即需求是价格和收入的单值函数。
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三、罗伊恒等式
• 间接效用函数满足罗伊恒等式
（Roy’s identity)
• 如果v(p,I)在点(p0, I0)处可导，且
V ( p 0, I 0) 0 I
一定存在
V ( p, I ) pi xi ( pi , I ) , i 1,2.....n V ( p, I ) I
支出最小化与效用最大化选择的结果一致。
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x2
x R
2
: px px


x R , u ( x ) u
2
x


u o
支出最小化问题
x1
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• 将最小支出问题的解 xi xih ( p, u), i 1, 2,...n 定义为希克斯需求函数，记为 h( p, u ) 表示消费者为达到既定的效用水平u，选择的最 小支出的最优消费束。
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L x x ( I p1x1 p2 x2 ) • 构造拉格朗日函数： • 求关于x1、x2和λ的偏导，可得：
0.5 0.5 1 2
L x1 0.5 x
0.5 0.5 1 2
x p1 0 p2 0
L x2 0.5 x x
1
0 .5 0 .5 1 2
V ( p, I ) pi xi ( pi , I ) V ( p, I ) I
两边相除可得
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上例
0 .5 max x10.5 x2 s.t. p1 x1 p2 x2 I
ν(p1,p2 ,I)
I
0 .5 2 p10.5 p2
从罗伊恒等式有 V I 1.5 0 .5 I p1 4 p1 p2 d1(p1,p2 ,I) V 1 2 p1 0 .5 I 2 p10.5 p2
E( P 1, P 2 ,, P n ,U )
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支出函数为支出最小化问题 e( p, u ) min p x ， S .t. u ( x) u 0 的解。
min s.t px u ( x) u
L=p x- u ( x ) - u L u ( x ) pi 0 xi xi L u ( x ) - u 0 pi u ( x ) xi pj u ( x ) x j